2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题10 空间向量与立体几何（学生版）

专题10空间向量与立体几何

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题核心考查空间向量的坐标表示、

线性运算、参数求解，难度较低，为必

2017-2026年连续考查，题型覆盖单选

拿分考点；核心变化为2023年起结合

题、填空题、解答题；2024-2026年均

考点01空间向量空间几何体结构特征、动点轨迹方程、

有基础填空、单选题，2023年考查解

的坐标运算线面位置关系综合考查，2026年创新结

答题基础问，2017-2022年年均有高频

合空间直角坐标系中点的对称问题考

考查

查，对空间想象与数形结合能力要求提

升

基础题考查空间向量模长计算公式、数

量积坐标运算、向量夹角与投影求解，

2018-2026年连续考查，题型以填空难度较低；核心变化为2025年起大量

考点02空间向量题、解答题为主；2026年考查填空压结合空间距离最值、线段长度范围、线

的数量积与模长轴题，2025年考查模长最值类填空，面垂直充要条件综合考查，2026年首次

2018-2023年均有高频考查以本考点为核心命制填空压轴题，从基

础计算转向多知识点融合的综合推理，

难度显著提升

基础题考查线面平行、垂直的向量证明，

点到平面的距离求解；核心变化极为显

2017-2026年年年必考，全题型覆盖，

著：2026年首次结合新定义“正交线”，

考点03空间向量为解答题压轴高频考点；2021-2026年

融合线面角、二面角平面角求解、多面

在立体几何中的应年均有2-3问解答题，2026年同时考

体体积计算综合考查，近年大量结合空

用查单选与解答压轴题，2017-2020年以

间几何体翻折、动点存在性问题命制压

基础填空、单选为主

轴解答题，对空间想象、逻辑推理与综

合计算能力要求大幅提高

考点01几何体的表面积和体积

1/15

．（上海高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体

12025··ABCDA1B1C1D1BD42,DB19

积为_________．

2．（2022·上海·高考真题）已知某圆锥的高为4，底面积为9π，则该圆锥的侧面积为___.

3．（2021·上海·高考真题）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.

4．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于________

5．（2026·上海·高考真题）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PH底面ABCD，垂足H在AD边

上，且AH1，HD4，AB2．

(1)求证：HCPB；

105

(2)若四棱锥PABCD的体积为，求二面角CPBH的大小．

3

6．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台ABCDA1B1C1D1，其中AB4，A1B12.

(1)当AA12时，求AA1和平面A1B1C1D1所成角；

(2)证明：AA1//平面BC1D；若棱台高为3，求三棱锥A1BC1D的体积.

7．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB2．

π

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

3

π

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，CDAB．设点M在线段OC上，

3

证明：直线QM∥平面PBD．

8．（2025·上海·高考真题）在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAACCP2，ABBC2，

(1)若O是棱AC的中点，证明：BO平面PAC，并求三棱锥BOPA的体积；

(2)求二面角BPCA的大小．

9．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥PABCD,O为底面ABCD的中心．

(1)若AP5,AD32，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若APAD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

F0

10．（2023·上海·高考真题）已知S为正比例系数，定义：S,F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：

V0

平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，求该建筑体的S（用R,H表示）；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知f为正比例系数，L2与

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L2

A成正比，定义：f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T．已

A

fn1

知该建筑体推导得出S，n为层数，层高为3米，其中f18,T10000，试求当取第几层时，

T3n

该建筑体S最小？

11．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB//CD，ABAD，AB2，AD3，DC4

(1)求证：A1B//平面DCC1D1；

(2)若四棱柱ABCDA1B1C1D1体积为36，求二面角A1BDA大小.

12．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且PO底

面ABC，APAC2

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.

13．（2022·上海·高考真题）如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，AA1为圆柱OO1的母线.

(1)若AA14，M为AA1的中点，求直线MO1与底面的夹角大小；

(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

14．（2021·上海·高考真题）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平

面ABCD.

（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PD与AC所成角的大小.

15．（2020·上海·高考真题）已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体.

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到ABCD，求AD与平面ABCD所成的角.

2111

16．（2019·上海·高考真题）如图，在正三棱锥PABC中，PAPBPC2,ABBCAC3

（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；

（2）求PABC的体积.

17．（2018·上海·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

(2)设PO4，OA、OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB

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所成的角的大小.

18．（2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长

分别为4和2，侧棱AA1的长为5.

（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小.

考点02点、直线、平面之间的位置关系

1．（2022·上海·高考真题）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD

的中点，连接A1S、B1D，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称M、N

两点可视，下列选项中与点D1可视的为（）．

A．点QB．点PC．点BD．点R

2．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确

的是（）

A．若，m，mn，则n

B．若，m，n，则mn

C．若∥，m//，n//，则m∥n

D．若∥，m//，m∥n，则n//

3．（2023·上海·高考真题）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直

线中，始终与直线BP异面的是（）

A．DD1B．ACC．AD1D．B1C

4．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则

相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次

A．0B．2C．4D．12

5．（2020·上海·高考真题）在棱长为10的正方体.ABCDA1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知

点P到A1D1的距离为3，点P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q

点所在的平面是（）

A．AA1B1BB．BB1C1CC．CC1D1DD．ABCD

6．（2019·上海·高考真题）已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足a，b，c，则

直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（）

A．两两垂直B．两两异面C．两两相交D．两两平行

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7．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA2，该圆锥的底面半径是1．B、C

分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为__________．

8．（2023·上海·高考真题）已知三棱锥PABC中，ABAC,PA平面ABC,PAAB3,AC4,M为BC中点，

过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E、F.

