1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时 课件 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）高中数学·选择性必修第一册学习目标，教学重难点教学目标：1.能用向量语言描述点、直线和平面；2.掌握平面法向量的求法。教学重难点：重点：空间点、直线、平面的向量表示方法，直线的方向向量和平面的法向量的概念；难点：建立空间图形基本要素与向量之间的对应关系，把几何问题转化为向量问题。核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、数学抽象一、创设情境，设疑激思——在体验中引发思考​疑中探问题2:在空间直角坐标系中如何确定点P的位置?问题1:如何用向量表示塔顶P的位置?信号塔，是中国移动、中国联通、中国电信等网络运营商所建立的一种无线信号发射装置，外形像塔，所以叫作信号塔.平面向量空间向量代数运算推广建系问题：空间向量解决了哪些几何问题？距离问题夹角问题平行、垂直问题一、创设情境，设疑激思——在体验中引发思考​疑中探

点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面.几何中点线面向量中？？？二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩

在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用

来表示，我们把

称为点P的位置向量.思考1：如何用向量表示空间中的一个点？定点OPp向量的坐标起点的坐标终点的坐标二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩探究活动1空间中点向量表示

a是直线l的方向向量，在直线l上取

设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：思考2：如何用向量表示空间中的直线？P几何中向量中aAB一个点一个方向+

点P在直线l上充要条件存在实数t，使得即点方向向量+二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩探究活动2空间中直线的向量表示进一步地，取定空间中的任意一点O，PaAB可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①或②O①

②式称为空间直线l的向量表示.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩α思考3：两条相交直线确定一个平面，一个定点和两个定方向能确定一个平面？PabBCAO点A与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.充要条件存在实数x,y，使得点P位于平面ABC内空间平面ABC的向量表达式二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩探究活动3空间中平面的向量表示（2种方法）α思考4：一个定点和一个定方向能确定一个平面？直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.可以表示为集合平面α过点A，且l⊥α⇒α是唯一的空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定lAPa如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b,b与a有什么关系？二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩探究活动4空间中平面的向量表示（2种方法）分析:(1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出;(2)平面MCA1可以看成由

中的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量.例1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量．（2）求平面MCA1的一个法向量．​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明解：(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.例1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量．（2）求平面MCA1的一个法向量．​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明所以设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.所以（2）求平面MCA1的一个法向量．(2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明归纳总结求解平面法向量的一般步骤：​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明悟中升四、课堂小结，反思升华——在反思中实现内化​教师寄语：今天我们完成了"用向量表示几何要素"的第一步，这是用空间向量解决立体几何问题"三步曲"（表示→运算→翻译）的起点。后续我们将继续学习如何用方向向量和法向量研究直线、平面的平行与垂直关系。1.知识框架：点→位置向量；直线→一点+方向向量；平面→一点+两个方向向量或一点+法向量。2.思想方法：类比思想（平面→空间）、数形结合思想、转化与化归思想。3.核心素养：直观想象（看几何体建向量）、数学抽象（用向量述几何）、数学运算（求法向量）。五、布置作业，拓展延