2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题16 统计、概率、随机变量及其分布（教师版）

专题16统计、概率、随机变量及其分布

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

1.基础小题：条形/散点图判相关性、

2023、2024、2025、2026上海高考均

中位数、平均数、频率直方图组数计算、

有考查；题型覆盖单选、填空、解答大

分层抽样比例，难度基础；2.解答大题

题；2026新增分层抽样多问综合题；

考点01统计固定考两类：①线性回归（求回归方程、

2024重点考查卡方独立性检验、分层

样本中心点、预测求值）；②2×2列联

抽样、均值方差综合计算；2023侧重

表独立性检验（卡方计算，判断是否有

统计图、中位数平均数基础计算；

95%把握相关）；

1.概念辨析为单选核心：区分互斥、对

2017-2026每年必考；单选：独立/互

立、相互独立，常结合实物模型（礼盒、

斥事件辨析、对立事件判定；填空：古

砝码、函数图像）出题；2.古典概型必

典概型计数概率、条件概率；解答：表

考：利用排列组合算总基本事件与符合

格型综合概率、分布列结合期望综合；

考点02概率条件事件，化简分数；3.综合大题：结

2026考查互斥事件概率、对立事件定

合二维表格，先判断事件独立，再求概

义；2024考互斥与独立辨析；2023表

率、写分布列、算数学期望；4.互斥事

格多问概率；2022、2018、2017均为

件加法公式、独立事件乘法公式是计算

组合计数古典概型填空。

核心工具。

2024、2025、2026高考稳定考查；单

选：相关系数正负、独立事件概率；填

1.三大分布高频：①超几何分布：不放

空：二项分布期望方差、正态分布对称

回抽样，求X分布列、期望；②二项

性、超几何分布、条件概率；解答：超

考点03随机变量分布：有放回/独立重复试验，直接套

几何/二项分布分布列、期望计算、

及其分布用E(X)=np,D(X)=np(1−p)；③正态分布：

正态分布区间概率估算、递推型概率数

利用对称轴对称性、P(μ−σ<X<μ+σ)等给

列；2026考分布列期望、全概率；2025

定区间概率求值；

独立事件概率；2024全概率公式、相

关系数。

考点01统计

1/38

1．（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸

易额描述错误的是（）

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B．从2018年开始，进出口总额逐年增大

C．从2018年开始，进口总额逐年增大

D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

【答案】C

【分析】根据已知条形统计图分别判断各个选项即可.

【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确；

统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确；

2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误；

显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，

且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确.

故选：C.

2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（）

A．身高越高，体重越重B．身高越高，体重越轻C．身高与体重成正相关D．身

高与体重成负相关

【答案】C

【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答.

【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确；

由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，

所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误.

故选：C

3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，

某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四

个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______；

【答案】946

【分析】设第二季度、第三季度分别为x,y，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可.

【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为x,y，所以中位数

xy

即为.

2

xy

因为中位数与平均数相等，所以231xy2424xy473,

2

所以2020年GDP总额：231242473946.

故答案为：946.

4．（2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根

据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．

【答案】7

【分析】求得各组的范围，从而确定组数.

【详解】第一组153.5,158.5；第二组158.5,163.5；

第三组163.5,168.5；第四组168.5,173.5；

第五组173.5,178.5；第六组178.5,183.5；

第七组183.5,188.5.

所以组数为7.

故答案为：7

5．（2020·上海·高考真题）已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________

【答案】36

【分析】根据中位数定义，和平均数公式，建立a,b关系，求解即可.

【详解】设ab，1、2、a、b的中位数为3，

2a

则3，解得：a4，

2

3/38

12ab

4，解得：b9，所以ab36.

4

故答案为：36

【点睛】本题考查中位数和平均数的应用，属于基础题.

6．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画画人数

25,35845

35,451055

45,55650

(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在25,35岁的有多少人？

(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？

(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在35,45为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B.事件

A与B是否独立？请说明理由.

【答案】(1)9；

121

(2)；

3

(3)不相互独立，理由见解析.

【分析】（1）由题意，计算25,35年龄段占总体比例，据此可得答案.

（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；

（3）验证PAPB，是否等于PAB可得答案.

4533

【详解】（1）25,35年龄段占总体比例为：，则抽取人数为：309；

1501010

4555503111121

（2）由题可得150人的平均年龄为：304050304050；

150150150103033

5511244101

（3）由题可得PA，PB，PAB，

150301502515015

注意到PAPBPAB，则事件A与事件B不相互独立.

