吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知关于的线性回归方程为，样本点处的残差为（）．A.2 B. C.3 D.2.如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.或3.已知函数，则该函数的图象大致为A. B. C. D.4.一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（）A.米/秒 B.6米/秒 C.9米/秒 D.12米/秒5.命题p：若，则；命题q：，则（）A.p真q真 B.p假q真 C.p真q假 D.p假q假6.若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则第3项的系数为（）A.180 B. C. D.8807.已知，若，则的最大值为（）A. B.1 C. D.48.已知函数，，，则a的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题中正确的有（）A.若，，则B.C.若，，则D.若角终边经过点，则10.下列命题中正确的有（）A.幂函数是非奇非偶函数的充要条件是B.化简结果为C.函数的单调增区间是D.已知函数，若，且，则11.设函数，则（）A.B.当时，C.方程有3个不等的实根D.若方程有2个不等的实根，则或或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则______.13.已知，则________．14.已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分．（1）若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望；（2）若乙同学的得分为，求．16.吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：月份x23456旅游收入y1012111220

（1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．

喜欢不喜欢总计男

50女

30

总计60

参考公式：相关系数，参考数据：线性回归方程：，其中，，其中．临界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.82817.已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）讨论函数，的单调性．18.一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球，、，．（1）若，，有放回地依次取球，求第次取球时才首次取到黑球的概率；（2）若，，不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，判断事件与是否相互独立（写出理由）；（3）若，依次随机不放回抽取一个球，记为最后一个白球被取出时所需的抽取次数，求．19.已知函数．（1）函数．（ⅰ）若是的极值点，，，求n的值；（ⅱ）若，与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，求实数a的取值范围；（2）若函数，，，是的两个极值点，求的最小值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知关于的线性回归方程为，样本点处的残差为（）．A.2 B. C.3 D.答案：B解析：思路：先求样本点处对应的预测值，再用实际观测值减去预测值即可得到残差.解答过程：将代入线性回归方程中，得预测值，已知该样本点的实际观测值为：，所以样本点处的残差为：.2.如图，全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.或答案：A解析：思路：解不等式，并根据得到答案解答过程：，或，图中阴影部分所表示的集合为，其中，故.3.已知函数，则该函数的图象大致为A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数研究函数的单调性确定函数的大致图象；也可以根据函数值的符号排除干扰项，即可得到正确选项．解答过程：解:当时，，所以．记，则．显然时，，函数单调递减，时；，函数单调递增，所以，所以，又当时，，所以，所以函数在上单调递减．故排除B，D选项；而，故排除C选项．故选:A．方法提示：本题考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象、数学运算．4.一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（）A.米/秒 B.6米/秒 C.9米/秒 D.12米/秒答案：D解析：解答过程：∵∴∴即当时，该质点的瞬时速度为12米/秒.5.命题p：若，则；命题q：，则（）A.p真q真 B.p假q真 C.p真q假 D.p假q假答案：B解析：思路：分别利用二倍角余弦公式判断命题的真假，利用指数幂、对数的运算性质计算命题中式子的值判断的真假，即可得到正确选项.解答过程：根据二倍角余弦公式，将代入得：，移项整理得，因此，并非只有，故命题为假命题；，故命题为真命题.综上，p假q真，6.若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则第3项的系数为（）A.180 B. C. D.880答案：A解析：思路：由第4项与第8项的二项式系数相等求出的值，再根据二项式的通项公式求出展开式中第3项的系数.解答过程：由题意可得，即，由二项式的通项公式为，所以第3项的系数为.7.已知，若，则的最大值为（）A. B.1 C. D.4答案：D解析：思路：由正态分布的性质可得，结合基本不等式即可求解.解答过程：因为，且，所以，即,所以，解得,当且仅当时取等号，所以的最大值为4.8.已知函数，，，则a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可.解答过程：，使得可化为，使得，即.令，，则.令，则，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得最小值，为.故a的取值范围是.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题中正确的有（）A.若，，则B.C.若，，则D.若角终边经过点，则答案：AB解析：思路：A选项，由特殊角的函数值得到A正确；B选项，利用诱导公式和逆用余弦差角公式进行求解；C选项，根据的关系式，结合角的范围可得答案；D选项，由三角函数定义及余弦和角公式进行求解解答过程：A选项，内，只有，故，A正确；B选项，，B正确；C选项，，两边平方得，即，，因为，所以，又，所以，故，，所以，C错误；D选项，角终边经过点，则，，故，D错误.10.下列命题中正确的有（）A.幂函数是非奇非偶函数的充要条件是B.化简结果为C.函数的单调增区间是D.已知函数，若，且，则答案：BD解析：思路：根据幂函数的定义及函数的奇偶性判断A；根据代数式化简判断B；根据复合函数的单调性判断C；根据导数与单调性及最值的关系证明D.解答过程：对于A，由为幂函数，得，即，解得或.当时，，此时为偶函数；当时，，此时为奇函数，故A错误.对于B，由题意知，所以，所以，B正确.对于C，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，C错误.对于D，的定义域为，，令，则，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，即在上单调递增，在上单调递减.若，且，不妨设，令，，，.因为，所以，，因此，则在上单调递增，又，所以当时，有，故，又，所以.因为，，在上单调递减，所以，即，D正确.11.设函数，则（）A.B.当时，C.方程有3个不等的实根D.若方程有2个不等的实根，则或或答案：ACD解析：思路：A.依据分段函数的递推定义，将转化为，代入第一段表达式计算即可判断；B.根据x的取值范围，将x-3代入第一段解析式，乘化简后验证表达式是否正确；C.分段梳理的图象与取值范围，结合对数函数的单调性，判断两函数图象交点总数；D.分区间讨论直线与分段函数图象的交点个数，对应得出斜率k的取值范围.解答过程：选项A，，，因此，A正确；选项B，当时，，满足，因此，故，B错误；选项C，分析与的图象交点情况：是上的单调递增函数，在时，，即图象上每一个点向右平移3个单位，纵坐标变为原来的，：，，仅处，无交点.：从递减到，从递增到，由零点存在定理，有个交点，：从递增到，从递增到，有个交点.：从递增到，时，，恰好，为第个交点，：，，无交点，综上，方程共个不等实根，C正确；选项D，分析直线与的图象的交点个数：当时，若方程有两个实根，显然是方程的一个实根，当时显然无实根，因为时，，解方程得，解得；当时，方程有无数个实根，不符合题意；当时，若方程有两个实根，显然是方程的一个实根，当时显然无实根，因为曲线在处的切线斜率为2，又，由图可知，时，交点横坐标在，满足题意，由于，由图可知，当时，交点横坐标在，也满足题意，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则______.答案：解析：思路：利用特殊值法进行求解即可.解答过程：在中，令，则有，故答案为：13.已知，则________．答案：解析：思路：先根据已知等式求解的值，再将所求三角函数式转化为关于的齐次式，代入数值计算即可.解答过程：已知，得，展开整理得，解得，因为，所以，

