第五章§5.1平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量与复数§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法、数乘运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量平面向量是自由向量长度(模)向量的大小记作|a|或|AB|零向量长度为0，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量与非零向量a共线的单位向量为±a平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任意向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向相同的向量两向量不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法a-b=a+(-b)数乘|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0设λ，μ为实数，则λ(μa)=(λμ)a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a+b)=λa+λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(×)(2)单位向量都是共线向量.(×)(3)零向量的长度为0，没有方向.(×)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa(λ∈R)，反之成立.(√)2.下列命题正确的是()A.若|a|=|b|，则a=b或a=-bB.向量AB与BA是平行向量C.平行向量不一定是共线向量D.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量答案B解析A项，|a|=|b|说明a，b的长度相等，但不能确定它们的方向，故A错误；B项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故B正确；C项，平行向量就是共线向量，故C错误；D项，两个具有公共终点的向量的起点与公共终点三点不一定在同一条直线上，故两向量不一定共线，故D错误.3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA+OB+OC+OD等于()A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析如图，连接OM，在△OAC中，M为AC的中点，所以OA+OC=2OM，在△OBD中，M为BD的中点，所以OB+OD=2OM，所以OA+OB+OC+OD=4OM.4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与12a-32b共线，则实数t=答案1解析由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ12a−32b，则熟记平面向量线性运算的常用结论(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=12(OA(2)在△ABC中，点P满足PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心⇔AP=13(AB(3)OA=λOB+μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.题型一平面向量的基本概念例1(1)下列四个命题中正确的有()A.若a∥b，b∥c，则a∥cB.“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的充要条件C.若a，b都为非零向量，则使a|a|+b|b|=D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a=|a|a0答案C解析A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相同也可能相反，则a=b或a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，则|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C正确，因为a|a|，b|b|都是单位向量，所以只有当a|a|与b|b|是相反向量，即a与b反向共线时，a|a|+(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A.AD=BC B.AC=BDC.PE=PF D.EP=PF答案D解析方法一(排除法)AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；∵AB∥CD，∴PBPD=PA则PB+PDPD即BDPD=ACPC，即PDBD∵EF∥AB，∴PEAB=PDBD=PCAC∴PE=PF，即P为EF的中点，∴EP=PF，故C错误，D正确.思维升华平面向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.(4)a|a|是与非零向量跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A.向量的模是一个正实数B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量C.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb答案BC解析对于A，零向量的模是0，A错误；对于B，由零向量与任意向量共线知，若a与b不共线，则a与b都是非零向量，B正确；对于C，当a与b至少有一个为零向量时，显然成立，当a与b都是非零向量时，若a，b方向相同，则|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，则|a+b|<|a|+|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a+b|<|a|+|b|.综上可知，对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故C正确；对于D，若a≠0，b=0，则a∥b，但此时不存在实数λ，使a=λb，故D错误.(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).①是共线向量的有；

②方向相反的向量有；

③模相等的向量有.