7．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌．以下是历届奥

运会男子4100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y0.311xbˆ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的

成绩（精确到0.01秒）．

【答案】(1)10.15；210.015；

3

(2)

10

(3)204.56

【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；

（2）由古典概型概率公式可得；

（3）先求成绩平均数y，再由(x,y)在回归直线上，代入方程可得b，再代入年份预测可得.

【详解】（1）由题意，数据的最大值为216.93，最小值为206.78，

则极差为216.93206.7810.15；

数据中间两数为209.35与210.78，

209.35210.68

则中位数为210.015.

2

故极差为10.15，中位数为210.015；

（2）由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，

故设事件A“恰有2个数据在211以上”，

C2C13

46

则P(A)3，

C1010

3

故恰有2个数据在211以上的概率为；

10

（3）由题意，成绩的平均数

206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93

10

211.399，

由直线y0.311xb过(2006,211.399)，

则b211.3990.3112006835.265，

5/38

故回归直线方程为y0.311x835.265.

当x2028时,y0.3112028835.265204.557204.56.

故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.

8．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

n(adbc)2

（附：2,其中nabcd，P23.8410.05．）

abcdacbd

【答案】(1)12500

(2)0.9h

(3)有

【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；

（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；

（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.

179432825

【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，

58058

25

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为2900012500．

58

（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

10.50.5111.51.5222.5

13919117943280.9．

58022222

则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.

（3）由题列联表如下：

1,2其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设H0：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．

其中0.05．

580(4530817750)2

23.9763.841．

95485222358

则零假设不成立，

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．

9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，

单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．

17

【答案】(1)

45

(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱

(3)方差1427.27克2，平均数285.44克，预估平均质量为287.69克

【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；

（2）利用分层抽样的定义进行求解；

（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.

【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，

136135

样本空间的样本点的个数nC29180，

1362

11

A事件的样本点的公式mC102C343468，

m346817

所以PA；

n918045

（2）因为一级果箱数：二级果箱数102:343:1，

31

所以8箱水果中有一级果抽取86箱，二级果抽取82箱；

3131

22

（3）设一级果平均质量为x，方差为Sx，二级果质量为y，方差为Sy，

总体样本平均质量为z，方差为S2，

22

因为x303.45，y240.41，Sx603.46，Sy648.21，

7/38

12048

所以z303.45240.41285.44克，

1204812048

12048

S2[603.46(303.45285.44)2][648.21(240.41285.442)]1427.27克2．

1204812048

10234

预估平均质量为xy287.69克．

136136

考点02概率

1．（2026·上海·高考真题）事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是（）．

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】C

【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.

【详解】根据已知A,B至少有一个发生，

则对立事件为A,B都不发生，所以AB的对立事件为AB.

2．（2025·上海·高考真题）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦

去的边出发，可以到达C点的概率为（）．

1713

A．B．C．D．

216416

【答案】B

【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.

【详解】根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，

共有222216种情况，

要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，

若保留AB,BC两条边，则CD,DA可保留也可擦去，

共有224种情况；

若保留AD,DC两条边，则AB,BC可保留也可擦去，

共有2213种情况（其中有一种情况与上面重复），

则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况，

7

所以可以到达C点的概率为.

16

故选：B.

3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：

所选盒中有笔袋，则（）

A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B相互独立

C．事件A与事件BC互斥D．事件A与事件BC相互独立

【答案】B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．

【详解】选项A，事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A与

事件B不互斥，A错误；

111

选项B，PA，PB，P(AB)，

224

PAPBPAB，B正确；

选项C，事件A与事件BC可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；

111

选项D，PA，P(BC)，P(A(BC))，

244

PAPBCPABC，

A与BC不独立，故D错误．

故选：B．

4．（2026·上海·高考真题）已知事件A，B互斥，PA0.2，PB0.5，则PAB__________．

7

【答案】0.7/

10

【详解】因为A,B互斥，所以PABPAPB0.20.50.7.

