2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题14 导数（教师版）

专题14导数

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础：求导判极值点；新变化：限定区

考点1极值与参2025高考解答，2026多模高频，单选

间存在极大/极小值，多参数分类讨

数范围填空均有

论，常结合不等式解集综合设问

传统切点斜率、切线方程稳定；2026创

考点2导数几何2023/2024/2026均为3问压轴，年年新：切线垂线与曲线无交点、切线衍生

意义（切线）基础题不变数列、切线垂直存在性证明，数形结合

复杂度提升

常规求单调区间、函数最值；新增工程、

考点3单调性、最2017-2026填空单选常规，解答高频建

斜坡、投掷等实际建模，结合对称集、

值应用模题

奇偶充要条件逻辑证明

核心变化：原创概念（控制函数、最近

点、k调整函数）为主载体，融合数列、

考点4导数综合近四年解答压轴核心，2026新定义集

三角形、解析几何，恒成立、存在性、

应用中爆发

充要证明为固定设问，计算与逻辑双重

拔高

考点01利用导数求函数极值存在的参数范围

1．（2025·上海·高考真题）已知f(x)x2(m2)xmlnx,mR．

(1)若f(1)0，求不等式f(x)x21的解集；

(2)若函数yf(x)满足在(0,)上存在极大值，求m的取值范围；

【答案】(1)1,

(2)m0且m2.

1/43

【分析】（1）先求出m，从而原不等式即为xlnx1，构建新函数sxxlnx,x0，由该函数为增函

数可求不等式的解；

（2）求出函数的导数，就m0,0m2,m2,m2分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】（1）因为f10，故1m200，故m1，故fxx2xlnx，

故fxx21即为xlnx1，

1

设sxxlnx,x0，则sx10，故sx在0,上为增函数，

x

而xlnx1即为sxs1，故x1，

故原不等式的解为1,.

（2）fx在0,有极大值即为有极大值点.

m2x2m2xm2xmx1

fx2xm2，

xxx

若m0，则x0,1时，fx0，x1,时，fx0，

故x1为fx的极小值点，无极大值点，故舍；

mm

若01即0m2，则x,1时，fx0，

22

m

x0,1,时，fx0，

2

m

故x为fx的极大值点，符合题设要求；

2

若m2，则x0,时，fx0，fx无极值点，舍；

mm

若1即m2，则x1,时，fx0，

22

m

x0,1,时，fx0，

2

故x1为fx的极大值点，符合题设要求；

综上，m0且m2.

考点02导数的几何意义

1

1．（2026·上海·高考真题）已知aR，函数fxx2ax3，gx4x．

x2

1

(1)已知f14，求fxgx的解集；

x2

(2)已知a0，l1是fx在点0,3处的切线，l2是过点0,3且垂直于l1的直线，gx与l1、l2在第一象限

内均无公共点，求a的取值范围．

【答案】(1),00,13,

1

(2),0,2

2

【分析】（1）求出参数a，解不等式即可求出x的范围；

1

（2）求出直线l与l的方程，利用gx与l、l在第一象限内均无公共点，得出gx4xax3与

1212x2

11113

gx4xx3无正实数解，分离参数，转化为直线ya与y与曲线hx4在x0

x2aax3x

内均无交点，对hx求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数a的取值范围.

1

【详解】（1）由题意，x0.在fxx2ax3与gx4x中，

x2

f112a34，解得a0，∴fxx23，

1

∵fxgx，

x2

11

x234x

∴x2x2，解得x0或0x1或x3，

x0

∴不等式的解集为,00,13,.

（2）由题意知a0，由fxx2ax3，得fx2xa，

∴f00aa.

∵直线l1为fx在点0,3的切线，

∴直线l1的方程为y3ax0，即yax3，

∵l2是过点0,3且垂直于l1的直线，

11

∴直线l的方程为：y3x0，即yx3，

2aa

1

对于函数gx4x，x0，曲线gx与l、l在第一象限内均无公共点，

x212

111

∴gx4xax3与gx4xx3无正实数解，

x2x2a

13113

分离参数得，a4，4，

x3xax3x

113

∴直线ya与y与曲线hx4在0,内均无交点，

ax3x

3/43

333x233x1x1

而hx，

x2x4x4x4

当hx0时，解得x1（舍）或x1，

∴当hx0即0x1时，函数单调递减，

当hx0即x1时，函数单调递增，

3

∴hx在x1处取最小值，hxh1142.

min1

当x0时，hx，当x时，hx4，

11

∴a2且2，即a或0a2，

a2

1

∴实数a的取值范围为,0,2.