答案①a和d，b和e②a和d，b和e③a，c，d解析①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|，则△ABC的形状为()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案B解析OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=AB+AC，OB-OC=CB=AB-AC，∴|AB+AC|=|AB-AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，∴△ABC为直角三角形.命题点2向量的线性运算例3(2026·柳州模拟)在△ABC中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且AN=3NM，则CN等于()A.38AB+58AC C.38AB-58AC 答案C解析因为点M是边BC的中点，所以AM=12(AB因为点N在AM上，且AN=3NM，所以AN=34所以CN=CA+AN=CA+3=-AC+38(AB+AC)=3命题点3根据向量的线性运算求参数例4(2025·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB=c，AC=b，点M满足BM=λBC(0<λ<1)，若AM=13b+23c，则λ的值为答案1解析如图，AM=AB+BM=AB+λBC=AB+λ(AC-AB)=λAC+(1-λ)AB=λb+(1-λ)c，因为AM=13b+23c，所以λ=13思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若BDDC=mn，则AD=nm跟踪训练2(1)(2025·哈尔滨模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，点M满足EM=2MD，则AM等于()A.2AB+13B.-13ABC.13AB+D.43AB答案B解析由题意及正六边形的结构特征知AB=ED，BC=FE，且AM=AF+FE+EM，连接AD(图略)，则AD=2FE，AF=AD+DE+EF=2FE+BA-FE=BA+FE，又EM=2MD，所以AM=BA+2FE+23ED=-AB+2BC+23AB=-(2)若|AB|=7，|AC|=4，则|BC|的取值范围是()A.[3，7] B.(3，7)C.[3，11] D.(3，11)答案C解析由题意知|AB|=7，|AC|=4，且|BC|=|AC-AB|，当AC，AB同向时，|BC|取得最小值，|BC|=|AC-AB|=||AC|-|AB||=|4-7|=3；当AC，AB反向时，|BC|取得最大值，|BC|=|AC-AB|=|AC|+|AB|=4+7=11；当AC，AB不共线时，3=||AC|-|AB||<|BC|<|AC|+|AB|=11，故|BC|的取值范围是[3，11].(3)(2025·宣城模拟)在△ABC所在平面中有一点P满足PA=λBC，且PA+PB+PC=2AB，则λ等于()A.12 B.-12 C.-13答案C解析由题意得PA+PB+PC=2(PB-PA)，则3PA+PC=PB，即3PA=PB-PC=CB=-BC，则PA=-13又PA=λBC，所以λ=-13题型三共线定理及其应用例5(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则()A.λμ=-2 B.λμC.λμ=2 D.λμ答案D解析由题意，可设2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故tμ=2,t=(2)(2025·长春模拟)在△ABC中，AD=23AC，点E在BD上，若AE=xBA+13A.-23 B.-45 C.-56答案C解析因为AD=23AC，所以AC=则AE=xBA+13BC=x(-AB)+13(AC-AB=13×32=12AD-因为B，E，D三点共线，所以12-x+13=1，解得思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.(3)已知O，A，B是不共线的三点，且OP=mOA+nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1.跟踪训练3(1)(2026·张家口模拟)已知a，b是两个不共线的向量，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是()A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D答案A解析对于A选项，BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB，又BD，AB有公共点B，所以A，B，D三点共线，A正确；对于B选项，设AB=μBC(μ∈R)，则a+2b=μ(-5a+6b)，即−5μ=1,6对于C选项，设BC=mCD(m∈R)，则-5a+6b=m(7a-2b)，即7m=−5,−2对于D选项，AC=AB+BC=a+2b-5a+6b=-4a+8b，设AC=nCD(n∈R)，即-4a+8b=n(7a-2b)，即7n=−4,−2n(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，m，n∈R，则m+n的值为.

