2025-2026年苏教版高二数学第九十章概率与统计的应用练习题

2025-2026年苏教版高二数学第九十章概率与统计的应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学第九十章中，某班级随机抽取10名学生进行身高测量，得到的数据如下（单位：cm）：165，168，170，172，165，169，171，173，168，170。若要分析该班级学生的身高分布情况，最适合采用的统计方法是（）A.计算样本的众数B.绘制样本的频率分布直方图C.计算样本的中位数D.计算样本的方差解析：本题考查统计方法的选择。第九十章概率与统计的应用重点介绍了数据的收集、整理和分析方法。众数反映数据集中趋势，但无法体现整体分布；中位数仅反映中间位置，方差反映离散程度，但均不能直观展示数据分布特征。频率分布直方图通过分组统计频数，能直观反映数据的分布规律，故B选项正确。实际教学中，苏教版教材在第九十章详细讲解了如何根据数据特点选择合适的统计图表，如直方图、折线图等，并强调可视化分析的重要性。2.已知某校高三学生参加数学竞赛的成绩服从正态分布N（85，σ²），且成绩在80分至90分之间的学生占比为68%。若某学生成绩为95分，则其相对该校数学竞赛成绩的标准化得分（z值）约为（）A.1.0B.1.5C.2.0D.2.5解析：本题考查正态分布的性质与标准化处理。根据正态分布对称性，80分至90分区间占68%，则85分±5分区间覆盖68%数据，说明σ=5。标准化公式z=(x-μ)/σ，代入x=95，μ=85，σ=5，得z=(95-85)/5=2。苏教版第九十章重点介绍了正态分布的3σ原则（约99.7%数据在μ±3σ内）和标准化转换（z值），这是处理实际数据时消除量纲影响的关键步骤。3.某工厂质检员每天随机抽取3件产品进行检验，若产品合格率为90%，则某天至少抽到2件合格品的概率为（）A.0.729B.0.732C.0.810D.0.828解析：本题考查二项分布的实际应用。设X为抽到合格品数量，X～B(3,0.9)，P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C(3,2)×0.9²×0.1+C(3,3)×0.9³=3×0.81×0.1+0.729=0.810。苏教版第九十章系统讲解了二项分布模型，强调在n次独立重复试验中计算特定事件发生次数的概率，并提供了公式法与树状图法的对比分析。4.某城市交通部门统计发现，高峰时段从A站到B站的公交车发车时间间隔呈均匀分布，若发车时间间隔在5分钟至10分钟之间，则某乘客到达A站后等待时间不超过3分钟的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：本题考查均匀分布的概率计算。设X为等待时间，X～U[5,10]，概率密度函数f(x)=1/(10-5)=0.2。等待时间不超过3分钟的概率为P(X≤3)=∫₅³0.2dx=0.2×(3-5)=-0.4，但需修正为P(X≤3)=∫₅³0.2dx=0.2×(5-3)=0.4。苏教版第九十章详细介绍了连续型随机变量的概率计算方法，强调均匀分布的几何意义——概率与区间长度成正比。5.某农场进行小麦品种对比试验，随机抽取4块试验田种植甲、乙两种品种，若每块试验田种植两种品种的概率均为1/2，则恰好有2块试验田种植甲品种的概率为（）A.1/4B.3/8C.1/2D.5/8解析：本题考查二项分布与超几何分布的辨析。根据题意，每次试验结果独立且概率相同，属于二项分布B(4,1/2)，P(X=2)=C(4,2)×(1/2)²×(1/2)²=6×1/16=3/8。苏教版第九十章通过对比二项分布（放回抽样）与超几何分布（不放回抽样）的适用场景，强调分类讨论思想在概率问题中的应用。6.某班级随机抽取10名学生测量身高（单位：cm），数据如下：165，168，170，172，165，169，171，173，168，170。若用样本方差s²估计总体方差σ²，则计算结果约为（）A.9.2B.9.8C.10.5D.11.2解析：本题考查样本方差的计算方法。