2026秋北师大版七上数学-3.1 代数式（分层作业）

分层作业3.1代数式目录A组巩固过关题型01探索数字中的排列规律题型02探索代数式中的排列规律题型03探索等式中的排列规律题型04探索表格中的排列规律题型05探索数阵中的排列规律题型06探索点（类似点）的个数排列规律题型07探索图形个数的排列规律B组能力进阶C组思维拔高拓展链接中考题型01探索数字中的排列规律题型011．（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果：通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（

）A．1 B．5 C．7 D．93．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是()，此时他已经写了()个负数．题型02探索代数式中的排列规律题型024．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（

）A． B． C． D．5．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（

）A． B． C． D．6．（2026·江西上饶·模拟预测）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________．题型03探索等式中的排列规律题型037．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（）A． B．C． D．8．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（

）A． B．C． D．9．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第202个等式：______．题型04探索表格中的排列规律题型0410．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（

）．A． B． C． D．11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入……输出……那么，当输入数据时，输出的数据是（

）A． B． C． D．12．（26-27七年级·全国·暑假作业）下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的：142638410……a4029320435554bx根据此规律确定的值为_____．题型05探索数阵中的排列规律题型0513．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（

）A． B． C． D．14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（

）A．行列 B．行列 C．行列 D．行列15．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列．题型06探索点（类似点）的个数排列规律题型0616．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（

）A． B． C． D．17．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（

）A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星．题型07探索图形个数的排列规律题型0719．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（

）把椅子A． B． C． D．20．（26-27六年级上·上海·开学考试）相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要()根小棒，摆个需要()根小棒．21．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推．(1)图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，图③中阴影部分的面积为；(2)计算：．一、单选题1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（

）①②③④A．9998 B．9999 C．10000 D．100013．（25-26七年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（

）A．65 B．82 C．95 D．1014．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下：纸杯个数个个个个个…纸杯高度…当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（

）A． B． C． D．5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（

）A． B．C． D．二、填空题6．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________．7．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________．8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成．9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________．10．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个．三、解答题11．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字．(1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子．(2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________．(3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空：(1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________；(2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________；13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第4个等式：_______；(2)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．14．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题：；；；……(1)【发现规律】填空：（

）（

）（

）（

）；(2)【总结规律】猜想填空：（

）（

）（

）；(3)【应用规律】求的值．15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律．乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：①②③(1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形；(2)根据以上规律计算：．一、单选题1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（）A．39 B．36 C．33 D．313．（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（

）A． B． C． D．4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）A．148个 B．125个 C．126个 D．128个5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（

）A．674 B．641 C．617 D．358二、填空题6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________．梯形个数…图形周长…7．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是：①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上；②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方；③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上．（1）当时，最少的移动次数为__________；（2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示）8．（25-26七年级下·福建漳州·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目式学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：气温（）…13151719…蟋蟀鸣叫次数（次/分钟）…708498112…若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为__________．9．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________．10．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____．三、解答题11．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点．(1)当时，图形的点数为_________个；(2)当时，图形的点数为_________个；(3)当时，图形的点数为_________个；(4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个．12．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：…．请回答下列问题：(1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________；(2)计算：．13．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放．(1)第5个图案需要________根小棒；(2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示）(3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？14．（25-26七年级下·广东河源·期末）南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【初步感知】(1)按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________．【尝试应用】(2)利用上面的规律计算：①________；②当代数式的值为1时，求的值．【拓展迁移】(3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值．15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律．(1)初步分析：计算图1中的结果为；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，，可得，，则；(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答．A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由；B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践：【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推．(1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）．(2)观察下列算式，并完成填空：；；；；_______．(3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由．1．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（