2

2．（2026·上海·高考真题）已知函数fxsinx0,0π.

π

(1)当2，f0，求函数fx在x0处的切线方程；

12

2

(2)若函数fx的最小正周期为3π，且fx在x0,2026π上恰好有1351个解，求的取值范围.

2

1

【答案】(1)y3x

2

ππ3π

(2)0或，

1244

π5π

【分析】（1）根据2以及f0可得fxsin2x，即可求导以及点斜式求解直线方程，

126

（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.

【详解】（1）当2时，则fxsin2x，

πππππ

根据f0可得fsin0，故kπ,kZ，故kπ,kZ，

1212666

5π5π

由于0π，故，故fxsin2x，

66

5π5π

fx2cos2x，则f02cos3，

66

11

故函数fx在x0处的切线方程为y3x0，故y3x，

22

2π22

（2）函数fx的最小正周期为3π，故，所以fxsinx，

3π33

24052π

令tx，当x0,2026π，则t,，

33

2π3π

令sint，则t2kπ或t2kπ,kZ，

244

π4052π

2π675<

43

π23π4052ππ

当0时，要使得sint有1351个实数根，则2π675，解得0，

424312

π

0

4

3π4052π

2π675<

43

π3π29π4052ππ3π

当时，要使得sint有1351个实数根，则2π675，解得，

4424344

π3π

44

9π4052π

2π675<

43

3π211π4052π

当π时，要使得sint有1351个实数根，则2π675，无解，

4243

3π

π

4

ππ3π

综上可得0或.

1244

22

3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，令s(x)(xa)(f(x)b)，若s(x)在xx0

时取得最小值的点，则称(x0,f(x0))是M的“f最近点”.

1

(1)对于函数f(x),x(0,)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得点P是M的“f最近点”；

x

(2)对于函数f(x)ex,xR，M(1,0)，请判断是否存在一个点P，使它是M的“f最近点”，且直线MP与

曲线f(x)在点P处的切线垂直？

(3)已知函数f(x)(xR)可导，函数g(x)0在xR上恒成立，对于点M1(t1,f(t)g(t))与点

M2(t1,f(t)g(t))，若对任意实数t，均存在点P同时为点M1与点M2的“f最近点”，说明f(x)的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，P0,1

(3)严格单调递减

【分析】（1）代入M(0,0)，利用基本不等式即可；

（2）由题得sx(x1)2e2x，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；

1

（3）根据题意得到sxsx0，对两等式化简得fx0，再利用“最近点”的定义得到不等

1020g(t)

式组，即可证明x0t，最后得到函数单调性.

5/43

2

212121

【详解】（1）当M(0,0)时，sx(x0)0x2x2，

xx2x2

1

当且仅当x2即x1时取等号，

x2

故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在fx的“最近点”．

2

（2）由题设可得sx(x1)2ex0(x1)2e2x，

则sx2x12e2x，

因为y2x1,y2e2x均为R上单调递增函数，

则sx2x12e2x在R上为严格增函数，

而s00，故当x0时，sx0，当x0时，sx0，

故，此时P0,1，

sxmins02

而fxex,kf01，

故fx在点P处的切线方程为yx1.

01

而k1，故kk1，

MP10MP

故直线MP与yfx在点P处的切线垂直．

22

（3）设s1x(xt1)(fxftgt)，

22

s2x(xt1)(fxftgt)，

而s1x2(xt1)2(fxftgt)fx，

s2x2(xt1)2(fxftgt)fx，

若对任意的tR，存在点P同时是M1,M2在fx的“最近点”，

设Px0,y0，则x0既是s1x的最小值点，也是s2x的最小值点，

因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，

则存在使得，

x0,s1x0s2x00

即①

s1x02x0t12fx0fx0f(t)g(t)0

②

s2x02x0t12fx0fx0f(t)g(t)0

由①②相等得44g(t)fx00，即1fx0g(t)0，

1

即fx0，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，

g(t)

1

则fx0恒成立，

0g(t)

接下来证明x0t，

因为x0既是s1x的最小值点，也是s2x的最小值点，

则s1x0s(t),s2x0s(t)，

222

即x0t1fx0ftgt1gt，③

222

x0t1fx0ftgt1gt，④

2

③④得222

+2x0t22fx0f(t)2g(t)22g(t)

2222

即x0tfx0ft0，因为x0t0,fx0ft0

x0t0

则，解得x0t，

fx0ft0

1

则ft0恒成立，因为t的任意性，则fx严格单调递减.

g(t)

1

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到fx，再利用最值点

0g(t)

定义得到x0t即可.

