湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷-附解析

数学本试卷分试题卷和答题卡两部分，试卷共6页．满分150分，时量120分钟．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.3.已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（）A. B. C. D.5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则6.在正方体中，二面角的正切值为（）A. B. C. D.7.若非零向量与满足，且，则为（）A.三边均不等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形8.某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（）A.在第一轮比赛中，都没有答对的概率为B.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率C.在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为D.在两轮比赛中，至多答对三题的概率为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7B.若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为C.和的方差分别为和，若，则D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为2510.在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（）A. B.C.的面积为 D.边上的高为11.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（）A.当，，且为偶数时，复数为纯虚数B.若，则C.复平面中，点绕原点逆时针旋转得到D.复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线：第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________.13.已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________.14.已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．16.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.19.对于平面向量，定义“变换”：，（）（1）若向量，，求；（2）已知，，且与不平行，，，证明：；（3）若向量，求．

数学本试卷分试题卷和答题卡两部分，试卷共6页．满分150分，时量120分钟．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.2.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出.解答过程：向量，，由，得，所以.故选：A3.已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的底面积为，则底面半径，可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求直观图的面积，再根据斜二测画法的性质求解原三角形面积.解答过程：因为轴，所以直观图的面积为,原图形面积为直观图面积的倍，所以原图面积为.故选：B.5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：D解析：思路：根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.解答过程：对于A：若，，则或，又，则或与相交，故A错误；对于B：若，，则或，又，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误；对于D：若，，则或，若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；若，又，所以；综上可得，由，，，可得，故D正确.故选：D6.在正方体中，二面角的正切值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正方体的线面关系找出二面角的平面角计算即可.解答过程：如图，在正方体中，连接交于，由为正方体，从而，，又，平面，平面，因为平面，从而，从而为二面角的平面角，设正方体的边长为，则，，，从而.即二面角的正切值为7.若非零向量与满足，且，则为（）A.三边均不等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：思路：由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.解答过程：解：，的角平分线与BC垂直，，，则是顶角为的等腰三角形，故选：C.8.某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（）A.在第一轮比赛中，都没有答对的概率为B.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率C.在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为D.在两轮比赛中，至多答对三题的概率为答案：C解析：思路：利用相互独立事件概率乘法公式即可求解.解答过程：在第一轮比赛中，都没有答对的概率为,故A错误；在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为，故B错误；在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为，故C正确；在两轮比赛中，答对四题的概率为，所以在两轮比赛中，至多答对三题的概率为，故D错误；故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7B.若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为C.和的方差分别为和，若，则D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25答案：BCD解析：思路：对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断.解答过程：对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误；对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确；对于C：若，即，故C正确；对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为，所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确.故选：BCD.10.在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（）A. B.C.的面积为 D.边上的高为答案：ACD解析：思路：利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项.解答过程：对于A选项，由余弦定理可得，故，A对；对于B选项，由余弦定理可得，因为，故，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对.故选：ACD.11.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（）A.当，，且为偶数时，复数为纯虚数B.若，则C.复平面中，点绕原点逆时针旋转得到D.复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线：答案：BCD解析：思路：根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可.解答过程：对于A，已知，则复数可以表示为，根据题意，，其中为偶数，当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误；对于B，已知，则模长，辐角满足，所以，因此，则，故B正确；对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则，将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以，设旋转后的点为，对应的复数为，则，对应的点的坐标为，故C正确；对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为，根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的，因此，所以，，将代入直线方程：，得，化简得，因此旋转后得直线方程为，故D正确.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________.答案：解析：解答过程：由题意得，，又因为，故.13.已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________.答案：解析：思路：利用求解.解答过程：解：由题意得：，故答案为：14.已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________.答案：解析：思路：由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到，从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解.解答过程：正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，点，，，，都在球的球面上，为球的直径，设球的半径为，则，设为的中心，则平面，平面，两个三棱锥的体积之比为，，，在中，连接并延长交于点，，则，为的中心，为的重心，，在中，，，，，.故答案为：.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．答案：（1）27.5，37.5;（2）.解析：思路：（1）利用众数和百分位数的概念，直接求解即可；（2）利用分层抽样，求出第3，4组中分别抽取的人数，利用古典概型求概率即可.（1）根据题意可估计众数为；因为前三组的频率和为，第四组的频率为，所以第80百分位数为；（2）因为第3组与第4组的频率之比为3∶2，所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名市民中选取2名作重点发言的所有情况为：，，，，，，，，，，共有10种，其中第4组的2名市民，至少有一名被选中的情况有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为．16.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.答案：（1）（2）派甲参赛获胜的概率更大（3）解析：思路：（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则，，，相互独立，且，，，，设“甲在比赛中恰好赢一轮”则；（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，所以，，因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；（3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，于是“两人中至少有一人赢得比赛”，由（2）知，，所以，，所以.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）连接，设．因为底面为平行四边形，所以为的中点．又因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）连接交于点，利用三