第七章§7.4空间直线、平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行考试要求1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄αb⊂性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥αa⊂2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂βb⊂性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥βα⋂1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(×)2.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在α内答案C3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m∥α，则n∥αD.若α∥β，m⊂α，则m∥β答案D解析若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C错误；若α∥β，m⊂α，则m∥β，故D正确.4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为.答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE=EF，平面EFGH∩平面DCGH=HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.1.掌握三种平行关系的转化2.灵活应用以下结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1(湘教版必修第二册P171习题4.3T17)如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在对角线AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.(至少用两种方法证明)证明方法一连接AQ，并延长交直线BC于点K，连接EK(图略).由已知可得AE=BD，又AP=DQ，∴PE=BQ，∴APPE=DQ∵AD∥BK，∴DQBQ=AQ∴APPE=AQQK，∴PQ∥又EK⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二过P作垂线PP'⊥BE于点P'，过Q作垂线QQ'⊥BC于点Q'，连接P'Q'(图略).∵QQ'∥DC，PP'∥AB，∴QQ'∥PP'.由已知可得AE=BD，∠AEB=∠DBC，∵AP=DQ，∴PE=BQ，又PP'=PE·sin∠AEB，QQ'=BQ·sin∠DBC，∴QQ'=PP'，∴QQ'綉PP'，∴四边形PQQ'P'为平行四边形.∴PQ∥P'Q'，又PQ⊄平面BCE，P'Q'⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三在△ABE中，过P作PM∥BE交AB于点M，连接MQ，如图，∵AP=DQ，AE=BD，∴APPE=DQ在△ABE中，PM∥BE，∴APPE=AM∴DQQB=AMMB，∴MQ∥又AD∥BC，∴MQ∥BC，又BC⊂平面BCE，MQ⊄平面BCE，∴MQ∥平面BCE，同理可证PM∥平面BCE，又PM∩MQ=M，PM⊂平面PMQ，MQ⊂平面PMQ，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.跟踪训练1如图，四边形ABCD为矩形，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.证明(1)方法一如图所示，取PB的中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点，所以FG∥BC，FG=12BC因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，且BC=AD，又E为AD的中点，所以DE∥FG，DE=FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.方法二如图所示，取BC的中点记为M，连接DM，MF，因为四边形ABCD为矩形，且M，E分别为BC，AD的中点，所以DE綉BM，所以四边形BMDE为平行四边形，所以DM∥BE，又BE⊂平面PBE，DM⊄平面PBE，所以DM∥平面PBE，又在△PBC中，M，F分别为CB，CP的中点，所以MF∥PB，又PB⊂平面PBE，MF⊄平面PBE，所以MF∥平面PBE，又DM∩MF=M，DM⊂平面MDF，MF⊂平面MDF，所以平面MDF∥平面PBE，又DF⊂平面MDF，所以DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，所以DF∥l.题型二平面与平面平行的判定与性质例3(2025·上海)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2.(1)若直线PA与圆锥底面所成的角为π3(2)已知Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且弧AC的长为π3，CD∥AB.设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平面PBD(1)解由题知，∠PAB=π3，即轴截面△ABP是等边三角形，故PA=AB=2底面周长为2π×1=2π，则圆锥的侧面积为12×2×(2)证明如图所示，连接QC，QO，OD，由题知AQ=QP，AO=OB，则根据中位线性质可知，QO∥PB，又QO⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，则QO∥平面PBD，由于AC=π3，底面圆的半径为1，则∠AOC=π3，又CD∥AB，则∠OCD=又OC=OD，则△OCD为等边三角形，则CD=1，于是CD∥BO且CD=BO，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD，又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，故OC∥平面PBD.又OC∩QO=O，OC，QO⊂平面QOC，于是平面QOC∥平面PBD，又M∈OC，则QM⊂平面QOC，则直线QM∥平面PBD.思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).跟踪训练2如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.题型三平行关系的综合应用例4如图所示，正四棱锥S-ABCD，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD.(1)若M为侧棱SA上一点，且SC∥平面BMD，证明：M为SA的中点；(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SEEC(1)证明如图，在正四棱锥S-ABCD中，连接BD交AC于点O，连接MB，MD，MO，则O为AC的中点，因为SC∥平面BMD，SC⊂平面SAC，平面BMD∩平面SAC=OM，所以SC∥OM，又在△SAC中，O为AC的中点，所以M为SA的中点.(2)解在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，满足SEEC理由如下：取SD的中点Q，由SP=3PD，得PQ=PD，过Q作PC的平行线交SC于点E，连接BQ，BE，PO，如图，由于O是BD的中点，则BQ∥PO，又PO⊂平面PAC，BQ⊄平面PAC，于是BQ∥平面PAC，由SQQP=2，得SEEC=SQ又QE∥PC，PC⊂平面PAC，QE⊄平面PAC，则QE∥平面PAC，又BQ∩QE=Q，BQ，QE⊂平面BEQ，因此平面BEQ∥平面PAC，而BE⊂平面BEQ，所以BE∥平面PAC，即侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，SEEC思维升华解决线面、面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.跟踪训练3如图，在三棱锥D-ABC中，E，M分别为BC，BD的中点，点F在棱AC上，且AF=3FC，点N在棱AC上，且CN=38CA，在棱BC上是否存在一点G，使平面MNG∥平面DEF？若存在，求CG解存在点G满足题意，CGGB证明如下：取BE的中点G，连接MG，NG，图略，因为BG=GE，MB=DM，所以MG∥DE.又MG⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以MG∥平面DEF.