2026年人教版高一数学第八章概率与统计练习题

2026年人教版高一数学第八章概率与统计练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在掷两枚质地均匀的骰子时，记事件A为“两枚骰子的点数之和为7”，事件B为“至少有一枚骰子的点数为1”，则事件A与事件B的关系是（）A.互斥但不对立B.对立但不互斥C.互斥且对立D.既不互斥也不对立解析：事件A包含的基本事件为（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6个；事件B包含的基本事件为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）、（6，1），共11个。两事件无公共基本事件，故互斥；且两事件之和包含所有基本事件，故对立。参考答案：C2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则抽取的样本中男生和女生的人数分别为（）A.6，4B.7，3C.8，2D.5，5解析：分层抽样需按比例抽取，男生占比30/50=60%，女生占比20/50=40%，故样本中男生人数为10×60%=6人，女生人数为10×40%=4人。参考答案：A3.已知一组样本数据：3，x，5，7，9的众数为5，则这组数据的平均数是（）A.5B.6C.7D.8解析：众数为5，则x=5；样本数据为3，5，5，7，9，平均数为（3+5+5+7+9）/5=6。参考答案：B4.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1，若某小组的频率为0.25，则该小组的频率对应的直方图小长方形的高为（）A.0.25B.0.5C.1D.4解析：频率为0.25，即该小组频数占总频数的25%；若总频数为4，则该小组频数为1，小长方形高为1/4=0.25。参考答案：A5.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B同时发生的概率是（）A.0.18B.0.3C.0.9D.0.88解析：事件A与B独立，P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18。参考答案：A6.某校高一年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行调查，发现其中50名学生喜欢打篮球，则该校高一年级喜欢打篮球的学生人数的估计值是（）A.100人B.200人C.500人D.1000人解析：样本中喜欢打篮球的比例为50/200=25%，故估计全校喜欢打篮球的学生人数为1000×25%=250人。参考答案：C7.已知一组样本数据的方差S²=4，若将每个数据都减去3，则新数据的方差是（）A.4B.7C.1D.16解析：数据平移不改变方差，故新数据的方差仍为4。参考答案：A8.在某次射击训练中，甲、乙两名射手射击10次的成绩（单位：环）如下：甲：8，9，7，8，9，8，7，9，8，8乙：7，8，9，6，7，8，9，7，8，9则甲、乙两名射手成绩的极差分别为（）A.2，3B.3，2C.3，3D.2，4解析：甲的成绩极差为9-7=2；乙的成绩极差为9-6=3。参考答案：A9.已知一组样本数据的中位数是5，众数是4，则这组数据中不可能存在的一个数据是（）A.3B.4C.5D.6解析：中位数为5，众数为4，数据集中应包含较多4；若存在3，则中位数可能为4，与题设矛盾。参考答案：A10.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率是（）A.5/8B.3/8C.1/2D.3/4解析：总基本事件数为C(8,2)=28；颜色不同的事件数为C(5,1)×C(3,1)=15，概率为15/28≈0.54，最接近A选项。参考答案：A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率P(A)=0.7，事件B的概率P(B)=0.4，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B至少有一个发生的概率是________。参考答案：0.7+0.4=1.1（但概率最大为1，故实际为1）2.已知一组样本数据：2，4，x，6，8的方差为10，则x的值是________。参考答案：设平均数为(2+4+x+6+8)/5=4+x/5，方差S²=[(2-4-x/5)²+(4-4-x/5)²+(x-4-x/5)²+(6-4-x/5)²+(8-4-x/5)²]/5=10，解得x=0或x=8。3.在频率分布直方图中，若某小组的频率为0.1，组距为5，则该小组的频率对应的直方图小长方形的高为________。参考答案：高=0.1/5=0.024.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A与事件B相互独立，则事件A发生而事件B不发生的概率是________。参考答案：P(A)×(1-P(B))=0.6×(1-0.7)=0.18参考答案：10×(40/60)=6.67≈7（实际抽样需整除，此处按比例计算）5.已知一组样本数据的中位数是8，众数是7，则这组数据中不可能存在的一个数据是________。参考答案：6（若存在6，则中位数可能为7）6.在一个不透明的袋中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率是________。参考答案：C(4,1)×C(2,1)/C(6,2)=8/157.已知一组样本数据的平均数是5，若将每个数据都乘以2，则新数据的平均数是________。参考答案：108.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1，若某小组的频率为0.15，则该小组的频率对应的直方图小长方形的面积占整个直方图面积的________。参考答案：0.159.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.3，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B都不发生的概率是________。参考答案：1-0.5=0.5（因互斥，P(A∪B)=P(A)=0.5，故P(¬A∩¬B)=1-0.5=0.5）三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立。