湖北省部分省级示范高中2025~2026学年高一下册期末测试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为，则的值为（）A. B. C. D.12.已知向量，，则与夹角为（）A. B. C. D.3.一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图为平行四边形，如图所示，已知，则平面图形的面积为（）A.4 B.8 C.16 D.4.某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.5.袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（）A.可能取到数字3 B.中位数可能是5C.极差可能是4 D.众数可能是36.，是不共线的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量以，为基底的坐标，记作．若，，，则（）A. B.3 C. D.67.的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（）A. B. C. D.8.已知为单位向量，，，则有（）A.的取值范围是 B.存在向量，，使C.的最大值为10 D.的最大值为6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，10.已知，为复数，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则或 D.若，则11.如图，在棱长为1的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则（）A.时，截面为五边形B.时，截面面积为C.时，三棱锥的外接球球心D.时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．13.已知随机事件、满足，，，则__________．14.在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1，若的长度的最小值为，则锐二面角的大小为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4”（1）求事件，的概率；（2）求事件，的概率．16.已知三棱锥，平面，平面平面．（1）求证：平面；（2）已知，，，求与平面所成角的正切值．17.如图，平面，四边形为矩形，，，．（1）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由；（2）当取最小值时，求的值；（3）若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明：18.已知，，分别为非钝角三个内角，，的对边，，（1）求角；（2）若为的中点，求中线的取值范围．（3）为延长线上一点，，求面积的最小值．19.某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？（2）若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：．（3）已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为，则的值为（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：由复数的除法运算及共轭复数的概念求解．解答过程：，得复数的虚部为，得，故．2.已知向量，，则与夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量夹角的坐标表示求解即可.解答过程：由题设，，，所以.因为，所以.3.一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图为平行四边形，如图所示，已知，则平面图形的面积为（）A.4 B.8 C.16 D.答案：C解析：思路：根据斜二测画法画出平行四边形的原图并确定边长，计算即可.解答过程：已知，，斜二测坐标系中，直观图是平行四边形，因此：，根据斜二测面积关系可得：.4.某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据众数、中位数、平均数的概念及与频率分布直方图的关系判断.解答过程：在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值的影响，众数是最高矩形底边中点，也就是频率最高那一组的中点位置.根据如图频率分布直方图左拖尾可知，平均数小于中位数，峰值靠右，所以众数最大，故.5.袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（）A.可能取到数字3 B.中位数可能是5C.极差可能是4 D.众数可能是3答案：B解析：思路：对于AC选项，根据题意结合平均数，方差和极差的定义分析判断，由A选项的结论判断D选项，对于B选项，举例说明即可.解答过程：由题意可得，个数字的平均数为，因此总和为

，方差，整理得，即平方和最大为4（平方和为整数），A：若取到个，则，剩余个数的平方和最多只能为，即剩余个数都是，总和为

，不符合，若取到3有个或以上，平方和至少为，不符合，因此不可能取到，A错误，B：举例：取5个数为，总和为，满足平均为5，平方和，满足方差小于1，排序后中位数为第三个数，即，符合要求，因此B正确，C：若极差为，即最大数最小数，仅两种可能或，若最小数是：，平方和超出要求，若最小数是2：，平方和超出要求，因此极差不可能为，C错误，D：由A的结论，不可能取到3，因此众数不可能是3，D错误.6.，是不共线的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量以，为基底的坐标，记作．若，，，则（）A. B.3 C. D.6答案：C解析：解答过程：，，，．7.的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别求出以的三边所在直线为轴旋转得到的几何体体积，再比较大小即可.解答过程：在中，令，由余弦定理得，显然的最大角为锐角，，过作于，过作于，过作于，由，得，则以直线为轴所得几何体的体积；以直线为轴所得几何体的体积，以直线为轴所得几何体的体积，显然，所以三个几何体体积的最小值为.8.已知为单位向量，，，则有（）A.的取值范围是 B.存在向量，，使C.的最大值为10 D.的最大值为6答案：D解析：思路：不妨设，，，则，，则，则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，即可依次判断选项．解答过程：如图所示：不妨设，，，则，，因为，则，则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，对于A项，得，则，故A项错误；对于B项，直线与圆相切时，此时，得，故与的夹角小于，故B项错误；对于C项，由得，，得，得，则，由，得，得，故C项错误；对于D项，，由，得，故D项正确．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：BD解析：思路：根据基底的定义判断即可.