4．（2023·上海·高考真题）令fxlnx，取点a1,fa1过其曲线yfx作切线交y轴于0,a2，取点

a2,fa2过其作切线交y轴于0,a3，若a30则停止，以此类推，得到数列an．

(1)若正整数m2，证明amlnam11；

(2)若正整数m2，试比较am与am12大小；

(3)若正整数k3，是否存在k使得a1,a2ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试

说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)amam12

(3)存在，k3

【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，

7/43

（2）构造函数后由导数证明不等式，

（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，

1

1

【详解】（1）f(x)，则f(x)在(an,f(an))处的切线为ylnan(xan)，

xan

当x0时，ylnan1，即an1lnan1，

所以当正整数m2时，amlnam11；

（2）作差得an1(an2)lnanan1，

1

令g(x)lnxx1，g(x)1，

x

当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，

故g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)上单调递减，

g(x)g(1)0，故an1an2，

所以当正整数m2时，amam12；

（3）an1anlnanan1，令h(x)lnxx1，

h(x)与g(x)单调性相同，由（2）得h(x)h(1)2，

当x0时，h(x)，当x时，h(x)，

故h(x)d至多有两解，

若a1,a2,a3,ak成等差数列，则h(a2)h(a3)h(ak)，

故最多3项成等差数列，此时d<-2，k3．

a21

而a3lna21，a1e，

1

令t(x)ex1lnx12x，t(x)ex12，显然x0时，t(x)0，

x

故t(x)在(0,)上单调递增，

而，t(0.01)0，t(1)e230，故t(x)0有唯一解，

存在a2(0.01,1)使得a1a32a2，此时a30，故存在最多3项成等差数列，

5．（2023·上海·高考真题）设函数f(x)ax3(a1)x2x,g(x)kxm，其中a0,k,mR，若任意x[0,1]

均有f(x)g(x)，则称函数yg(x)是函数yf(x)的控制函数”，且对于所有满足条件的函数yg(x)在x

处取得的最小值记为f(x)．

(1)若a2,g(x)x，试问yg(x)是否为yf(x)的控制函数”；

1

(2)若a0，使得直线yh(x)是曲线yf(x)在x处的切线，证明：函数yh(x)为函数yf(x)的控制

4

1

函数，并求“f”的值；

4

(3)若曲线yf(x)在xx0x0(0,1)处的切线过点(1,0)，且cx0,1，证明：当且仅当cx0或c1时，

f(c)f(c)．

【答案】(1)yg(x)是yf(x)的控制函数

13

(2)证明见解析，f

416

(3)证明见解析

【分析】（1）令m(x)f(x)g(x)，利用导函数求单调性进而判断m(x)在[0,1]上的正负即可；

（2）利用导数的几何意义求得切线h(x)的方程，再利用导函数求单调性进而判断f(x)g(x)在[0,1]上的正

负即可；

（3）设曲线yf(x)在xx0x0(0,1)处的切线为t(x)，利用切线过(1,0)求出x0与a的关系，再利用控制

函数的定义求解即可；

【详解】（1）当a2,g(x)x时，令m(x)f(x)g(x)2x33x2，

所以m(x)6x26x6x(x1)，令m(x)0解得x0或1，

所以m(x)在(0,1)单调递减，

又因为m(0)0，所以m(x)在[0,1]上小于等于0恒成立，

即f(x)g(x)在[0,1]上恒成立，所以由题意yg(x)是yf(x)的控制函数.

（2）当a0时，f(x)x2x，f(x)2x1，

1311

所以f，f，

41642

131111

所以曲线yf(x)在x处的切线为yx，整理得h(x)x，

41624216

111

令n(x)f(x)h(x)x2x，则n(x)2x，

2162

111

令n(x)0解得x，所以n(x)在0,单调递增，在,1单调递减，

444

1

又n0，所以n(x)在[0,1]上小于等于0恒成立，

4

即f(x)h(x)在[0,1]上恒成立，所以yh(x)是yf(x)的控制函数，

113

由题意ff.