由于，故，将上式分子分母同时除以得：

代入计算：

.14.已知集合，，现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组成最大的三位数m，n，则事件“”的概率为________．答案：##解析：思路：三位数m，n的百位数分别为，分、和三种情况讨论，结合对称性以及条件概率运算求解.解答过程：设事件“”为事件A，三位数m，n的百位数分别为，满足有三种情况：若，此时恒成立，则；若，此时恒成立，则；若，则，且，由对称性可知，可得；所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，已知甲同学能答对这个试题中的个，乙同学答对每道题的概率均为，每道题答对得分，答错扣分．（1）若甲同学答对的题数为，求的分布列以及数学期望；（2）若乙同学的得分为，求．答案：（1）的分布列为：期望

.（2）解析：思路：（1）确定甲答对题数服从超几何分布，计算各取值概率得到分布列后求解期望即可；（2）确定乙答对题数服从二项分布，建立得分与答对题数的线性关系，结合方差性质计算即可.（1）由题意，道题中甲会答道、不会答道，抽取道题作答时，的可能取值为，当时，；当时，；当时，；因此，的分布列为：所以期望

.（2）设乙答对的题数为，共抽取道题，每题答对概率为且各题结果独立，故，所以方差，根据得分规则，总得分，所以.16.吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：月份x23456旅游收入y1012111220

（1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．

喜欢不喜欢总计男

50女

30

总计60

参考公式：相关系数，参考数据：线性回归方程：，其中，，其中．临界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）可用线性回归模型拟合，相关系数，线性回归方程为（2）完善后的列联表如下：喜欢不喜欢总计男401050女203050总计6040100能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”解析：思路：(1)将数据代入相关系数及回归方程系数公式直接求解；(2)代入数据求出.（1）因为，，，，所以相关系数，线性相关性较强，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.，，故线性回归方程为.（2）完善后的列联表如下：喜欢不喜欢总计男401050女203050总计6040100则，故能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.17.已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）讨论函数，的单调性．答案：（1）18（2）当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.解析：思路：（1）先对函数进行求导，得到函数的极值点，然后计算各关键点的函数值，最后比较得最大值.（2）先化简函数并确定函数定义域，然后对函数去绝对值分段，分别求各段的导数并判断单调性，最后总结单调性.（1），令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，因为，，故在区间上的最大值为18.（2）,①当时，，，故在上单调递减，②当时，,,若，当时，，故在上单调递增，若，令得：当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上：当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.18.一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球，、，．（1）若，，有放回地依次取球，求第次取球时才首次取到黑球的概率；（2）若，，不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，判断事件与是否相互独立（写出理由）；（3）若，依次随机不放回抽取一个球，记为最后一个白球被取出时所需的抽取次数，求．答案：（1）（2）不相互独立.理由：第一次取球时总共有10个球，其中6个白球，因此第一次取到白球的概率为：.若事件不发生（第一次取到黑球），剩余9个球中白球仍为6个，因此第二次取到白球的概率为.所以.事件为“第一次和第二次都取到白球”，则，又因为，故，因此事件不相互独立.（3）解析：思路：（1）根据独立事件的概率进行计算即可.（2）求出、、的值，再结合独立事件的定义判断即可；（3）将全部个球随机排列，等价于排列中第个白球所在的位置，列出期望表达式，然后进行化简即可.（1）有放回取球时每次取球结果互不影响，总球数为10，白球6个，黑球4个，因此单次取到白球的概率为，单次取到黑球的概率为.第3次才首次取到黑球，即前2次均取到白球，第3次取到黑球，三次取