）A． B． C． D．2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示）3．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；……如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______．4．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？分层作业3.1代数式目录A组巩固过关题型01探索数字中的排列规律题型02探索代数式中的排列规律题型03探索等式中的排列规律题型04探索表格中的排列规律题型05探索数阵中的排列规律题型06探索点（类似点）的个数排列规律题型07探索图形个数的排列规律B组能力进阶C组思维拔高拓展链接中考题型01题型011．（2023七年级下·云南保山·竞赛）我校七年级共有学生332人，如果全部排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，则最后一名学生所报的数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先找出报数的循环周期，再通过计算总人数除以周期长度得到的余数，根据余数确定最后一名学生所报的数.【详解】解：观察报数规律可得：报数按重复出现，∴该规律的循环周期长度为，∵总共有名学生，计算得，∴最后一名学生对应循环周期中的第个数，∵循环周期中第个数为，∴最后一名学生所报的数是.2．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果：通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（

）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】先观察已知结果中个位数字的变化，找出循环周期，再通过计算指数除以周期得到余数，根据余数确定目标结果的个位数字．【详解】解：由已知计算结果，提取的个位数字依次为：当时，个位为；当时，个位为；当时，个位为；当时，个位为；当时，个位为；…∴个位数字按1，7，7，5循环，周期为，∵，余数为，∴的个位数字对应循环中第个数字，即．3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是()，此时他已经写了()个负数．【答案】9022【分析】由题意得到一般规律，然后问题可求解．【详解】解：（组）（个），所以余数是2，表示是一组数里的第2个数，所以第90个数是正数90；每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数．题型02题型024．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式．【详解】解：∵第个代数式为，系数，第个代数式为，系数，第个代数式为，系数，第个代数式为，系数，……，∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是．5．（2026·云南昆明·模拟预测）有一列按规律排列的代数式：，，，，，，相邻两个代数式的差都是同一个整式，则第个代数式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先观察已知代数式的排列规律，根据规律写出第个代数式．【详解】解：观察已知代数式可得：第个代数式：，第个代数式：，第个代数式：，第个代数式为．6．（2026·江西上饶·模拟预测）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________．【答案】【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子，分别分析符号、系数的绝对值、字母的指数的变化规律，进而推导出第个式子的通用表达式，再将代入，求出第个式子．【详解】解：当时，，当时，，当时，，当时，，依此类推，第个式子为，将代入得，第个式子为．故答案为：．题型03题型037．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列等式：；；；；，则第个等式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了数字变化规律，观察出变化规律是解题的关键．通过观察等式左右两边数字与序号的对应关系，归纳出第个等式的表达式，再验证等式成立即可．【详解】解：观察已知等式：当时，；当时，；当时，；归纳可得第个等式为，又左边展开得，右边，左右两边相等，等式成立，故选：A．8．（25-26七年级上·河南周口·期中）观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了数字规律型问题（探寻等式的变化规律），解题关键是分析等式左边的项数、最后一项与右边式子的关系，归纳出通用规律．通过观察已知等式，左边均为连续偶数的和，右边为序号与序号加1的乘积，由此归纳出第n个等式的形式．【详解】∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：第4个等式：……∴第n个等式为．故选A．9．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第202个等式：______．【答案】【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果．【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为．第2个等式：，可写为．第3个等式：，可写为．．．．归纳规律可得，第个等式为：．当时，．题型04题型0410．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解．【详解】如图，∵左下角的数依次为，右上角的数依次为，∴右上角的数左下角的数，即，解得：，∵左上角的数依次为，左下角的数依次为，∴左下角的数左上角的数，即，解得：，∵根据()可得：，根据()可得：，根据()可得：，∴推出第()个式子为：，∴．11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入……输出……那么，当输入数据时，输出的数据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题为数字规律探究题，分别观察输出数据的分子分母与输入数据的关系，总结规律即可求解．【详解】解：设输入数据为，观察表格可得：当时，输出；当时，输出；当时，输出；当时，输出；……；因此总结规律：当输入数据为时，输出数据为；∴将代入公式，得输出数据为．12．（26-27七年级·全国·暑假作业）下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的：142638410……a4029320435554bx根据此规律确定的值为_____．【答案】819【分析】根据题意，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，由此列式求解．【详解】解：表格从左往右，从上往下，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，∴，解得，∴，∴．题型05题型0513．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意补全杨辉三角形，即可求解．【详解】解：如图所示：第9行左起第3个数是28.14．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（