4416

（3）由题意f(x)ax3(a1)x2x,f(x)3ax22(a1)x1,

9/43

设yf(x)在xx0(x0(0,1))处的切线为t(x)，

则t(x)f(x0)(xx0)f(x0)，因为t(x0)f(x0),t(1)0且f(1)0，

2

所以fx03ax02a1x01fx01x0f1fx0x0ax011x0，

22111

3ax02a1x01ax0x02ax01x010,x01a,x0

2x022a

2

所以2111，

fx03ax02a1x013a2a11

2a2a4a

1112a1

f(x)a()3(a1)()2，

02a2a2a8a2

112a11

所以t(x)f(x)(xx)f(x)(x)t(x)(x1)，

0004a2a8a24a

11

则f(x)x(x1)(ax1)t(x)ax2x0,即(x)20恒成立，

4a2a

所以函数t(x)必是函数yf(x)的“控制函数”.

g(x)kxmf(x)f(x)f(x),f(x)f(x),x(0,1)是函数yf(x)的“控制函数”

1

此时“控制函数”g(x)必与yf(x)相切与x点，t(x)与yf(x)在x处相切，且过点(1,0)，

2a

1

由上及fxtx知：当且仅当x或x1时等号成立，其他位置恒有fxtx，

2a

1

所以f(c)f(c)cx或c1.

2a0

所以曲线yf(x)在xx0(x0(0,1))处的切线过点(1,0)，且c[x0,1]，

当且仅当cx0或c1时，f(c)f(c).

【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过(1,0)点可解出a与x0的

关系.

考点03利用导数研究函数的最值或单调性

1．（2024·上海·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合Mx0x0R,x,x0,f(x)fx0，

在使得M[1,1]的所有f(x)中，下列成立的是（）

A．存在f(x)是偶函数B．存在f(x)在x2处取最大值

C．存在f(x)是增函数D．存在f(x)在x1处取到极小值

【答案】B

【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与

已知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.

【详解】对于A选项：xx0时，fxfx0，

当x01时，x01,1，任意的x,1，fxf1恒成立，

若fx时偶函数，此时f1f1矛盾，故A选项错误；

对于B选项：若fx函数图像如下：

当x1时，fx2，1x1时，fx1,1，当x1，fx1，

∴存在fx在x2处取最大值，故B选项正确；

对于C选项：在x1时，若函数fx严格递增，则集合M的取值不会是1,1，

而是全体定义域，故C选项错误；

对于D选项：若存在fx在x1处取到极小值，则在x1在左侧存在xn，fnf1，与集合M

定义矛盾，故D选项错误.

故选：B

2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点

距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为1.025cos，要使游客从斜坡底走到斜坡顶

端所消耗的总体能最少，则______．

40

【答案】arccos

41

【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力y关于的函数，利用导数求解作答.

方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力y关于的函数，借助辅助角公式求解作答.

4π

【详解】方法1：依题意，斜坡长度L,(0,)，

sin2

4.14cos

因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力yf()L(1.025cos)，

sin

4sin2(4.14cos)cos44.1cos40

求导得f()，由f()0，得arccos，

sin2sin241

4040π

当0arccos时，f()0，当arccos时，f()0，

41412

11/43

4040π

于是函数f()在(0,arccos)上单调递减，在(arccos,)上单调递增，

41412

40

所以当arccos时，人上坡消耗的总体力f()最小.

41

4π

方法2：依题意，斜坡长度L,(0,)，

sin2

4.14cos

因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力yL(1.025cos)，

sin

4

sin

22

4.14cosy16

由y，得ysin4cos4.1，即y216sin()4.1，其中锐角由确

siny

cos

22

y16

定，

π

显然y2164.1，而y0，则y0.9，当且仅当sin()1，即时取等号，

2

44040

此时cossin，即arccos，

0.92164141

40

所以当arccos时，人上坡消耗的总体力y最小.

41

40

故答案为：arccos

41

3．（2025·上海·高考真题）已知函数yfx的定义域是D．对于tD，定义集合Sftxfxft．

S

(1)fxlog2x，求f16；

(2)对于集合A，若对任意xA都有xA，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数yfx是偶函

数”的充要条件是“对任意tD，Sft是对称集”；

x12

(3)若xR，fxemx．求m的取值范围，使得对于任意t1t2D，都有SftSft．

221

【答案】(1)xx16

(2)证明见详解

(3)0,e

【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；

（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；

（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.

