专题2.1函数定义域（5类必考点分类集训）（教师版）

专题2.1函数定义域TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：具体函数的定义域】 2【考点2：抽象函数的定义域】 4【考点3：复合函数的定义域】 5【考点4：已知函数的定义域求参数】 8【考点5：实际问题中的定义域】 11【考点1：具体函数的定义域】1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D.【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误；对B，，由知其定义域为，故B错误；对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误；对D，，显然其定义域为，故D正确.2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的定义域满足，解得或，则定义域为．3．（26-27高一·全国·初升高衔接）函数中自变量的取值范围是__________．【答案】且【详解】由题意得且，解得且．4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数，则的定义域为__________.用区间表示【答案】【详解】要使函数有意义，需使，解得，故的定义域为.5．（26-27高一·全国·暑假作业）求函数的定义域．【答案】【详解】要使函数有意义，需使，解得，则函数的定义域是．6．（26-27高一·全国·暑假作业）求下列函数的定义域：(1)(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可.（2）根据分式有意义求解即可.（3）根据分式及二次根式有意义求解即可.（4）根据分式及零指数幂有意义求解即可.【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，所以原函数的定义域为．（2）要使函数式有意义，则，解得，所以原函数的定义域为．（3）要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为．（4）要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域是.【考点2：抽象函数的定义域】1．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C．[1，3] D．(1，3]【答案】B【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以的定义域需满足：，解得.3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.【详解】设，则可化为.因为定义域为，即，则中的，即，解得.所以的定义域为.4．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为；若函数有意义，则，解得．则函数的定义域为.5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．【答案】【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可.【详解】由题意得，则，即的定义域为.6．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．【答案】【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得．【考点3：复合函数的定义域】1．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件．2．（2026高一上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（

）A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16]【答案】D【分析】根据复合函数的性质，即可求解.【详解】由于的定义域为[1,2]，故，则，令，则，故，故，故的定义域为,故选：D3．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.【详解】由函数的定义域为，所以函数要有意义则：，解得：，所以函数的定义域为：.4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的定义域为，再由求解即可．【详解】因为函数的定义域为，所以，所以的定义域为，则函数有意义，有，得，得，则函数的定义域为：，故选：D5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.【答案】【分析】由的范围求出的范围，从而得到函数的定义域，由的定义域得到的范围，解出中的的范围，从而得到函数的定义域.【详解】由，得，则函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为.故答案为：.6．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解；（2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集．【详解】（1）由，得，把当作整体t，作的图象如下：在内，满足，得，．∴在上满足，，即，，∴定义域为．（2）根据函数表达式可得，在数轴上表示如下：由图示可得，函数定义域为．【考点4：已知函数的定义域求参数】1．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（

）A． B．且C． D．【答案】D【分析】讨论t的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.【详解】由题意得恒成立，，当时，由二次函数的性质可得t>0且，解得，当时，一次函数不恒成立，综上，.2．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）（多选）若函数的定义域为，则（

）A． B．C．函数的定义域为 D．函数的定义域为【答案】ACD【分析】利用函数的定义域可求出b的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项.【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为，可得，，故A正确，B错误；由，得，所以的定义域为，故C正确；由，得，所以的定义域为，故D正确.故选：ACD.3．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可.【详解】因为函数的定义域为，所以不等式在上恒成立，所以，解得，故选：A4．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________．【答案】1【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得或，当时，，定义域为R，符合题意；当时，，定义域为，不符合题意.故5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______．【答案】【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和m≠0分类讨论求解即可.【详解】要使有意义，则有，因为函数的定义域为，故在上恒成立，当时，，恒成立；当m≠0时，则有，解得；综上，实数的取值范围为.6．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.(1)若定义域为，求实数的取值范围；(2)若定义域为，求实数的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解；（2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解；【详解】（1）若定义域为，则恒成立，则，或，解得：；（2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理得，解得：；【考点5：实际问题中的定义域】1．（25-26高一上·安徽六安·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为y米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积.(1)求y关于的函数；(2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？【答案】(1)(2)小王设计的广告牌是长为10米，宽为52【分析】（1）根据题意得到，再结合求得的范围即可；（2）根据基本不等式求的最小值即可得答案.【详解】（1）解：由题意可知，，所以，所以，又，，所以x>1，因为，所以，即，解得，所以.（2）解：法一：由，得，解得（或，舍去），所以，当且仅当，时，取得等号.故小王设计的广告牌是长为10米，宽为52法二：，当且仅当，即时等号成立，此时，故小王设计的广告牌是长为10米，宽为522．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．