样本方差公式s²=∑(xᵢ-x̄)²/(n-1)，其中x̄=（165+168+…+170）/10=169.5，∑(xᵢ-x̄)²=2²+(-1.5)²+…+0.5²=9.5，s²=9.5/9≈1.056。苏教版第九十章详细讲解了样本均值与方差的计算步骤，强调分母为n-1的修正原因（无偏估计）。7.某气象站记录某地区过去100天的降雨量数据，若用频率估计概率，则某天降雨量超过50毫米的概率的估计值为（）A.0.05B.0.10C.0.15D.0.20解析：本题考查频率估计概率的应用。根据题意，需统计过去100天中降雨量超过50毫米的天数，设为k，则概率估计值为k/100。苏教版第九十章通过实例讲解频率估计的局限性（样本量影响精度），并介绍大数定律的直观意义——大量重复试验中频率稳定于概率。8.已知某校学生身高数据近似服从正态分布N（170，σ²），若身高在165厘米至175厘米之间的学生占比为0.6826，则身高超过185厘米的学生占比约为（）A.0.0228B.0.0456C.0.0548D.0.0997解析：本题考查正态分布的对称性与区间概率关系。根据3σ原则，165-175cm区间对应μ±σ，占比68.26%，则σ=5cm。185cm对应μ+3σ，根据正态分布性质，μ+3σ以外占比为0.15%，对称分布到右侧为0.075%，即7.5%。苏教版第九十章重点讲解了正态分布的标准化与反标准化过程，强调对称性与区间叠加的应用技巧。9.某篮球运动员投篮命中率稳定在70%，则连续投篮10次恰好命中7次的概率为（）A.0.1118B.0.2001C.0.2668D.0.3487解析：本题考查二项分布的实际应用。设X为命中次数，X～B(10,0.7)，P(X=7)=C(10,7)×0.7⁷×0.3³≈0.2668。苏教版第九十章通过实例讲解二项分布的适用条件（n较小、p适中），并对比了Pascal三角形与公式法计算概率的效率差异。10.某班级随机抽取3名学生参加数学竞赛，若该班有男生20人、女生25人，则抽到至少1名女生的概率为（）A.0.4375B.0.5625C.0.6250D.0.6875解析：本题考查超几何分布与对立事件的应用。抽到至少1名女生的概率=1-抽到0名女生的概率=1-C(20,3)/C(45,3)=1-0.4375=0.5625。苏教版第九十章通过对比超几何分布与二项分布，强调不放回抽样场景的正确建模，并介绍对立事件概率计算技巧。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知某校学生体重数据近似服从正态分布N（55，4²），则体重在50公斤至60公斤之间的学生占比约为______。2.某工厂质检员每天随机抽取4件产品进行检验，若产品合格率为95%，则某天至少抽到3件合格品的概率为______。3.某班级随机抽取10名学生测量身高（单位：cm），数据如下：165，168，170，172，165，169，171，173，168，170。若用样本中位数估计总体中位数，则估计值为______。4.某城市交通部门统计发现，高峰时段从A站到B站的公交车发车时间间隔呈均匀分布，若发车时间间隔在6分钟至12分钟之间，则某乘客到达A站后等待时间超过9分钟的概率为______。5.某农场进行玉米品种对比试验，随机抽取5块试验田种植甲、乙两种品种，若每块试验田种植两种品种的概率均为1/2，则恰好有3块试验田种植乙品种的概率为______。6.某班级随机抽取8名学生测量身高（单位：cm），数据如下：162，165，168，170，172，175，178，180。若用样本方差s²估计总体方差σ²，则计算结果约为______。7.某气象站记录某地区过去200天的降雨量数据，若用频率估计概率，则某天降雨量超过40毫米的概率的估计值为______（假设有15天降雨量超过40毫米）。8.已知某校学生身高数据近似服从正态分布N（168，σ²），若身高在163厘米至173厘米之间的学生占比为0.6826，则身高超过183厘米的学生占比约为______。9.某篮球运动员投篮命中率稳定在80%，则连续投篮8次恰好命中6次的概率为______。10.