【详解】（1）由定义得，Sf16xfxf16xlog2xlog216xx16.

（2）证明：

必要性：因为函数yfx是偶函数，所以对任意xD，fxfx，

对任意tD，若xSft，即fxft，则fxfxft，

所以xSft，所以对任意tD，Sft是对称集.

充分性：若对任意tD，Sft是对称集，

因为对任意tD，tSft，所以tSft，即ftft①，

又tSft，所以tSft，即ftft②.

由①②得，对任意tD，ftft，

所以函数yfx是偶函数.

综上，“函数yfx是偶函数”的充要条件是“对任意tD，Sft是对称集”，得证.

（）因为对于任意ttD，都有SS，

312ft2ft1

xSxS

所以若ft2，则ft1，即若fxft2，则fxft1，

所以ft2ft1，所以fx在R上单调不减，

所以对任意xR，fxexmx0恒成立.

当x0时，显然成立，mR；

exexx1ex

当x0时，m恒成立，令gx，gx，

xxx2

所以gx在0,1单调递减，1,单调递增，所以mgxming1e；

x

exx1e

当x0时，m恒成立，此时gx0

xx2

因为gx在,0上单调递减，当x时，gx0,gx0，

x0,x0时，gx，

所以m0；

综上，m0,e.

【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.

F0

4．（2023·上海·高考真题）已知S为正比例系数，定义：S,F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：

V0

平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．

13/43

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，求该建筑体的S（用R,H表示）；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知f为正比例系数，L2与

L2

A成正比，定义：f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T．已

A

fn1

知该建筑体推导得出S，n为层数，层高为3米，其中f18,T10000，试求当取第几层时，

T3n

该建筑体S最小？

2HR

【答案】(1)

HR

(2)6

【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；

（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值.

【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

22

F02πRHπR，V0πRH，

F0πR(2HR)2HR

所以S2.

V0πRHHR

18n132n1

（2）由题意可得S，nN*，

100003n1003n

3

所以32192n2200，令即3，

SS092n22000

200n3n2600n2

20000

解得n36.274，

81

2000020000

所以S在1,3单调递减，在3,单调递增，

8181

所以S的最小值在n6或n7取得，

3261

当n6时，S0.159，

10036

3271

当n7时，S0.160，

10037

所以在第6层时，该建筑体S最小.

考点04导数的综合应用

n

1．（2025·上海·高考真题）已知数列an、bn、cn的通项公式分别为an10n9，bn2、，

cnan(1)bn.若对任意的0,1，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）

A．4个B．3个C．1个D．无数个

【答案】B

【分析】由cnan(1)bn可知cn范围，再由三角形三边关系可得an,bn,cn的不等关系，结合函数零点解

不等式可得.

【详解】由题意an,bn,cn0，不妨设A(n,an),B(n,bn),C(n,cn)，

三点均在第一象限内，由cnan(1)bn可知，BCBA,0,1，

故点C恒在线段AB上，则有minan,bncnmaxan,bnanbn.

即对任意的0,1，cnanbn恒成立，

令10x92x，构造函数f(x)2x10x9,x0，

则f(x)2xln210，由f(x)单调递增，

又f(3)0,f(4)0，存在x0(3,4)，使f(x0)0，

即当0xx0时，f(x)0，f(x)单调递减；

当xx0时，f(x)0，f(x)单调递增；

故f(x)至多2个零点，

又由f(1)0,f(2)0,f(5)0,f(6)0，

可知f(x)存在2个零点，不妨设x1,x2(x1x2)，且x1(1,2),x2(5,6).

n

若anbn，即10n92时，此时n1或n6.

①

则ancnbn，可知bncnan成立，

要使an、bn、cn的值均能构成三角形，

所以ancnbn恒成立，故bn2an，

10n92n

所以有，解得；

nn6

22(10n9)

n

若anbn，即10n92时，此时n2,3,4,5.

②

则ancnbn，可知ancnbn成立，

要使an、bn、cn的值均能构成三角形，

所以bncnan恒成立，故an2bn，

15/43

10n92n

所以有，解得或；

n1n45

10n92

综上可知，正整数n的个数有3个.

故选：B.

2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀

的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DMDN3．工人师傅现要从完

好的部分中截取一块矩形原料