5．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；

3

【答案】

7

【分析】

由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．

【详解】

解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方

112121

法共有C1C3C4C1C3C4种，

4

而所有的抽取方法共有C8种，

9/38

112121

C1C3C4C1C3C4303

故每一类都被抽到的概率为4＝＝，

C8707

3

故答案为：．

7

6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）

1

【答案】

5

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

3

【详解】总的情况为C5种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，

21

∴概率为3,

C55

1

故答案为：

5

1

13

7．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①yx；②y；③yx；④2.从中任选2

xyx

个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

1

【答案】

3

1

13

【详解】由四个函数①yx；②y；③yx；④2，

xyx

2

从中任选2个函数，共有C46种，

其中“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有2种，

21

所以“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为P.

63

8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公

司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

米色内饰812

棕色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色

内饰，求PB,PB|A，并据此判断事件A和事件B是否独立；

(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。

为了得到奖品类型，现作出如下假设：

假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内

饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。

假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。

假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。

请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是X，写出X的分布，并求X的数学期望。

11

【答案】(1)P(B),P(B|A)，事件A,B相互独立；

55

(2)分布列见解析，271元.

【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出P(B),P(B|A)，再利用相互独立事件的定义判断作答.

（2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.

23182221

【详解】（1）由给定的数表知，P(B)，P(A)，P(B|A)，

255255105

221

而P(AB)P(A)P(B)，因此事件A,B相互独立，

2555

11

所以P(B),P(B|A)，事件A,B相互独立.

55

（2）设事件C：外观和内饰均为同色，事件D：外观内饰都异色，事件E：仅外观或仅内饰同色，

C2C2C2C249C1C1C1C1244

8122383122

依题意，P(C)2；P(D)2；

C25150C2515025

C1C1C1C1C1C1C1C177

8212381223

P(E)2，则P(E)P(C)P(D)，

C25150

因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；

外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，

奖金额X的可能值为：600,300,150，

奖金额X的分布列：

X600300150

44977

P

25150150

44977

奖金额X的期望E(X)600300150271（元）.

25150150

考点03随机变量及其分布

1

1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率

2

11/38

1

为P(B)，则事件AB发生的概率P(AB)为（）

2

111

A．B．C．D．0

842

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求PAB.

111

【详解】因为A,B相互独立，故PABPAPB，

224

故选：B.

2．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A．气候温度高，海水表层温度就高

B．气候温度高，海水表层温度就低

C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

101

3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，且EX0.5，则b__________．

a0.3b

3

【答案】0.6/

5

【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.

101

【详解】因为随机变量X的分布为，且EX0.5，

a0.3b

所以ab0.7，且EXa0b0.5，

解得b0.6.

4．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有

4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92，B题库的正确

率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．

【答案】0.85

【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.

【详解】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3，

543

各占比分别为,,，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率p0.920.860.720.85．

121212

故答案为：0.85．

一、单选题

1．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（）

A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9

B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有

16个

C．已知y关于x的经验回归方程为yˆ0.30.7x，则样本点3,4的残差为22

D．若随机变量X服从正态分布N1,2，且PX20.8，则P0X10.3

【答案】D

【分析】对于选项A：先按分位数计算规则确定位置，再根据位置对应的数据判断是否正确，对于选项B：

因为多选题正确答案至少为1个，所以计算4个选项的非空子集个数，判断是否符合结论，对于选项C：

先求x3时的预测值yˆ，结合残差公式计算后判断结果是否正确，对于选项D：由条件结合正态分布曲线

的对称性计算P(0X1)即可判断.

【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含8个数据，第三四分位数即75%分位数，

911

又875%6，因此第三四分位数为109，A错误；

2

对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能，

总情况为2416种，减去「都不选」的无效情况，共16115种可能的正确答案，B错误；

对于选项C，残差定义为：实际值减预测值，

将x3代入回归方程可得x3时y的预测值yˆ0.30.731.8，

故残差为，C错误，

对于选项�D−，�正=态−分4布−(N−(1,1.82))=的−密2度.2曲≠线22的对称轴为x1，

因为P(X2)0.8，所以P(X2)0.2，由对称性得P(X0)P(X2)0.2，

又因为该正态分布的对称轴为x1，所以PX10.5，

13/38

所以P0X10.3，D正确.