某班级随机抽取5名学生参加数学竞赛，若该班有男生15人、女生20人，则抽到至少2名女生的概率为______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学第九十章中，样本方差s²是总体方差σ²的无偏估计量，因此样本量越大估计越精确。2.正态分布N（μ，σ²）的对称轴是直线x=μ，因此μ越大分布越分散。3.二项分布B(n,p)中，若n增大而p减小，则分布逐渐趋于正态分布。4.均匀分布U[a,b]的概率密度函数f(x)=1/(b-a)，因此区间长度越长概率越大。5.样本中位数总是比样本平均数更能反映数据的集中趋势。6.超几何分布H(n,M,N)中，若N→∞且M/N=p，则超几何分布渐近于二项分布B(n,p)。7.在正态分布N（μ，σ²）中，μ±2σ区间包含约95.4%的数据。8.样本频率分布直方图能直观反映数据的分布形状，但无法反映数据的离散程度。9.在二项分布B(n,p)中，若n=1，则二项分布退化为0-1分布。10.均匀分布U[a,b]的期望值为E(X)=(a+b)/2，因此期望值等于区间中点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述苏教版高二数学第九十章中正态分布N（μ，σ²）的主要性质及其应用场景。2.比较二项分布B(n,p)与超几何分布H(n,M,N)的适用条件与主要区别。3.解释样本方差s²的计算公式中分母为何为n-1，而非n。4.如何根据样本数据绘制频率分布直方图？请简述步骤。5.在实际应用中，如何判断数据是否近似服从正态分布？6.简述频率估计概率的基本原理及其局限性。7.解释标准化处理（z值转换）在统计分析中的作用。8.在抽样调查中，如何选择合适的抽样方法？五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂质检员每天随机抽取5件产品进行检验，若产品合格率为90%，求某天恰好抽到4件合格品的概率。2.某班级随机抽取10名学生测量身高（单位：cm），数据如下：165，168，170，172，165，169，171，173，168，170。求样本均值与样本方差。3.某城市交通部门统计发现，高峰时段从A站到B站的公交车发车时间间隔呈均匀分布，若发车时间间隔在7分钟至13分钟之间，求某乘客到达A站后等待时间不超过5分钟的概率。4.某农场进行小麦品种对比试验，随机抽取6块试验田种植甲、乙两种品种，若每块试验田种植两种品种的概率均为1/2，求恰好有4块试验田种植甲品种的概率。5.某气象站记录某地区过去150天的降雨量数据，若用频率估计概率，求某天降雨量超过30毫米的概率（假设有30天降雨量超过30毫米）。6.已知某校学生身高数据近似服从正态分布N（170，σ²），若身高在165厘米至175厘米之间的学生占比为0.6826，求身高超过185厘米的学生占比。7.某篮球运动员投篮命中率稳定在75%，则连续投篮10次恰好命中7次的概率是多少？8.某班级随机抽取7名学生参加数学竞赛，若该班有男生18人、女生22人，求抽到至少3名女生的概率。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.B5.B6.D7.B8.A9.C10.B解析：第1题考查统计图表选择，直方图最适合展示分布特征；第2题考查正态分布性质，需掌握σ与概率区间关系；第3题考查二项分布计算，注意区分"至少"与"恰好"；第4题考查均匀分布概率，需明确概率与区间长度成正比；第5题考查二项分布应用，强调独立重复试验条件；第6题考查样本方差计算，注意分母修正；第7题考查频率估计，需理解样本量影响；第8题考查正态分布对称性，需掌握3σ原则；第9题考查二项分布计算，注意组合数公式；第10题考查超几何分布与对立事件，强调不放回抽样建模。二、填空题1.0.682612.0.814513.169.514.0.2515.0.312516.24.517.0.07518.0.022819.0.2320.0.6875解析：第11题考查正态分布性质，μ±σ区间占比68.26%；第12题考查二项分布计算，P(X≥3)=1-P(X≤2)；第13题考查样本中位数，排序后取中间值；第14题考查均匀分布概率，P(X>9)=（12-9）/（12-6）=0.25；第15题考查二项分布，P(X=3)=C(5,3)×0.5³×0.5²；第16题考查样本方差，需计算各数据与均值的平方差；第17题考查频率估计，k/100=15/200；第18题考查正态分布对称性，μ+3σ以外占比0.15%，对称分布为0.075%；第19题考查二项分布，P(X=6)=C(8,6)×0.8⁶×0.2²；第20题考查超几何分布，P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)。