答案2解析连接AO(图略)，因为O是BC的中点，则AO=12(AB+AC)=m因为M，O，N三点共线，所以m2+n2=1，所以m+等和(高)线定理等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ=1.若△OAB与△OA'B'相似，则必存在一个常数k(k∈R)，使得OP'=kOP=kλOA+kμOB，设OP'=xOA+yOB(x，y∈R)，则x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.平面内一个基底｛OA，OB｝及任一向量OP'，OP'=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)；④当等和线过点O时，k=0；⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比.典例(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ，μ∈R)，则λ+μ等于()A.1 B.34 C.23 答案B解析方法一(常规方法)∵E为线段AO的中点，∴BE=12(BA+BO=12BA+14BD=λBA∴λ=12，μ=14，则λ+μ=方法二(等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ+μ=k，则k=BEBF由图易知，BEBF=34，即λ+μ=k=(2)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD(λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值为()A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析方法一(等和线法)如图，由等和线定理可知，当等和线l与圆相切且与BD平行时，λ+μ最大，此时λ+μ=AFAB=AB+BE方法二(坐标法)如图所示，建立平面直角坐标系.则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，设P(x，y)，易得圆的半径r=25即圆C的方程是(x-2)2+y2=45AP=(x，y-1)，AB=(0，-1)，AD=(2，0)，若AP=λAB+μAD，λ，μ∈R，即(x，y-1)=(0，-λ)+(2μ，0)=(2μ，-λ)，则x=2μ所以λ+μ=x2-y+1设z=x2-y+1，即x2-y+1-z因为点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=45所以圆心C(2，0)到直线x2-y+1-z=0的距离d≤r，即|2−z14+1≤25所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.化简AB+BD-AC-CD等于()A.AD B.0 C.BC D.DA答案B解析AB+BD-AC-CD=AD-(AC+CD)=AD-AD=0.2.(2025·南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则AM等于()A.23AB-12AD C.AB+12AD D.3答案D解析依题意可得AM=12AB+12AC=12=12AB+12AD+143.(2026·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，OA=a+b，OB=2a-b，OC=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于()A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析由OA=a+b，OB=2a-b，OC=λa+μb，则AB=OB-OA=a-2b，AC=OC-OA=(λ-1)a+(μ-1)b，因为A，B，C三点共线，设AC=tAB(t∈R)，则(λ-1)a+(μ-1)b=ta-2tb，所以λ−1=t则2λ+μ=3.4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且OP=OA+AB|A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上答案D解析由OP=OA+AB|AB|，得OP-OA=AB|AB|，所以AP=1|AB5.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍答案A解析设AB的中点为M，因为DA+DB+12DC=所以CD=2(DA+DB)，所以CD=4DM，所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，所以S△ABCS△所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为()A.2 B.4 C.3 D.1答案B解析方法一设OA=a，OB=b，因为|a-b|=3，即|OA-OB|=|BA|=3，即|AB|=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，又a是单位向量，则|OA|=1，故|OB|的最大值为|OA|+|AB|=1+3=4，即|b|的最大值为4.方法二因为b=a-(a-b)，所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，所以|b|的最大值为4.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件B.若AB与BC共线，则A，B，C三点在同一条直线上C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线答案ABC解析根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.8.(2025·沈阳模拟)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则()A.O，P，G三点共线 B.OP=2OGC.2OP=AP+BP+CP D.点P在△ABC的内部答案AC解析OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC，因为点G为△ABC的重心，所以GA+GB+GC=0，所以OP=3OG，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP=(AO+BO+CO)+3OP，因为OP=OA+OB+OC，所以(AO+BO+CO)+3OP=-OP+3OP=2OP，即2OP=AP+BP+CP，故C正确；因为OP=3OG，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=.

答案2解析由图可知，2a+b=c，因为向量λa+b与c共线，所以根据共线向量基本定理可设c=μ(λa+b)(μ∈R)，即c=λμa+μb，则2a+b=λμa+μb，所以λμ=2,μ10.(2025·北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA-3OB+2OC=0，则|AB||AC答案2解析由OA-3OB+2OC=0，得OA-OB=2(OB-OC)，即BA=2CB，所以CA=CB+BA=32所以|AB|=23|AC|，即|AB|四、解答题(共27分)11.(13分)已知a，b不共线，OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，OE=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解存在.由题设知，CD=d-c=2b-3a，CE=e-c=(t-3)a+tb，又a，b不共线，则CD≠0，C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE=kCD，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a，b不共线，所以t−3+3k=0,2k故存在实数t=65，使得C，D，E三点在同一条直线上12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，BM=23BC，AN=14AB，AB=a，(1)试用向量a，b来表示DN，AM；(6分)(2)AM交DN于点O，若AO=λOM，求实数λ的值.(8分)解(1)因为DN=AN-AD，AN=14所以DN=14AB-AD=14a因为AM=AB+BM，BM=23所以AM=AB+23BC=a+2(2)因为D，O，N三点共线，所以