15.3.2 等边三角形（第2课时）

11/13第十五章轴对称15.3等腰三角形15.3.2等边三角形

第2课时一、教学目标【知识与技能】掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并简单应用.【过程与方法】经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.【情感、态度与价值观】体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.【教学难点】含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺。六、教学过程（一）导入新课拿出一个含30°角的三角尺，测量它的较短的直角边和斜边，看看它们有什么数量关系？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究含30°角的直角三角形的性质教师问1：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论?（出示课件4）学生回答：通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.教师问2：再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？学生操作后回答：成立.教师问3：如何证明我们的结论是正确的呢？学生先试答，教师总结如下：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．（出示课件5师生共同解答如下：证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD.则AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD.又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°．∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB.∴BD=2BC．∴BC=12教师总结点拨：（出示课件6）倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……教师问4：同学想一下，还有其他的证明的方法吗？师生共同讨论后解答如下：（出示课件7）证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.

∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.

∵∠A=30°，

∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.

∴AE=EC，∴AE=BE=BC.

∴AB=AE+BE=2BC.

∴BC=12教师总结点拨：（出示课件8）在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.

教师归纳总结：（出示课件9）含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

应用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()（出示课件10）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm师生共同解答如下：解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，

在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.

答案：D.教师提醒：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

出示课件11，学生独立思考后解答，教师给出答案.例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于()（出示课件12）A．3B．2C.1.5D．1师生共同解答如下：解析：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO.∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.答案：C.教师总结点拨：（出示课件13）含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．

出示课件14-15，学生独立思考后解答，教师给出答案.例3：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．（出示课件16）师生共同解答如下：解：CD=12理由如下：

∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).

（出示课件17）∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.

在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝12AD＝12BD，即CD＝12DB.

含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．出示课件19，学生独立思考后解答，教师给出答案.例4：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，求立柱BC,DE的长.（出示课件20）师生共同解答如下：（出示课件21）解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=12AB,DE=12AD.

∴BC=12×7.4=3.7(m).

∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m).

答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.（三）课堂练习（出示课件23-28）1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()

A．6米B．9米

C．12米D．15米

2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()

A．300a元B．150a元

C．450a元D．225a元3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=___________.4.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm.

5.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．

6.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3AE.

7.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.参考答案：1.B2.B3.54.85.解：连接AE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴BE=AE.∴∠EAB=∠B=15°.

∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．

∵∠C=90°，

∴AC=12AE=126.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴∠B+∠BAD=90°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠ADE+∠BAD=90°.∴∠ADE=∠B=30°.∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.7.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°.∵CD=AE，∴△ADC≌△BEA(SAS).

∴∠CAD=∠ABE.

∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠BAP+∠ABE=60°.

∴∠BPQ=60°.

又∵BQ⊥AD，

∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ.

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（五）课前预习预习下节课（16.1.1）的相关内容。了解同底数幂的乘法的运算法则.七、课后作业1、教材84页练习第1，2题，教材第85-86页习题15.3第7，12题2、如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.八、板书设计：九、教学反思：1.本节课难点在于探究直角三角形的性质，由于设计了画图、测量的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果.2.本节的主要内容是直角三角形的性质,应用画图、测量、猜测得到性质,进而从理论证明,尽量为学生提供“做中学”的时间,让学生在探究的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,营造思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养学生分类、探究、合作、归纳的能力.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