(1)设m，试用x表示AP，并求x的取值范围；(2)当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？【答案】(1)，(2)m时，S取得最小值，最小值为2400m2【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可；（2）依题列出S的表达式，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.【详解】（1）依题意可得，则有，即，可得，因此．又要求AP的长不小于50m且不大于100m，即，解得，即，；（2）由图易知，所以由基本不等式可得；当且仅当时，即时，等号成立，此时S取得最小值2400，因此当m时，S取得最小值，最小值为2400．3．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）某人准备在一块占地面积为1200平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（如图所示），大棚占地面积为平方米，其中(1)试用表示，并标明的取值范围；(2)求的最大值，并求出取最大值时的值.【答案】(1)（）(2)的最大值为，此时.【分析】（1）结合图形，明确的关系，可以表示大棚的面积.（2）利用基本（均值）不等式，可求大棚面积的最大值.【详解】（1）由题意：，，，，.所以，，，.所以（）（2）因为（当且仅当即时取“”）.所以的最大值为，此时.4．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，B，C三个矩形区域将种植三种不同的花（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.(1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围：(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)(2)的值为20，最大面积是【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围；（2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值.【详解】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为，，即，，，即，又，，；（2），当且仅当，即时，等号成立，∴当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是.5．（25-26高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为y万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）(1)求出的值，并将y表示为的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】(1)，(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题知，时，，于是，，解得.所以，.根据题意，即所以（2）当且仅当，即时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.6．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）一日，龟兔约定赛跑．已知赛程为米，它们从同一起点同时出发，乌龟速度为米/秒，兔子速度为2米/秒．太阳当头照，秒后，骄傲的兔子回头，不见乌龟的影子，擦了把汗，倚着大树做起了美梦．乌龟依旧前行，又过了分钟，刚睡醒的兔子还是没见乌龟的影子，跑到了终点，却发现乌龟已在那儿……(1)试建立乌龟所经路程（米）与时间t（秒）的函数关系式，并写出定义域；(2)当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，兔子已经睡了多少秒？(3)兔子到终点时总用时多少秒？【答案】(1)，(2)（秒）(3)（秒）【分析】分析乌龟的运动过程建立函数关系式，再结合路程、速度、时间的关系求解具体问题.【详解】（1）依题意得函数关系式为：，乌龟到达终点的时间为（秒），故定义域为.（2）兔子前秒跑的路程为（米），当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，设此时时间为t，则，解得（秒），兔子睡觉的时间为总时间减去前秒，即（秒）.（3）兔子前（秒）跑，然后睡觉分钟（秒），最后跑剩余路程的时间为（秒），因此，兔子到终点的总用时为（秒）.一、单选题1．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合，由，解得且，所以，所以.2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，由，解得，所以，所以.3．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则，即，因为是增函数，解得；另外，由分母不为零得，解得.综上，定义域为4．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，解得，所以函数的定义域是.5．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.6．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（

）A． B．且C． D．【答案】D【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.【详解】由题意得恒成立，，当时，由二次函数的性质可得且，解得，当时，一次函数不恒成立，综上，.二、多选题7．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的定义域为，则（

）A． B．C．函数的定义域为 D．函数的定义域为【答案】ACD【分析】利用函数的定义域可求出的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项.【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为，可得，，故A正确，B错误；由，得，所以的定义域为，故C正确；由，得，所以的定义域为，故D正确.故选：ACD.8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）给出下列结论，其中正确的结论有（

）A．函数的定义域为B．若函数，不存在实数，使的定义域为C．若的定义域为，则的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】BD【分析】对于A，考察函数定义域的求法；对于B，根据对数型复合函数的单调性求解即可；对于C，根据抽象函数的定义域和对数运算计算即可；对于D，根据已知条件列出不等式，结合二次函数的性质计算即可.【详解】对于A：不符合正切函数定义域，A错误；对于B:函数的定义域为时，对恒成立，所以，无解，正确；对于C:因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为，要求的定义域，则，解得，所以的定义域为，C错误；对于D:因为函数的值域为，所以内函数的值域必须包含，当时，的值域为，符合题意.当时，为开口