（×）解析：互斥指无公共基本事件，对立指和为必然事件，互斥不一定对立。2.样本数据的方差越大，说明数据的波动性越大。（√）解析：方差反映数据离散程度，方差越大波动越大。3.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于样本容量。（×）解析：面积之和等于1，与样本容量无关。4.若事件A与事件B相互独立，则事件A发生与否不影响事件B发生的概率。（√）解析：独立事件概率乘积性质。5.已知一组样本数据的中位数是5，则这组数据中至少有50%的数据小于5。（√）解析：中位数定义。6.在一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，从中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色相同的概率是1/3。（×）解析：概率为C(3,2)/C(5,2)=3/10。7.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，则事件A与事件B同时发生的概率是0.24。（√）解析：若独立，P(A∩B)=0.6×0.4=0.24。8.样本数据的平均数等于各数据平方的平均数。（×）解析：平均数不等于平方平均数。9.在频率分布直方图中，若某小组的频率为0.2，则该小组的频率对应的直方图小长方形的面积占整个直方图面积的20%。（√）解析：面积等于频率。10.若事件A与事件B对立，则事件A与事件B互斥。（√）解析：对立必互斥。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述互斥事件与对立事件的区别。参考答案：互斥事件指无公共基本事件，对立事件指和为必然事件。互斥不一定对立，对立必互斥。2.简述分层抽样的定义及其适用条件。参考答案：按比例分层抽取样本。适用条件：总体由差异明显的几部分组成。3.简述频率分布直方图的定义及其作用。参考答案：用小长方形面积表示频率。作用：直观显示数据分布情况。4.简述独立事件的定义及其概率计算公式。参考答案：一个事件发生不影响另一个事件发生的概率。P(A∩B)=P(A)P(B)。5.简述众数的定义及其特点。参考答案：数据集中出现次数最多的数。特点：可能不唯一。6.简述样本数据的平均数的计算公式。参考答案：x̄=(x₁+x₂+...+xn)/n。7.简述样本数据的方差的计算公式。参考答案：S²=[(x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+...+(xn-x̄)²]/n。8.简述概率的加法公式及其适用条件。参考答案：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。适用条件：任意事件。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某校高一年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行调查，发现其中100名学生喜欢打篮球，80名学生喜欢足球，60名学生既喜欢打篮球又喜欢足球。求：（1）喜欢打篮球或足球的学生人数的估计值；（2）不喜欢打篮球也不喜欢足球的学生人数的估计值。参考答案：（1）P(篮球或足球)=P(篮球)+P(足球)-P(篮球且足球)=100/200+80/200-60/200=0.7，估计值为1000×0.7=700人；（2）P(¬篮球且¬足球)=1-0.7=0.3，估计值为1000×0.3=300人。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，11的众数为5，中位数为7，求这组数据的平均数和方差。参考答案：平均数x̄=(3+5+7+9+11)/5=7；方差S²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=8。3.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出2个球，求：（1）摸到的2个球颜色相同的概率；（2）摸到的2个球颜色不同的概率。参考答案：（1）P(颜色相同)=C(5,2)/C(8,2)+C(3,2)/C(8,2)=10/28+3/28=13/28；（2）P(颜色不同)=1-13/28=15/28。4.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且事件A与事件B相互独立，求：（1）事件A发生而事件B不发生的概率；（2）事件A与事件B至少有一个发生的概率。参考答案：（1）P(A且¬B)=P(A)×(1-P(B))=0.6×0.6=0.36；（2）P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.4-0.24=0.76。5.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，求：（1）抽取的样本中男生的人数的估计值；（2）若样本中男生的人数为7，则样本中女生的人数为多少？参考答案：（1）男生人数为10×(40/60)=6.67≈7人；（2）女生人数为10-7=3人。6.已知一组样本数据的中位数是8，众数是7，若将每个数据都减去3，则新数据的中位数和众数分别是多少？参考答案：新数据的中位数为8-3=5，众数为7-3=4。7.在频率分布直方图中，若某小组的频率为0.2，组距为5，求该小组的频率对应的直方图小长方形的高。参考答案：高=0.2/5=0.04。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）案例：某校高一年级随机抽取100名学生调查其身高情况，得到如下频率分布表：|分组|频率||------------|--------||150-155cm|0.1||155-160cm|0.2||160-165cm|0.3||165-170cm|0.25||170-175cm|0.15|根据以上数据，回答下列问题：1.身高在160cm及以上的学生人数的估计值是多少？参考答案：100×(0.3+0.25+0.15)=100×0.7=70人。2.身高在155-160cm之间的学生人数的估计值是多少？参考答案：100×0.2=20人。3.身高在150cm以下的学生人数的估计值是多少？参考答案：100×0.1=10人。