解答过程：对于A，设，则，因为，不共线，所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底.对于B，设，则，因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底.对于C，设，则，因为，不共线，所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底.对于D，设，则，因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底.10.已知，为复数，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则或 D.若，则答案：ABC解析：解答过程：设，对于A，，，所以，A正确；对于B，，，所以，B正确；对于C，若，则，所以或，所以或，对于D，取，此时，满足，但，D错误.11.如图，在棱长为1的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则（）A.时，截面为五边形B.时，截面面积为C.时，三棱锥的外接球球心D.时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为答案：ACD解析：思路：当时，作出截面并求出截面面积判断AB；当时，作出截面，确定点的位置判断C；求出两部分体积判断D.解答过程：对于A，当时，延长交的延长线于点，过点作分别交于点，连接，则五边形为截面，A正确；对于B，由选项A知，由平面平面，得平面与平面、平面的交线平行，则四边形是平行四边形，由，得，由等角定理得，则∽，，解得，即点是中点，于是，，，取中点，中点，连接，则，，，截面面积，B错误；对于C，当时，为中点，则，截面为等腰梯形，分别取中点，得长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为中点，，C正确；对于D，由分别为中点，得的延长线交于一点，则几何体为三棱台，，三棱台体积为，正方体的体积，较大部分的体积为，因此较小部分与较大部分的体积比为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______．答案：解析：思路：由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标.解答过程：由题，设，所以，即，所以，解得，所以点的坐标为.故答案为：13.已知随机事件、满足，，，则__________．答案：.解析：解答过程：事件可拆分为互斥事件与，即,由互斥事件加法公式,所以解得：事件可拆分为互斥事件与，即,同理所以，.14.在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1，若的长度的最小值为，则锐二面角的大小为__________．答案：##解析：思路：根据二面角的平面角的定义可知两点到定直线距离固定时，两点连线长的最小值出现在两点在直线上的垂足重合的位置，利用余弦定理，结合最小距离即可求得二面角大小.解答过程：分别过点作于点，过点作直线于点，则，，根据二面角平面角的定义，垂直于棱的两条垂线的夹角即为二面角的平面角,设锐二面角的大小为，则与的夹角为或其补角.线段的长度可理解为两个分量的合成，即沿直线方向的分量（即垂足、之间的距离）与垂直于直线方向的分量（由、及二面角决定）的合成.当沿方向的分量为，即两个垂足、重合时，取得最小值，长仅由两条垂线段和二面角决定,当垂足重合时，，因，，,由余弦定理：，解得因为二面角是锐角，所以为锐角，故.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4”（1）求事件，的概率；（2）求事件，的概率．答案：（1），（2），解析：思路：(1)求出事件，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；(2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出答案.（1），样本点总数“两个点数之和等于6”，即则，所以所以“至少有一颗骰子的点数为4”则，所以，所以；（2），所以所以所以.16.已知三棱锥，平面，平面平面．（1）求证：平面；（2）已知，，，求与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：如图，过点作，垂足为．平面平面，平面平面，平面,平面．平面，．平面，平面，．又平面，平面．（2）解析：思路：(1)过点作，垂足为．由面面垂直的性质先证，再利用线面垂直的判定定理即得证；（2）过点作于，连接，证明与平面所成角为，借助于三角函数的定义即可求得.（1）略（2）过点作于，连接.平面，平面，平面平面，平面平面，平面，，平面，连接，则是与平面所成角，由（1）得平面，平面,则，，在中，,在中，，.17.如图，平面，四边形为矩形，，，．（1）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由；（2）当取最小值时，求的值；（3）若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明：答案：（1）不存在，理由如下：因为平面，平面，所以.矩形中，.因为平面，，所以平面.若平面平面，过作两平面交线的垂线，则平面.又平面，所以过点存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾．所以平面与平面不垂直，即不存在使平面平面.（2）（3）取中点，连接，，，，则.由，得，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.因为平面，则即为直线与平面所成角，所以，平面.又，所以直线与所成角即为直线与所成角，即.在中，.因为平面，，所以平面.因为平面，所以.在中，.所以.因为平面，平面，所以.矩形中，.因为平面，，所以平面，所以即为二面角的平面角，所以.又，，则，则，则.所以，即.解析：思路：（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质证明即可.（2）以为对称轴，将旋转到平面内，结合两点间直线最短求解即可.（3）取中点，根据直线与平面的夹角，异面直线的夹角，二面角的定义得到，，，结合三角函数证明即可.（1）略（2）由已知，，故，，，四点共面，以为对称轴，将旋转到平面内，且，在直线异侧，则，当且仅当，，三点共线时取等号，已知四边形为矩形，，，则，，此时，即．（3）略18.已知，，分别为非钝角三个内角，，的对边，，（1）求角；（2）若为的中点，求中线的取值范围．（3）为延长线上一点，，求面积的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；（2）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解.（3）设，，在中和中，分别由正弦定理可得，进而得，可求面积的最小值．（1）由已知及正弦边角关系可得，，即，，因为，所以，所以，即，即，又，，则．（2）因为为的中点，所以，