）A．行列 B．行列 C．行列 D．行列【答案】D【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现，另第一个数字为，第个数字为，第个数字为，则第个数字为，是第个式子，则，（行），可知在行列，选项符合题意．15．（25-26六年级下·山东东营·期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2026是表中第________行，第________列．【答案】6410【分析】观察数表可知，第行有个数，且前行共有个数，即第行最后一个数为，通过估算确定2026所在的行数，进而求出列数．【详解】解：由图可知，第1行最后一个数是1，第2行最后一个数是，第3行最后一个数是，第4行最后一个数是，第行最后一个数是，当时，，当时，，∵，∴2026在第64行，∵第63行最后一个数是2016，∴第64行第1个数是2017，，∴2026是第64行第10列．题型06题型0616．（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可．【详解】解：∵第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，，第③个图有个圆点，，每增加一个图形，圆点个数增加个．∴第个图中圆点的个数为．当时，圆点个数为．17．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（

）A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚【答案】C【详解】解：观察可知，第个图中的棋子数为个，∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为，∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚.18．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星．【答案】【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量．【详解】解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，所以假设图形序号为，则五角星数量，当时，五角星数量（枚）．题型07题型0719．（25-26八年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（

）把椅子A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论．【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子，故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）．令，可得（把）．20．（26-27六年级上·上海·开学考试）相同的小棒按如图所示方式摆图形．摆第个图形需要()根小棒，摆个需要()根小棒．【答案】【分析】先依次列出个相连六边形对应的小棒数量，对比发现每多一个六边形增加根小棒，推导出个六边形所需小棒的通用代数式，最后把代入式子算出结果．【详解】解：观察图形小棒数量的规律：个六边形（第个图形）：需要根小棒，可写成；个相连六边形（第个图形）：拼接时重合条边，仅增加根小棒，共根，可写成；个相连六边形（第个图形）：再增加根小棒，共根，可写成；由此可得规律：每多个六边形，增加根小棒，摆个图形需要小棒根；当时，代入得（根）；故第个图形需要根，摆个图形需要小棒根．21．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推．(1)图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，图③中阴影部分的面积为；(2)计算：．【答案】(1)；，(2)【分析】（1）根据图形推理即可解得答案；（2）根据图形得出图n中空白部分的面积为．再将代入得出答案即可．【详解】（1）解：由题知：图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：；图③中阴影部分的面积为：；…，所以图n中阴影部分的面积为．（2）解：由题知，图①中空白部分的面积为：；图②中空白部分的面积为：；图③中空白部分的面积为：；…，所以图n中空白部分的面积为：．当时，．一、单选题1．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度．【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高，∴每增加一个纸杯，高度增加，∴8个纸杯的高度为：．2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探索规律：观察下面的算式，第99个算式的结果是（

）①②③④A．9998 B．9999 C．10000 D．10001【答案】C【分析】先观察已知算式，归纳出第个算式的结果规律为，再代入计算即可得到答案．【详解】解：观察给出的算式可得：∵第1个算式的结果为，第2个算式的结果为，第3个算式的结果为，...∴归纳规律：第个算式的结果为.当时，，因此第99个算式的结果是10000．3．（25-26七年级下·重庆·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（

）A．65 B．82 C．95 D．101【答案】B【分析】观察前四个图案中十字星的数量，分别为2、5、10、17，发现每个数都比序号的平方多1，从而得出第个图案中十字星个数的表达式，代入求解即可．【详解】解：∵第①个图案中有个十字星，第②个图案中有个十字星，第③个图案中有个十字星，第④个图案中有个十字星，……，∴第个图案中十字星的个数为．当时，十字星的个数为．4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，数学活动课上，老师带领学生们叠放纸杯，研究纸杯的高度与纸杯个数的关系，经过测量，绘制表格如下：纸杯个数个个个个个…纸杯高度…当叠放个纸杯时，纸杯的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目中的图表，可知每增加一个杯子，高度增加，从而可以得到10个杯子叠在一起的高度．【详解】解：由图表可得，每增加一个杯子，高度增加（），经验证符合题意，则10个杯子叠加时高度（）．5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解．【详解】解：第一个图中最上方的数据，第二个图中最上方的数据，第三个图中最上方的数据，…第个图中最上方的数据，故选：A．二、填空题6．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为____________．【答案】22【分析】观察可知，序号每增加1，黑色棋子的个数就增加3，据此规律求解即可．【详解】解：第1个图形中黑色棋子的个数为，第2个图形中黑色棋子的个数为，第3个图形中黑色棋子的个数为，……，以此类推，可知，第7个图形中黑色棋子的个数为．7．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________．【答案】440【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可．【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…；圆点数量规律为第个图形有个；第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…，三角形数量规律为第个图形有个；∴图中的花卉盆数是，当时，．8．（26-27七年级·全国·小升初衔接）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符．把音符按照一定规律排列如图所示，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，号图由个八分音符组成，，那么第号图由______个八分音符组成，第号图由______个八分音符组成．【答案】/【分析】根据题意号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），，则第号图八分音符有（个），然后当时代入即可求解．【详解】解：号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），号图八分音符有（个），，所以第号图八分音符有（个），当时，第号图八分音符有（个），故第号图由个八分音符组成，第号图由个八分音符组成．9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图想一想，可以把这个算式转化成__________的算式计算，计算结果是__________．【答案】【分析】通过观察前几组算式，发现从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即，据此先计算出中有多少个奇数，再根据奇数个数的平方来求和．【详解】解：观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成；观察第二幅图：有2个连续奇数相加（），和为4，可以写成；观察第三幅图：有3个连续奇数相加（），和为9，可以写成；观察第四幅图：有4个连续奇数相加（），和为，可以写成；总结规律：从1开始的连续个奇数相加，其和等于的平方，即．∵，共有个数，奇数和偶数的个数各一半，即（个），∴中共有个奇数，∴可以转化成，∵；∴．10．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个．【答案】【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个；白色六边形：第1个有个，第2个有个，第3个有个，可得第个图案中白色六边形数量为个；∴白色六边形比黑色六边形多：个．三、解答题11．（25-26七年级上·河北承德·期末）如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字．(1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子．(2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________．(3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)7；12；17(2)(3)不存在，理由见解析【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题．（1）直接数出每个图形的棋子数；（2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示；（3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数．【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚．故答案为：7；12；17；（2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子，第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即，第三个图形用了17枚，即，故摆第个图形需要用的棋子枚数为；故答案为：；（3）解：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚，则，解得，∵为正整数，而73.2不是正整数，∴不存在这样的第个“山”字．12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空：(1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________；(2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________；【答案】(1)14，(2)【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键．（1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题；（2）根据题中所给规律即可解决问题．【详解】（1）解：由题知，第个图案中黄梅花的盆数为：；第个图案中黄梅花的盆数为：；第个图案中黄梅花的盆数为：；，所以第个图案中黄梅花的盆数为盆．当时，（盆），即第个图案中黄梅花的盆数为盆．故答案为：14，；（2）解：由题知，因为第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆．故答案为：．13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第4个等式：_______；(2)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性．【答案】(1)(2)第个等式可表示为（为正整数），验证见解析【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出等式中数字的变化规律是解题的关键．（1）归纳出数字的变化规律，继续写出第4个等式即可；（2）归纳出变化规律，写出第n个等式，并验证即可．【详解】（1）解：由上述规律可得，第4个等式为故答案为：．（2）解：第个等式可表示为（为正整数），验证如下：左边右边，∴等式成立．14．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题：；；；……(1)【发现规律】填空：（

）（

）（

）（

）；(2)【总结规律】猜想填空：（

）（

）（

）；(3)【应用规律】求的值．【答案】(1)30；4；5；9；(2)n；；；(3)【分析】（1）根据规律直接求解即可；（2）根据规律直接求解即可；（3）根据题意变形得，求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：；（2）解：根据题意得：；；；…由此发现，；（3）．15．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律．乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：①②③(1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形；(2)根据以上规律计算：．【答案】(1)9，1(2)5050【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解；（2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解．【详解】（1）解：，这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形；（2）解：．一、单选题1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）有这样一组数：、、、、…、第个数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】第一个数是，是，第二个数是，即…，则观察选项，可得第个数是多少。【详解】第一个数：第二个数：第三个数：第四个数：……第n个数：.2．（25-26七年级下·重庆万州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第8幅图中圆点的个数是（）A．39 B．36 C．33 D．31【答案】D【分析】根据图形总结规律：第幅图中圆点的个数为，进一步即可得解．【详解】解：由题意可知，第一幅图个圆点，，第二幅图个圆点，，第三幅图11个圆点，，第四幅图15个圆点，，…观察发现，第幅图中圆点的个数为，则第8幅图中圆点的个数是（个）．3．（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解．【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，第n个多项式为：，则第10个多项式是：．4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）A．148个 B．125个 C．126个 D．128个【答案】B【分析】观察图形可知，每个图案由中间的正方形点阵和四周固定的4个☆组成，找出中间☆个数与图案序号的关系即可得出规律，进而求解．【详解】解：观察图形可知：第1个图案中☆的个数为；第2个图案中☆的个数为；第3个图案中☆的个数为；第4个图案中☆的个数为；∴第n个图案中☆的个数为，当时，☆的个数为．5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：，；十位：；个位：，第一次操作后得到的数是382，…第2026次操作后得到的数是（

）A．674 B．641 C．617 D．358【答案】C【分析】按照题目操作规则计算多次结果，找出循环周期，再通过计算余数得到第2026次操作的结果．【详解】解：第次操作后为；第次操作：∵百位，得百位为；十位，，得十位为；个位，得个位为，∴第次操作后得到；第次操作：∵百位，；十位，；个位，∴第次操作后得到；第次操作：∵百位；十位，；个位，，∴第次操作后得到；第次操作：∵百位，；十位；个位，，∴第次操作后得到；第次操作：∵百位；十位；个位，，∴第次操作后得到；操作结果每次为一个循环．∵，余数为，∴第次操作的结果与第次操作结果相同，为．二、填空题6．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一个小梯形的下底长为，上底和两腰长都为，用小梯形按图所示拼接，观察图形、表格，若小梯形的个数为，则拼接所成图形的周长是________．梯形个数…图形周长…【答案】6080【分析】每增加一个梯形，其周长就增加，据此求解即可得出n个梯形得到的图形的周长，从而可求解．【详解】解：1个梯形时，其周长，2个梯形时，其周长，3个梯形时，其周长，...，个梯形时，其周长为，当时，其周长为：．7．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为，，的柱子，其中柱有大小不等的个圆盘（为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是：①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上；②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方；③最终将A柱上的圆盘完整地移到C柱上．（1）当时，最少的移动次数为__________；（2）对任意的，最少的移动次数为__________．（用含的式子表示）【答案】7【分析】（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，据此可得答案；（2）根据题目已知条件分别得出当A柱上有1个圆盘时最少需要移动的次数，当A柱上有2个圆盘时最少移动的次数，从而推出当A柱上有n个圆盘时需要移动的次数．【详解】解：（1）先将最小的圆盘放在C上，再将中圆盘放在B上，接着把小圆盘放在B上，接着把大圆盘放在C上，接着把小圆盘放在A上，接着把中圆盘放在C上，最后把小圆盘放在C上，故当时，最少的移动次数为7次；（2）当时，先将小圆盘放在B柱上，大圆盘放在C柱上，再将B柱上的小圆盘放在C柱上，故当时，最少的移动次数为3次；当时，最少的移动次数为；当时，最少的移动次数为次；当时，最少的移动次数为次；……，以此类推，可知对任意的，最少的移动次数为．8．（25-26七年级下·福建漳州·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目式学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：气温（）…13151719…蟋蟀鸣叫次数（次/分钟）…708498112…若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为__________．【答案】11【分析】根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可．【详解】解：由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次，由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫70次的基础上可得，，即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为56次，则该地当时的气温约为．9．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________．【答案】【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可．【详解】解：输入，是偶数，第次输出．输入，是奇数，第次输出．输入，是偶数，第次输出．输入，是偶数，第次输出．输入，是奇数，第次输出．输入，是偶数，第次输出．输入，是奇数，第次输出．输入，是偶数，第次输出．依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环．，第次输出的结果是．10．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____．【答案】【分析】由题中所给图里的数，找出每一行第个数满足的规律即可得到答案．【详解】解：图中每一行第个数是，则第二行第个数：，第三行第个数：，第四行第个数：，第五行第个数：，上述式子满足的规律是第行第个数可表示为，则第行从左到右第个数为．三、解答题11．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点．(1)当时，图形的点数为_________个；(2)当时，图形的点数为_________个；(3)当时，图形的点数为_________个；(4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查的是图形类规律探究，列代数式，观察图形，找出相应的规律是解题的关键．（1）由观察图形直接便可得出，，时点的数量，进一步可得时点的数量．（2）结合（1）可得时点的数量．（3）结合（1）可得时点的数量．（4）结合（1）归纳可得每个图形的点数．【详解】（1）解：依题意得：，点数为，，点数为，，点数为，，点数为（个）．故答案为：12．（2）解：结合（1）可得：当时，图形的点数为（个）．故答案为：30．（3）解：结合（1）可得：当时，图形的点数为（个）．故答案为：．（4）解：由（1），（2），（3）归纳可得：每个图形的点数用含n的式子表示为：个．故答案为：个．12．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：…．请回答下列问题：(1)按上述等式的规律，列出第5个等式：____________；(2)计算：．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，正确找出数字规律是解答本题的关键．（1）根据题意可以找到规律分数的分子均为1，分母为两个连续整数的乘积，其中第一个数为等式的序号，等号的右边为两个分子为1的分数之差，分母为等号左边分母中的两个数；（2）依据（1）中的规律，将原式中的每个分母写成两个连续整数的乘积的形式后各拆成两项，化简即可．【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，第5个等式：，故答案为：，；（2）解：．13．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，下列图案均由长度相等的小棒按一定的规律拼搭而成：第一个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，第3个图案需要18根小棒，…，依此规律摆放．(1)第5个图案需要________根小棒；(2)第n（n大于等于2，且n为整数）个图案中小棒的数量为________；（用含n的代数式表示）(3)按上面的规律，第137个图案中有多少根小棒？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键．（1）根据题意得到第5个图案需要的小棒数为，，由此即可求解；（2）根据（1）的图形规律得到当从第2个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，由此即可求解；（3）把代入（2）中的代数式计算即可．【详解】（1）解：第1个图案需要7根小棒，第2个图案需要13根小棒，即第3个图案需要18根小棒，即，第4个图案需要的小棒数为，，∴第5个图案需要的小棒数为，，故答案为：；（2）解：根据题意，当从第3个图案，即开始，第n个图案中小棒的数量为，故答案为：；（3）解：，∴第137个图案中有根小棒．14．（25-26七年级下·广东河源·期末）南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：【初步感知】(1)按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________．【尝试应用】(2)利用上面的规律计算：①________；②当代数式的值为1时，求的值．【拓展迁移】(3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值．【答案】(1)；(2)①；②或(3)【分析】（1）观察杨辉三角规律：展开式项数为；展开式第二项系数等于．（2）①对照，令，原式恰好等于．②先逆用杨辉三角配成完全四次方，再解方程．（3）根据每层小球数得通项公式：，代入计算．【详解】（1）解：由规律：2项，第二项系数；3项，第二项系数；4项，第二项系数；5项，第二项系数；可得展开式共有项，第二项系数为．（2）解：①．② =a−2由题意：实数范围内，四次方等于1的数为：，，，，综上，的值为3或1．（3）解：由每层小球数：，，，，，得通项公式：，将代入：．15．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律．(1)初步分析：计算图1中的结果为；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，，可得，，则；(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答．A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由；B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)0；0(2)；；；0(3)选择A；的值均为0，理由如下：设，则，，，∴，∴的值均为0．选择B；的值均为，理由如下：设，则，，，∴，∴的值均为．【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案．（2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入