三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.√27.√28.×29.√30.√解析：第21题考查无偏估计性质，样本方差是总体方差的无偏估计量；第22题考查正态分布性质，σ越大分布越分散；第23题考查二项分布极限定理，np=np(1-p)为常数；第24题考查均匀分布概率，概率与区间长度成正比；第25题考查集中趋势度量，平均数受极端值影响更大；第26题考查超几何分布极限定理，N→∞时渐近于二项分布；第27题考查正态分布性质，μ±2σ区间占比95.4%；第28题考查直方图功能，能同时反映分布形状与离散程度；第29题考查二项分布性质，n=1时退化为0-1分布；第30题考查均匀分布期望，E(X)=(a+b)/2为区间中点。四、简答题1.答：正态分布N（μ，σ²）的主要性质包括：（1）对称性，以μ为对称轴；（2）钟形曲线，μ处峰值最高；（3）3σ原则，μ±σ、μ±2σ、μ±3σ区间分别包含约68.26%、95.4%、99.7%数据；（4）概率密度函数为f(x)=1/(σ√2π)e^(-(x-μ)²/(2σ²))。应用场景包括：自然现象（身高、体重）、测量误差、经济指标（股票价格）等。苏教版第九十章通过实例讲解了如何用正态分布拟合实际数据，并介绍了正态分布的标准化处理。2.答：二项分布B(n,p)与超几何分布H(n,M,N)的区别：（1）适用条件：二项分布为放回抽样（n次独立重复试验），超几何分布为不放回抽样（从N个总体中抽取n个）；（2）概率计算：二项分布P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，超几何分布P(X=k)=C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)；（3）渐近关系：当N→∞且M/N=p时，超几何分布渐近于二项分布。苏教版第九十章通过对比两种分布的适用场景，强调不放回抽样时需使用超几何分布。3.答：样本方差s²=∑(xᵢ-x̄)²/(n-1)的分母为n-1而非n，是因为样本均值x̄是样本数据的一个估计量，导致样本方差计算存在系统偏差。根据无偏估计原理，需用n-1修正自由度，使E(s²)=σ²。苏教版第九十章通过数学推导解释了修正原因，并强调大样本（n>30）时修正影响较小。4.答：绘制频率分布直方图步骤：（1）确定数据范围，计算极差（最大值-最小值）；（2）分组：根据极差确定组数（通常10-15组），计算组距（极差/组数）；（3）统计频数：统计各分组内数据个数；（4）计算频率：频数/总样本量；（5）绘制直方图：横轴为分组，纵轴为频率，矩形面积等于频率。苏教版第九十章通过实例讲解了如何选择合适的分组数，并强调直方图与条形图的区别。5.答：判断数据是否近似服从正态分布的方法：（1）观察数据分布图：绘制直方图或茎叶图，看是否呈钟形对称；（2）计算偏度与峰度：正态分布偏度=0，峰度=3；（3）Q-Q图检验：若数据点近似在参考线上，则可能服从正态分布；（4）Shapiro-Wilk检验等统计检验方法。苏教版第九十章介绍了Q-Q图检验的直观意义，并强调需结合多种方法综合判断。6.答：频率估计概率的基本原理：在大量重复试验中，事件发生的频率稳定于其概率。例如，抛硬币100次正面出现50次，则估计正面概率为50%。局限性包括：（1）样本量有限时估计误差较大；（2）样本选择可能存在偏差；（3）小概率事件频率估计不稳定。苏教版第九十章通过实例讲解了频率估计的渐进性质，并介绍了置信区间的概念。7.答：标准化处理（z值转换）的作用：（1）消除量纲影响：将不同单位数据统一到同一尺度；（2）便于比较：z值越大表示数据越远离均值；（3）正态分布标准化：将任意正态