因为AF=3FC，所以FC=14CA所以FCCN=14CA又CECG=23，所以CECG=FCCN，所以又EF⊂平面DEF，GN⊄平面DEF，所以GN∥平面DEF，因为MG∩GN=G，MG，GN⊂平面MNG，所以平面MNG∥平面DEF，所以在棱BC上存在点G满足题意，此时CGGB课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线都与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点答案D2.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m∥n”是“α∥β”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析由α∩γ=m，β∩γ=n，若α∥β，由面面平行的性质知，m∥n，必要性成立；由α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α，β相交，相交情况如图，充分性不成立.则“m∥n”是“α∥β”的必要不充分条件.3.已知l，m，n为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面.若α∩β=n，α∩γ=l，β∩γ=m，n∥γ，则()A.l与n相交 B.m与n相交C.l与m平行 D.l与β相交答案C解析如图，由n⊂α，n∥γ，α∩γ=l，得n∥l.又l⊄β，n⊂β，所以l∥β，结合l⊂γ，β∩γ=m，得l∥m∥n.4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别是A'D'，D'C'的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.无法确定答案B解析连接AC交BD于点E，连接MN，EN，A'C'，如图，而M，N分别是A'D'，D'C'的中点，所以MN∥A'C'∥AC，即MN∥AE，且2MN=A'C'=AC=2AE，即MN=AE，则四边形AENM为平行四边形，故AM∥EN，由AM⊄平面BND，EN⊂平面BND，则AM∥平面BND.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若平面A1BC1与平面ABCD的交线为l，则()A.l∥CD B.l∥A1CC.l∥平面A1B1CD D.l∥平面ACD1答案D解析因为B∈平面A1BC1，B∈平面ABCD，平面A1BC1∩平面ABCD=l，所以B∈l.又直线A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1BC1，故得A1C1∥l，所以l是过点B且平行于A1C1的直线.对于A，因为A1C1∥l，A1C1∥AC，所以l∥AC，而AC∩CD=C，故l∥CD不成立，故A错误；对于B，因为l∥AC，而AC∩A1C=C，故l∥A1C不成立，故B错误；对于C，因为l∥AC，而AC∩平面A1B1CD=C，故l∥平面A1B1CD不成立，故C错误；对于D，因为l∥AC，AC⊂平面ACD1，l⊄平面ACD1，所以l∥平面ACD1，故D正确.6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，且AP=λAF，PC∥平面BEF，则实数λ的值为()A.12 B.2 C.13答案D解析如图，连接AC，与BE交于点G，连接FG.因为E为AD的中点，所以AE=12AD=12BC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥则△AEG∽△CBG，所以AGGC=AEBC=12，所以AG又PC∥平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC=GF，所以GF∥PC，所以λ=APAF=AC二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2026·淄博模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是()A.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB.若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nC.若m∥n，n⊂α，α∥β，则m∥βD.若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ答案AC解析对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，此时m，n可以异面，也可以平行，故A错误；对于B，由m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，故B正确；对于C，若m∥n，n⊂α，α∥β，则可得m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，故D正确.8.(2026·重庆模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，N是侧面BB1C1C内一点，且MN∥平面AA1C1C，则MN长度的取值可以是()A.2 B.62 C.22 答案BC解析分别取BC，B1C1的中点G，H，连接MG，GH，HM，如图，由中位线易知MG∥AC，HG∥CC1，又AC，CC1⊂平面AA1C1C，MG，HG⊄平面AA1C1C，所以MG∥平面AA1C1C，HG∥平面AA1C1C，又MG，HG是平面MGH内的两条相交直线，所以平面MGH∥平面AA1C1C，又MN∥平面AA1C1C，所以N在平面MGH内，又N是侧面BB1C1C内一点，所以N的轨迹是线段HG，易知MG=12AC=22，MH=22MG≤MN≤MH，所以MN长度的取值范围是22三、填空题(每小题5分，共10分)9.如图所示，在三棱锥D-ABC中，E，F，G，H分别在棱BD，BC，AC，AD上，CD，AB均与平面EFGH平行，且CD⊥AB，则四边形EFGH的形状为.答案矩形解析因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD=EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以四边形EFGH为矩形.10.(2026·泰安模拟)已知平面α∥β，点P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=10，则BD=.答案6或30解析当点P位于平面α，β同侧时，如图(1)，则ACPC=BDPD，∴915=BD10，当点P位于平面α，β之间时，如图(2)，PDBD=PCAC，∴10BD=39四、解答题(共27分)11.(13分)(湘教版必修第二册P160例7)如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面α与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与α交于点P.求证：P是MN的中点.证明连接AN，设它与平面α交于点Q，连接OQ，PQ.因为OQ是平面ABN与α的交线，b∥α，所以OQ∥BN.同理可证QP∥AM.在△ABN中，O是AB的中点，OQ∥BN，所以Q是AN的中点.又因为QP∥AM，所以P是MN的中点.12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3.(1)求三棱锥A-BDE的体积；(5分)(2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.(9分)解(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以V三棱锥A-BDE=V三棱锥E-ABD=13AE·S△=13×32×12×(2)当P为棱DD1的中点时满足平面PA1C∥平面EBD.连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，CP，A1P，如图，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又E为棱AA1的中点，所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，所以OE∥平面PA1C，又P为棱DD1的中点，所以DP∥A1E且DP=A1E，所以四边形DPA1E为平行四边形，所以DE∥A1P，又DE⊄平面PA1C，A1P⊂平面PA1C，所以DE∥平面PA1C，又DE∩OE=E，DE，OE⊂平面EBD，所以平面PA1C∥平面EBD.[13题6分，14题5分，共11分]13.(链接教材，人教A版必修第二册P145习题8.5T15)(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V)，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是()A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.棱A1D1总与水面所在的平面平行D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF=