2026秋高中数学课后练（人教A版必修一） 充分条件与必要条件分层作业

1.4充分条件与必要条件分层作业

基础巩固

（26-27高一上·甘肃武威·开学考试）

1．“ABC是钝角三角形”是“C100”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）

2．∶x是2的倍数，∶x是6的倍数，则是的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）

3．已知a，b，cR，则“ab”是“acbc”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2026高三·全国·专题练习）

1

4．“x1”是“1”成立的（）

x

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（25-26高二下·湖南怀化·期末）

5．已知a、bR，则“ab0”是“ab0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）

6．已知集合A{0,1,2},B{1,a1}，则“a1”是“BA”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（26-27高一上·全国·课堂例题）

7．（多选）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（）

A．q是p的充分不必要条件

B．p是q的充分不必要条件

C．q的必要不充分条件是p

D．p的必要不充分条件是q

（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）

试卷第1页（共4页）

8．下列说法正确的是（）

A．命题“若x1，则x21”是真命题

B．命题“xR,x210”是真命题

1

C．“1”是“x1”的必要不充分条件

x

D．“x1且y1”是“xy2”的充分不必要条件

（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）

9．已知集合A{x|m3x2m1}，B{x|5x2}，若xA是xB的充分条件，则实数m的值可能

为（）

1

A．5B．3C．0D．

2

（25-26高三·全国·一轮复习）

10．已知A＝,a，B＝,3，且xA是xB的充分不必要条件，则a的取值范围为____________.

（25-26高二·全国·暑假作业）

11．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的_________条件.

（25-26高一上·四川成都·期末）

12．已知全集UR，Ax4x3，Bx|mx6．

(1)若m2，求AB；

(2)若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围．

（26-27高三上·浙江·开学考试）

13．设集合A{x∣1x3},B{x∣1mxm1,m0}，命题p:xA，命题q:xB，若p是q的充要条

件，求正实数m的值；

能力提升

14．若“axa1”是“1x2”成立的充分条件，则实数a的取值范围为（）

A．[1,1]B．(1,1)C．[2,1]D．(2,1)

（25-26高二下·陕西西安·期末）

1

15．设集合Ax|x2a1xa0，集合Bx|1，则“AB3”的一个必要不充分条件是

x2

（）

A．a3B．a2,3C．a1D．a1,2

（25-26高二下·北京昌平·期末）

16．设a,bR，则“ab3”是“a2b29”的（）

试卷第2页（共4页）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（25-26高二下·天津·期中）

17．若“0x4”是“axa2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A．{a|0a2}B．{a|0a2}

C．{a|2a0}D．{a|2a0}

（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）

b2

18．已知集合Aa,,1，Ba,0,ab，则“a1且b0”是“AB”的（）

a

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（26-27高一上·全国·课后作业）

19．（多选）下列各题中，p是q的充要条件的有（）

A．p:a0,q：关于x的方程ax1有唯一解

B．p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例

C．p:xy0；q:x0,y0

D．p:x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根；q:abc0a0

（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）

20．对于实数x，a，使不等式x2axa20成立的一个充分不必要条件可以是（）

A．a0B．xa

C．xa0D．ax0

（25-26高一上·山东德州·阶段检测）

21．“集合Ax,y3x2y2a,xN,yN只有3个真子集”的充分不必要条件有（）

3

A．1a4B．1<a£3C．1a2D．a3

2

（25-26高三·全国·一轮复习）

22．若集合Axx2，Bxbx1，其中b为实数．

（1）若A是B的充要条件，则b________；

（2）若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是：________.

（25-26高一上·上海·阶段检测）

23．设:4x8，:m1x2m4，且mR，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是

________

试卷第3页（共4页）

（26-27高一上·全国·课堂例题）

24．已知集合Mx|x3或x5，Pxax8．

(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx5x8的充要条件；

(2)求实数a的一个值，使它成为MPx5x8的一个充分不必要条件；

(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx5x8的一个必要不充分条件．

探索创新

（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）

25．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A,B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（）

A．AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)

B．AB的必要条件是card(A)card(B)

C．A不是B的子集的必要条件是card(A)card(B)

D．AB的充要条件是card(A)card(B)．

（25-26高一上·四川成都·期中）

26．数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解：

近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目：

p：蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”.

q：宋某将该朋友圈截图发至校园论坛.

r：宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰.

s：论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力.

t：宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”.

经警方调查，确认p、q、r、s均为事实，t是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必

要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”：

（i）q是s的________.

（ii）r是s的________.

（iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________.

试卷第4页（共4页）

《充分条件与必要条件分层作业》参考答案：

1．B

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【详解】若ABC是钝角三角形，可得角A,B,C中有一个是钝角，不能推出C100，

所以“ABC是钝角三角形”是“C100”的不充分条件；

若C100，则ABC是钝角三角形，

所以“ABC是钝角三角形”是“C100”的必要条件；

所以“ABC是钝角三角形”是“C100”的必要不充分条件.

2．B

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】判断与之间的双向推出关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】若x满足，即x是6的倍数，则x必为2的倍数，即x满足，因此，故是的必要

条件；

若x满足，即x是2的倍数，如x2，此时x不是6的倍数，不满足，因此¿，故不是的充

分条件.

综上，是的必要不充分条件.

3．A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件、必要条件

【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合等式性质分别判断充分性和必要性是否成立可得.

【详解】充分性：若ab，根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意实数c，等式仍然成立，可得acbc，

因此充分性成立.

必要性：取a1,b2,c0，则满足条件acbc，但ab不成立，因此必要性不成立.

综上所述，“ab”是“acbc”的充分不必要条件.

4．A

【知识点】判断命题的充分不必要条件

11

【详解】当x1时，由不等式的性质可得1，即“x1”“1”；

xx

11

当1时，不妨取x1，则“x1”“1”.

xx

1

所以“x1”是“1”成立的充分不必要条件.

x

5．D

【知识点】既不充分也不必要条件

【详解】当ab0时，不妨取ab1，则ab0，此时“ab0”“ab0”，

答案第1页（共9页）

当ab0时，不妨取a2，b1，则ab0，此时“ab0”“ab0”，

故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件.

6．A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据集合的包含关系求参数

【详解】若a1，则B{1,2}，又A{0,1,2}，所以BA，

所以“a1”是“BA”的充分条件；

若BA，又A{0,1,2},B{1,a1}，

所以a10或a12，解得a1或a1，

所以“a1”是“BA”的不必要条件；

所以“a1”是“BA”的充分不必要条件.

7．BD

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充分条件、必要条件

【分析】本题考查充分条件、必要条件的概念，若pq且q¿p，则p是q的充分不必要条件，q是p的

必要不充分条件.

【详解】若ab，则ab，所以pq，

若ab，则不一定推出ab，比如a1,b1，满足ab，但ab，所以q¿p，

所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，

所以BD正确.

8．ACD

【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、判断命题的真假

【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D.

【详解】对于A，当x1时，x21，故A正确；

对于B，因为x210时，x210，

又因为当xR时，x20恒成立，故命题“xR,x210”是假命题，故B错误；

11x

对于C，由1，即0，解得x1或x0；

xx

1

所以由1推不出x1，即充分性不成立，

x

1

由x1推得出1，即必要性成立，

x

1

所以“1”是“x1”的必要不充分条件，故C正确；

x

对于D，当x1且y1时，xy2，即充分性成立，

答案第2页（共9页）

当xy2时，如x0,y3，此时不满足x1且y1，即必要性不成立，

所以“x1且y1”是“xy2”的充分不必要条件，故D正确．

故选：ACD

9．ACD

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数

【分析】先根据题意得到AB，再分类讨论A是空集、A不是空集，利用集合的包含关系得到关于m的

不等式（组），解之即可得解.

【详解】因为xA是xB的充分条件，所以AB，

若A是空集，显然满足题意，此时m32m1，解得m4，

m351

若A不是空集，由AB得，解得2m，

2m122

1

综上，m4或2m，

2

对比选项可知，ACD符合题意．

故选：ACD．

10．,3

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数

【详解】由题意知，xAxB，xBxA，即A真包含于B，所以a3，即a的取值范围为,3.

11．充分不必要

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论.

【详解】由已知得pr，rs，sq，prsq.

但由于r推不出p，所以q推不出p，

故p是q的充分不必要条件.

12．(1)ABx2x3

(2)mm4

【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数

【分析】（1）根据交集的定义运算；

（2）由已知得AB，再由集合的包含关系求解参数的取值范围即可.

【详解】（1）若m2，则B{x∣2x6}，

因为Ax4x3，所以ABx2x3；

答案第3页（共9页）

（2）因为“xA”是“xB”的充分条件，所以AB，

所以m4，

即实数m的取值范围是mm4．

13．2

【知识点】根据充要条件求参数、根据集合的包含关系求参数

【详解】由条件A{1x3}，因为p是q的充要条件，所以AB，

1m1

即，解得m2，

m13

所以实数m的值是2.

14．A

【知识点】根据充分不必要条件求参数、充分条件

【详解】设A{xaxa1}，B{x|1x2}，

a1

则由题意得AB，所以，解得a[1,1]．

a12

15．B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据交集结果求集合或参数

1

【详解】集合Bx|1x|x21x|x33，

x2

集合Ax|x2a1xa0x|x1xa0，

当a1时，A1，AB；

当a1时，A1,a；

若AB3，则a3；

若a3，则AB3；

若a3，推不出AB3.

所以a3是AB3的充要条件；

a2,3是AB3的必要不充分条件；

a1和a1,2都是AB3的既不充分也不必要条件.

所以AB3的一个必要不充分条件是a2,3.

16．B

答案第4页（共9页）

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【详解】若a2，b2，满足ab3，但a2b289.

2

若a2b29，因为aba2b22aba2b29，所以ab3成立.

所以是必要不充分条件.

17．A

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数

【详解】由“0x4”是“axa2”的必要不充分条件，

得集合{x|axa2}是集合{x|0x4}的真子集，

则0aa24，解得0a2，

所以实数a的取值范围是{a|0a2}.

18．C

【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用、充要条件的证明

【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可.

bb

【详解】因为Aa,,1，所以a0，要使AB，则0，所以b0.

aa

此时集合Aa,0,1，Ba2,0,a，

要让AB，所以a21，解得a1.

当a1时，A1,0,1，不满足集合元素的互异性，故舍去；

当a1时，A1,0,1，B1,0,1，满足AB.

因此，若AB则a1且b0；

反之，若a1且b0可得AB1,0,1.

即则“a1且b0”是“AB”的充要条件.

19．ABD

【知识点】充分条件、必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一分析即可.

【详解】对于A：当a0时，方程ax1无解，当a0时，方程ax1有唯一解，

故p是q的充分必要条件；故A正确；

对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导，

故p是q的充要条件；故B正确；

对于C：xy0，则x0,y0或x0,y0，故p不是q的充要条件.故C错误；

答案第5页（共9页）

对于D：将1代入方程ax2bxc0，可得abc0，

反之，若abc0，则b(ac)，

2

代入方程ax2bxc0，可得ax(ac)xcaxcx10，

c

解得x或x1，所以x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，

a

故p是q的充要条件.故D正确.

20．ACD

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】分析可知x、a不全为零是不等式x2axa20成立的充要条件，结合充分、必要条件逐项分析

判断即可.

22

22a3a

【详解】因为xaxa0，整理可得x0，

24

2

a3a2

且x0，0，

24

a

x0

2x0

所以当且仅当，即时，x2axa20，

3a2a0

0

4

所以x、a不全为零是不等式x2axa20成立的充要条件.

对于A，显然a0一定能推出x2axa20，

但x2axa20成立时，可以取a0,x1此时推不出a0，

所以是充分不必要条件，故A正确；

对于B，当xa0时，不等式不成立，推不出，所以B错误；

对于C，xa0能推出x、a不全为零，但是x、a不全为零时可以x、a互为相反数推不出xa0，

所以xa0能使不等式x2axa20成立，但不等式x2axa20成立推不出xa0，

所以xa0是充分不必要条件，故C正确；

对于D，ax0等价于a0且x0，能推出x、a不全为零，

但是x、a不全为零推不出a0且x0，

所以ax0能使不等式x2axa20成立，但不等式x2axa20成立推不出ax0，

所以ax0是充分不必要条件，故D正确.

21．CD

【知识点】根据充分不必要条件求参数

【分析】先判断出集合A中元素个数，由此可求a的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结

答案第6页（共9页）

果.

【详解】因为集合A只有3个真子集，所以集合A中有2个元素，

因为xN,yN，则有：

当x0,y0时，3x2y20，

当x0,y1时，3x2y21，

当x1,y0时，3x2y23，

因集合A中只有2个元素，则1<a£3，

3

所给选项中：a1a2a1a3，aa3a1a3，

2

⫋⫋

所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件，

故选：CD.

11

22．##0.5,

22

【知识点】根据充要条件求参数、根据充分不必要条件求参数

【详解】（1）由已知可得AB，

当b0时，B，与AB矛盾，

1

当b0，Bxx，与AB矛盾，

b

1

当b0时，Bxx，

b

11

结合AB可得2，解得b；

b2

（2）因为A是B的充分不必要条件，所以A是B的真子集，

11

所以b0，2，得b，

b2

1

故b的取值范围是,.

2

23．2m3

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数

【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解.

【详解】由:4x8，:m1x2m4，且mR，

m14

因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得2m3，

2m48

经验证m2和m3时，满足题意，

答案第7页（共9页）

所以实数m的取值范围是2,3.

24．(1)a3a5；

(2)a0是所求的一个充分不必要条件(答案不唯一)；

(3){a|a5}是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)．

【知识点】根据充要条件求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据必要不

充分条件求参数

【分析】（1）由条件求MPx5x8的充要条件即可；

（2）由MPx5x8的充要条件，结合充分不必要的定义即可确定结论；

（3）由MPx5x8的充要条件，结合必要不充分的定义即可确定结论.

【详解】（1）MPx5x8的充要条件是a|3a5，

所以实数a的取值范围是a3a5．

（2）由(1)知，MP{x|5x8}的充要条件是a|3a5，

则取区间3,5内的任意一个实数作为a的值，都是M