江苏省常州市戚墅堰高级中学2025-2026学年高三上学期摸底测验数学试卷-附解析

数学一、单选题1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（）A.2 B.3 C. D.3.若，且．若，，则等于（）A.0.12 B.0.8 C.0.32 D.0.084.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知，满足，，则值为（）A. B. C. D.6.在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（）A. B. C. D.7.已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（）A.为钝角三角形B.C.与底面所成的角是D.四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为8.若函数有两个极值点，且，则（）A. B. C. D.二、多选题9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（）A.若则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.若，且的最小值为，则函数的最小正周期为C.若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为11.已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（）A. B.C. D.三、填空题12.已知函数（），则它的最小值为______.13.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.14.已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___.四、解答题15.已知向量，，且．（1）若，求x的值；（2）若，求函数的最大值．16.已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．17.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．（1）证明：平面（2）证明：（3）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．18.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.19.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.

数学一、单选题1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：化简复数，可得，可得的虚部.解答过程：由=，则，所以，的虚部为.故选：A2.已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（）A.2 B.3 C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长公式即可得到结果.解答过程：设的夹角为，由题意得，，所以，故选：C3.若，且．若，，则等于（）A.0.12 B.0.8 C.0.32 D.0.08答案：D解析：思路：由条件概率，对立事件、相互独立事件的公式即可得出答案.解答过程：由，所以，可知事件A，B相互独立，则也相互独立，所以，∴．又，∴，∴．故选：D.4.已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题目条件得到分段函数在R上单调递减，需在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.解答过程：由题意得，为定义在R上的减函数，则要满足，解得故选：B.5.已知，满足，，则值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用两角和与差的正弦公式即可得到答案.解答过程：，所以，所以.故选：D.6.在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.解答过程：由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是边上的中线，得.所以，中线长.故选：A7.已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（）A.为钝角三角形B.C.与底面所成的角是D.四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为答案：C解析：思路：根据条件可确定点的准确位置，再逐项判断真假即可.解答过程：因为，，所以，又，所以四点共面，所以当为四边形的中心时，最小.对于A，根据正棱锥的性质可得平面，因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错误；对于B，在直角三角形中，，，所以三角形为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，故B错误；对于C，因为平面，所以点在底面的投影落在上，所以为直线与平面所成角，因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C正确；对于D，根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以，因为平面平面，所以为二面角的平面角，因为，所以为四棱锥外接球的球心，为直径，所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D错误．故选：C8.若函数有两个极值点，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由导数结合极值点得方程有两个不同的正根，从而结合韦达定理得，再将韦达定理代入计算得，进而得解.解答过程：由题，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，所以，，，所以①，所以，又，所以即得，所以或（舍去）②，所以由①②得.故选：A.方法提示：思路点睛：先由极值点与导数的关系结合韦达定理初步求出的值，再由韦达定理结合不等式计算即可求解.二、多选题9.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（）A.若则B.若，则C.若，则D.若，则答案：BC解析：思路：根据复数的性质、复数的模、复数与复平面内向量的关系等知识点，对每一个选项逐一进行分析即可.解答过程：对于选项，如，此时，但，，，故A错．对于选项，，，，，，故B对．对于选项，设，，则，，又，即，即，化简可得，则，在复平面内，，，则，故C对．对于选项，设，，此时但，故D错．故选：.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.若，且的最小值为，则函数的最小正周期为C.若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为答案：AB解析：思路：根据正弦函数的单调性判断A的真假；根据三角函数的最大、最小值与函数周期的关系判断B的真假；根据函数的图象变换和函数的对称轴确定的取值范围，判断C的真假；根据函数在给定区间上零点的个数求的取值范围，判断D的真假.解答过程：对于A，当时，，当，，因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确；对于B，因，则时，设，则，因为，则函数的最小正周期为，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后，可得，因为图象关于轴对称，则，因为，则，得，故C错误；对于D，时，，令，可得．则使，且大于的前3个取值为，则，故D错误．故选：AB11.已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：由为奇函数，结合奇函数的性质，判断A选项，代入判断C选项，由为偶函数得，两边求导，代入判断B选项，综合推导判断D选项.解答过程：由于为奇函数，所以，A错误；所以，，C正确；由于为偶函数，则，则，两边求导得，所以，，B正确；由，得，由，得所以，即，D正确；故选：BCD.三、填空题12.已知函数（），则它的最小值为______.答案：解析：思路：由展开后，运用基本不等式可得所求最小值．解答过程：由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故答案为：.13.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.答案：解析：思路：根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解.解答过程：由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故答案为：.14.已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___.答案：-3解析：思路：分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线在切点处的切线方程，把的切点代入，可得b与a的关系式，再由导数求最值即可解答过程：解:令，得，切点为，令，得，切点为.切线方程为代入，可得则令，则,当时，，当时，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴即b的最大值为-3.故答案为：-3.四、解答题15.已知向量，，且．（1）若，求x的值；（2）若，求函数的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量的线性运算、模的坐标表示及三角恒等变换列方程可得，进而求解即可；（2）根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可.（1）由，，则，所以，则，则，即，由，则，所以，即.（2），则，由，则，则，则，所以函数的最大值为.16.已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．17.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．（1）证明：平面（2）证明：（3）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．答案：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以，因为，，所以，又，平面，平面，所以平面．（2）由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示，以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，，，．设．因为，，所以，所以．（3），最小值为解析：思路：（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直.（3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果.（1）略（2）略（3）设平面DFE的法向量为，因为，，所以，即．令，则且平面的法向量为，设平面与平面DEF的二面角的平面角为，则．根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值,可知，当时，取最小值为，此时取最大值为，则，此时．18.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到，即可得解；（2）依题意，设，由三角形为锐角三角形求出，在中利用正弦定理表示，即可表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得；（2）由题意，，所以，设，，，又，则，，在中，由正弦定理可得：.即，，，，，，，即，所以面积的最大值为.19.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.答案：（1）证明如下