4.该样本数据的中位数大约是多少？参考答案：160cm（因160-165cm组频率最大，且累计频率超过0.5）。5.该样本数据的众数是多少？参考答案：160cm（因160-165cm组频率最大）。6.该样本数据的平均数大约是多少？参考答案：x̄≈155×0.1+160×0.2+165×0.3+170×0.25+175×0.15=163.75cm。7.该样本数据的方差大约是多少？参考答案：S²≈[(155-163.75)²×0.1+(160-163.75)²×0.2+(165-163.75)²×0.3+(170-163.75)²×0.25+(175-163.75)²×0.15]≈56.56cm²。8.若将每个数据都加上5cm，则新数据的平均数和方差分别是多少？参考答案：新平均数=163.75+5=168.75cm；新方差不变，仍为56.56cm²。9.若将每个数据都乘以2，则新数据的平均数和方差分别是多少？参考答案：新平均数=2×163.75=327.5cm；新方差=2²×56.56=452.48cm²。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述概率与统计的区别与联系。参考答案：概率研究随机事件规律，统计通过数据推断总体。联系：统计中用概率模型分析数据。2.论述分层抽样的优缺点。参考答案：优点：保证各层代表性；缺点：实施复杂。适用于差异明显的总体。3.论述频率分布直方图的作用。参考答案：作用：直观显示数据分布；可分析集中趋势、离散程度、对称性等。4.论述独立事件的定义及其判断方法。参考答案：定义：一个事件发生不影响另一个事件发生的概率。判断：P(A∩B)=P(A)P(B)。5.论述众数的应用场景。参考答案：应用：市场调查、民意调查等。特点：简单易得，但可能不唯一。6.论述样本数据方差的计算方法及其意义。参考答案：方法：S²=[(x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+...+(xn-x̄)²]/n。意义：反映数据波动性。7.论述概率的加法公式及其适用条件。参考答案：公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。适用条件：任意事件。8.论述样本数据平均数的计算方法及其意义。参考答案：方法：x̄=(x₁+x₂+...+xn)/n。意义：反映数据集中趋势。9.论述互斥事件与对立事件的区别。参考答案：互斥：无公共基本事件；对立：和为必然事件。互斥不一定对立，对立必互斥。10.论述频率分布直方图中各小长方形的面积含义。参考答案：面积等于频率，总和为1。反映各组的频率占比。11.论述分层抽样的实施步骤。参考答案：步骤：分层、确定比例、抽样、汇总。关键：分层合理、比例准确。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.A6.C7.A8.A9.A10.A解析：1.互斥且对立；2.分层抽样按比例；3.众数为5，x=5；4.频率对应高；5.独立事件概率乘积；6.样本估计；7.数据平移不改变方差；8.极差为最大-最小；9.中位数大于众数；10.颜色不同事件数较多。二、填空题1.112.0或813.0.0214.0.1815.716.617.8/1518.1019.0.1520.0.5解析：11.互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1；12.方差为10，解方程得x=0或8；13.高=频率/组距；14.独立，P(A∩¬B)=P(A)P(¬B)；15.比例抽样；16.中位数大于众数；17.颜色不同事件数15；18.数据乘以2，平均数也乘以2；19.面积等于频率；20.互斥，P(¬A∩¬B)=1-P(A)=0.5。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.×27.√28.×29.√30.√解析：21.互斥不一定对立；22.方差反映波动；23.面积和为1；24.独立事件概率乘积；25.中位数定义；26.颜色不同事件数7；27.独立，P(A∩B)=P(A)P(B)；28.平均数不等于平方平均数；29.面积等于频率；30.对立必互斥。四、简答题1.参考答案：互斥指无公共基本事件，对立指和为必然事件。互斥不一定对立，对立必互斥。2.参考答案：分层抽样指按比例分层抽取样本。适用条件：总体由差异明显的几部分组成。3.参考答案：频率分布直方图用小长方形面积表示频率。作用：直观显示数据分布情况。4.参考答案：独立事件指一个事件发生不影响另一个事件发生的概率。P(A∩B)=P(A)P(B)。5.参考答案：众数指数据集中出现次数最多的数。特点：可能不唯一。6.参考答案：样本数据平均数x̄=(x₁+x₂+...+xn)/n。7.参考答案：样本数据方差S²=[(x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+...+(xn-x̄)²]/n。8.参考答案：概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。适用条件：任意事件。五、应用题1.参考答案：（1）P(篮球或足球)=P(篮球)+P(足球)-P(篮球且足球)=100/200+80/200-60/200=0.7，估计值为1000×0.7=700人；（2）P(¬篮球且¬足球)=1-0.7=0.3，估计值为1000×0.3=300人。2.参考答案：平均数x̄=(3+5+7+9+11)/5=7；方差S²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=8。3.参考答案：（1）P(颜色相同)=C(5,2)/C(8,2)+C(3,2)/C(8,2)=10/28+3/28=13/28；（2）P(颜色不同)=1-13/28=15/28。4.参考答案：（1）P(A且¬B)=P(A)×(1-P(B))=0.6×0.6=0.36；（2）P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.4-0.24=0.76。5.参考答案：（1）男生人数为10×(40/60)=6.67≈7人；（2）女生人数为10-7=3人。6.参考答案：新数据的中位数为8-3=5，众数为7-3=4。7.参考答案：高=0.2/5=0.04。六、案例分析题1.参考答案：100×(0.3+0.25+0.15)=100×0.7=70人。2.参考