(1)求直线PM与平面ABC所成的角的正切值；

(2)证明：平面MEF//平面PAB，并求直线ME到平面PAB的距离.

考点03空间几何体的结构

1．（2025·上海·高考真题）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（）．

A．AB和C1D1；B．AA1和CC1；C．BD1和B1D；D．A1D1和AB．

2．（2018·上海·高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1

是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳

马的个数是（）

A．4B．8C．12D．16

3．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足ABACBC1，在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．

考点04空间向量

1．（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与x轴、y轴、z轴重合，顶

点A与坐标原点重合，点C是正方体底面中与A相对的对角顶点，点C1在点C的正上方．将正方体绕直线

AC1旋转一周，试问点C的运动轨迹会经过几个空间卦限（）．

A．1B．3C．4D．7

2．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3Ω，存在不全

为0的实数1,2,3，使得1OP12OP23OP30．已知(1,0,0)Ω，则(0,0,1)Ω的充分条件是（）

A．0,0,0B．1,0,0

C．0,1,0D．0,0,1

3．（2026·上海·高考真题）已知向量a，b，c是两两不平行的向量，且a3b//bc，2akc//bc，

则k的值为__________．

4．（2024·上海·高考真题）在棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA13，BD4，

，设异面直线与的夹角为，则．

AB1BCAD1DC5AA1BDcos________

5．（2023·上海·高考真题）已知空间向量OA,OB,OC都是单位向量，且OAOB,OAOC,OB与OC的夹角

为60，若P为空间任意一点，且|OP|1，满足|OPOC||OPOB||OPOA|，则OPOC的最大值为

__________．

6．（2017·上海·高考真题）如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在

的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为

DB1(4,3,2)AC1________

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7．（2024·上海·高考真题）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，ABAC.

(1)证明:PABC；

(2)若圆锥侧面积为3π,BC为底面直径，BC2，求二面角BPAC的大小

一、单选题

1．（2026·上海·三模）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，7，高为3，若该圆台的上、下底面圆周

都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

642π

A．16πB．32πC．642πD．

3

2．（2026·上海·三模）已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直

线l的是（）

A．，l//B．la，a//

C．l//a，aD．la，lb，a，b

3．（2026·上海虹口·三模）设l，m分别为空间中的两条不同的直线，m平面，“l//m”是“l//”的（）

条件：

A．充分非必要B．必要非充分

C．充要D．既非充分又非必要

4．（2026·上海黄浦·三模）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确

的是（）

A．若，，则//B．若a，b，则a//b

C．若a//，b，则a//bD．若a//，a//，则//

5．（2026·上海崇明·二模）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）

A．0,B．0,C．0,D．0,

2222

二、填空题

6．（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留π）

7．（2026·上海·三模）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB3，若球O的体积

为36π，则这个正三棱柱的体积为__________．

8．（2026·上海·三模）若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________．

π

9．（2026·上海普陀·二模）在ABC中，ACB，AC1，过点A作直线l//BC，将ABC绕直线l旋

2

4

转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是π，则Ω的表面积为______.

3

10．（2026·上海静安·二模）直径为22cm的球的表面积为______cm2．（计算结果保留π）

11．（2026·上海·二模）已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________．

12．（2026·上海·三模）已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆x2y216上的动点，定点A3,2，现将

2π

坐标平面沿y轴折成的二面角，使点A翻折至A，则A,P两点间距离的最大值是______．

3

13．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体

ABCDEF为“刍（chu）甍（meng）”．若底面ABCD是边长为4的正方形，EF2，且EFAB，AED和

BFC是等腰直角三角形，AEDBFC90，则FC与底面ABCD所成角的正弦值为______．

14．（2026·上海·三模）如图，AC为圆锥底面圆O的直径，AC4,SO2,M为AC的中点，点B是圆O

上的动点（点M，B在直径AC同侧），当△SBC的面积最大时，点B到平面SMC距离为______．

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三、解答题

15．（2026·上海·三模）如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA2DC2，AC2，F是EB的中点．

(1)证明：DF//平面ABC；

(2)若四棱锥BACDE的体积为3，求平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值的最大值．

16．（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为45的圆锥

PO中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，AOBBOC45.

(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值

(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直

17．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D

异于点C），且ADDE．

(1)求证：平面ADE平面BCC1B1；

(2)若ABC是正三角形，BCCC1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积是三棱锥EADC的体积的12倍，求A1E

与平