2．（2026·上海嘉定·二模）生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次·min1）的关系

时，获得了右表的数据，令xlnW，ylnf，并拟合线性回归方程yˆaˆxbˆ．根据已知数据，下列说法

正确的是（）

动物名体重W/g脉搏率f/（次·min1）

鼠25670

豚鼠300300

兔2000205

小狗5000120

大狗3000085

羊5000070

马45000038

A．变量x与y成正相关，且bˆ0B．变量x与y成负相关，且bˆ0

C．变量x与y成正相关，且bˆ0D．变量x与y成负相关，且bˆ0

【答案】D

【分析】由表格数据变化情况可得x与y负相关，然后由bˆyaˆx可判断bˆ的符号.

【详解】由表格数据可得随着动物体重增加，脉搏率逐渐减小，即随着W增加，f逐渐减小.

又函数ylnx在0,上单调递增，则随着xlnW增加，ylnf逐渐减小，

从而x与y负相关，aˆ0.注意到bˆyaˆx，

又由题可得y0，x0，结合aˆ0，

可得bˆ0.

3．（2026·上海闵行·二模）以下是由变量x与y所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的

是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误；

对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误；

对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误；

对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；

故D正确.

4．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名

学生，发现他们每天平均体育运动时间为1.5h．这里的总体是（）

A．该校所有学生B．该校所有学生的每天平均体育运动时间

C．所调查的100名学生D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间

【答案】B

【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确.

5．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨

部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，

乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各

选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为X，则X的期望为（）

751113

A．B．C．D．

4366

【答案】C

【分析】交换后甲部门红人数的变化取决于从甲选出的员工和从乙选出的员工颜色，分四种情况：甲出红、

乙出红；甲出红、乙出蓝；甲出蓝、乙出红；甲出蓝、乙出蓝，由此得分布列，随即可计算期望.

【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色

工牌员工，

由已知X的可能取值为1，2，3.

15/38

22122121121

PX1，PX2，PX3，

34334342346

11111

所以E(X)123.

3266

11

6．（2026·上海杨浦·二模）事件A、B相互独立，若PA，PB，则A与B同时发生的概率为（）.

23

151

A．0B．C．D．

663

【答案】D

【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.

【详解】事件A、B相互独立，则事件A、B也相互独立.

12

事件B发生的概率为PB1PB1.

33

121

则A与B同时发生的概率为PABPAPB.

233

7．（2026·上海金山·二模）已知全集U是一个六元集合，任取U的两个子集A、B（A、B可以相等），

记事件M:BA；记事件N:BA．则PMN（）

95665697729

A．B．C．D．

211211211211

【答案】C

【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件M,N及MN所含基本事件个数，再由和事件的概

率公式求解.

【详解】因为全集U是一个六元集合，所以任取U的两个子集A、B，能形成2626212对集合A,B，即

基本事件总数为212.

U中任一元素x，满足事件M:BA，有以下三种情况，xA,xB;xA,xB;xA且xB；所以M所

含基本事件个数36;

U中任一元素x满足事件N:BA，有以下三种情况，

xA,xB;xA,xB;xA且xB；所以N所含基本事件个数为36，

事件MN表示BA且BA同时成立，所以B，此时A可以是U的任意子集，有26个，即事件MN

所含基本事件有26个，

363626697

所以PMNPMPNPMN.

212212212211

二、填空题

8．（2026·上海·三模）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个

体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个

体的编号为__________．

50446644216606580562616564350242354896321452415248

22662215862663754199584236722458375218510337183911

【答案】43

【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字，

读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)，

60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)，

26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个），

故选出来的第5个个体的编号为43．

2026

xxx2

9．（2026·上海·三模）已知样本数据1,2,,2026的平均数为a，设ka，当函数f(k)(xik)取最

i1

小值时，_______．

【答案】1

20262026

22

【分析】根据题意，得到f(k)2026k2xikxi，结合ka和二次函数的性质，即可求解.

i1i1

202620262026

222

【详解】因为f(k)xik2026k2xikxi，

i1i1i1

可得fk是一个图象开口向上的关于k的二次函数，

20262026

2xx

所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即ii，所以1．

ki1i1xa

220262026

10．（2026·上海徐汇·二模）已知实数a1､a2､a3､a4､a5满足

∣

xxa1xa2xa3xa4xa501,2,3,4，则a1､a2､a3､a4､a5的方差的最大值为__________.

34

【答案】

25

【详解】设a1､a2､a3､a4､a5分别对应1,2,3,4,t，（t1,2,3,4）.

10tt

则a2，

55

所以a1､a2､a3､a4､a5的方差为：

122222

s21a2a3a4ata