2026-2027学年八年级数学上册 第十三章 三角形 单元测试题（含答案）

2026-2027学年八年级数学上册第十三章三角形单元测试题人教版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．如果等腰三角形中有一个角是45°，则这个等腰三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形2．纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域．若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（）A．△ABC的三条高线的交点 B．△ABC的三条中线的交点 C．△ABC的三条角平分线的交点 D．△ABC的三边垂直平分线的交点3．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（）A．40° B．70° C．100° D．100°或70°4．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（）A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，75．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm6．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝64°．则∠B的度数是（）A．26° B．28° C．30° D．32°7．下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④8．将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（）A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短9．如图，连接AC，AD，BD，BE，CE，若∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，则∠A的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45°10．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（）A．64 B．32 C．16 D．128二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．如图，点O是△ABC的重心，则BDCD．（填“＞”“＝”或“＜”）12．在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝度．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足（a﹣7）2+|b﹣3|＝0，c为奇数，则△ABC的周长为．15．工程建筑中经常采用三角形结构，这是因为三角形具有．16．如图，在等边△ABC纸片中，将△BDE沿DE折叠，点B落在点F处，则∠AEF+∠CDF＝．17．如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，AB＝5，△ABE的周长比△ACE的周长大2，则AC的大小为．18．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．已知∠E＝25°，则∠BOC的度数为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如果一个等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为多少？20．（8分）如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．分析：连接AD并延长至点E，要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，解：∵∠BDE＝∠B+，∠CDE＝∠C+，∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，∴∠BDC＝∠B++∠C+．∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，∴∠BDC＝．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，求∠B和∠C的度数．22．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明．23．（10分）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．24．（10分）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点E，F分别在边AB，AC上；CD，BF交于点G，∠BGC+∠EFB＝180°．（1）求证：∠BCD＝∠AFE；（2）若∠A＝60°，∠ABC＝70°，求∠BEF的度数．25．（12分）【问题】（1）如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC的度数为°；【探究】（2）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝α°，则∠BEC的度数为°；（用含α的式子表示）（3）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，若∠A＝62°，则∠BOC的度数为°；（4）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．

参考答案一．试题1．解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角等于45°时，则另一个底角也等于45°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×45°＝90°，∴这个等腰三角形是直角三角形．当等腰三角形的顶角等于45°时，则其两个底角均为＝67.5°．综上所述：这个等腰三角形是直角三角形或锐角三角形，即非钝角三角形，故选：D．2．解：要建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，根据角平分线的性质，这个基地应该建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处，故选：C．3．解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°，∴等腰三角形的装饰品的底角为：×（180°﹣40°）＝70°，故选：B．4．解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意；B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意；C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意；D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意；故选：A．5．解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，∴8﹣AC＝2，解得AC＝6（cm）．故选：D．6．解：设直线m交AB于点F，DF交BC于点E，∵将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B，∵∠1＝∠BEF+∠B，∠BEF＝∠2+∠D＝∠2+∠B，∴∠1＝∠2+∠B+∠B＝∠2+2∠B，∵∠1﹣∠2＝64°，∴2∠B＝∠1﹣∠2＝64°，∴∠B＝32°，故选：D．7．解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意；②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则，所以△ABC是直角三角形，符合题意；③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，所以△ABC不是直角三角形，不符合题意；④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，符合题意，综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④．故选：B．8．解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故选：A．9．解：由三角形的外角性质得到：∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D，∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∵∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，∴∠A+2∠A+60°＝180°，∴∠A＝40°．故选：C．10．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝30°∴A1B1＝OA1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A7B7A8的边长为26＝64，故选：A．二、选择题11．解：根据重心是三角形三条中线的交点，得到BD＝CD，故答案为：＝．12．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵∠B﹣∠C＝20°，∴∠C＝50°，故答案为：50．13．解：如图所示：连接AO，∵S△AOB＝AB•OE，S△AOC＝AC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC，∴AB•OE+AC•OF＝20，×8OE+×8OF＝20，4OE+4OF＝20，4（OE+OF）＝20，OE+OF＝5，故答案为：5．14．解：∵（a﹣7）2+|b﹣3|＝0，∴a﹣7＝0，b﹣3＝0，∴a＝7，b＝3，由三角形三边关系定理得到：7﹣3＜c＜7+3，∴4＜c＜10，∵c为奇数，∴c＝5或7或9，7+3+5＝15，3+7+7＝17，7+3+9＝19，∴△ABC的周长为15或17或19．故答案为：15或17或19．15．解：工程建筑中经常采用三角形结构，这是因为三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．16．解：由折叠得∠F＝∠B＝60°，∵∠F+∠FED+∠FDE＝180°，∴∠FED+∠FDE＝180°﹣∠F＝120°，又∠A+∠AED+∠EDC+∠C＝360°，即∠A+∠AEF+∠FED+∠EDF+∠FDC+∠C＝360°，∴60°+∠AEF+120°+∠CDF+60°＝360°，∴∠AEF+∠CDF＝360°﹣60°﹣120°﹣60°＝120°，故答案为：120°．17．解：∵点D是△ABC的重心，∴AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∵△ABE的周长比△ACE的周长大2，∴AB+BE+AE﹣（AE+CE+AC）＝2，∴AB+BE+AE﹣AE﹣CE﹣AC＝2，∴AB﹣AC＝2，∵AB＝5，∴AC＝3，故答案为：3．18．解：∵CO平分∠ACB，∴，∵CE为外角∠ACD的平分线，∴，∴，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴，∴∠OCE＝90°，又∵∠E＝25°，∴∠BOC＝∠OCE+∠E＝90°+25°＝115°．故答案为：115°．三、解答题19．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4时，∵等腰三角形的周长为14，∴等腰三角形的底边长＝14﹣4﹣4＝6，∴它的底边长为6；当等腰三角形的底边长为4时，∵等腰三角形的周长为14，∴等腰三角形的腰长＝＝5，∴它的底边长为4；综上所述：它的底边长为6或4．20．解：∵∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD，∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，∴∠BDC＝101°．故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101°．21．解：∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝28°，∴在△ABD中，，又∵AD＝DC，∴∠C＝∠CAD，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝76°，∴∠C＝38°．22．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝35°，∴∠ADC＝65°，∴∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．设∠B＝n°，∠ACB＝m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°，∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．23．解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×20°＝40°，∵AF为高，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°，所以∠BAF的度数为50°；（2）由（1）得∠BAD＝∠ABD＝40°，∴BD＝DC＝AD＝5，∴BC＝5+5＝10，∵，∴AF＝8，所以AF的长为8．24．（1）证明：∵CD，BF交于点G，∴∠BGC+∠DGB＝180°，∵∠BGC+∠EFB＝180°，∴∠DGB＝∠EFB，∴CD∥FE，∴∠ACD＝∠AFE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠BCD＝∠AFE．（2）解：∵∠A＝60°，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝50°，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝25°，由（1）得∠ACD＝∠AFE，∴∠AFE＝25°，∴∠BEF＝∠A+∠AFE＝85°，∴∠BEF的度数是85°．25．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠EBC+