1.3 勾股定理的应用 课后巩固卷（含解析）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.3勾股定理的应用课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（

）．

A．2 B．3 C．3 D．32．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接AB，则AB等于（）A．13cm B．14cm C．15cm3．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为7m．如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移8m，则梯子ABA．24 B．25 C．15 D．204．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3．将△ABC折叠，使点C与边AB的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为（

A．23 B．56 C．2 5．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（）A．13 B．262 C．15 6．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则30mA．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向7．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（

）A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm8．一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km．则C岛和AA．214km B．215km C．9．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，则河的宽度EH是（

）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米10．如图，公路上A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（

A．4 B．5 C．6 D．2二、填空题11．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S乙，则12．一旗杆在离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部813．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，点A到MN的直线距离为120m．公路PQ上点A处距离点O处240m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点14．运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，BD是长方形ABCD的对角线，四边形CEGF是正方形，且位于长方形ABCD内，连接DG,BG，将△BGE沿BG折叠得到△BGH，将△DGF沿DG折叠得到△DGH，点H恰好落在BD上，若BE=1,DF=2，则长方形ABCD的面积为_________．15．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm三、解答题16．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，AC=300km，BC=400km，∠ACB=90°，以台风中心为圆心周围

(1)求海港C到直线AB的距离；(2)台风中心由A向B移动的过程中，海港C受台风影响吗？为什么？18．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE，若使钢索AE与CE相等，那么点E

19．如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地A点出发沿北偏东60°方向行2003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向行200km到达到目的地C20．综合与实践：【问题情境】某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．【操作发现】第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．(1)在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB=，BC=，AC=，△ABC的面积为，点B到AC的距离为；(2)在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH≠5，GQ=22，HQ=17参考答案题号12345678910答案AABBAAACDC1．【答案】A【知识点】勾股定理与网格问题【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用等积法即可求出BD的长．本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键．【详解】解：根据勾股定理得：AC=4∵S又∵S∴1∴1∴BD=2．故选：A．2．【答案】A【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=BC=故AB=12故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．【答案】B【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)【分析】设AO=xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB【详解】解：设AO=xm，依题意，得AC=4，BD=8在Rt△AOBA在Rt△CODCDx2解得x=24，∴AB=24故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找到AB=CD为梯子长等量关系是解题的关键．4．【答案】B【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出DB=12AB=2，设BF=x，则CF=DF=CB−FB=3−x，在Rt【详解】解：∵D是AB的中点，AB=4∴DB=1设BF=x，∵将△ABC折叠，使点C与边AB的中点D重合，折痕为EF，∴CF=DF=CB−FB=3−x，∵∠ABC=90°，在Rt△FDB中，FD解得：x=即线段BF的长为5故选：B．5．【答案】A【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：将圆柱体侧面沿A点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，由图可知：AC=102=5∴AB为最短路径为：52则蚂蚁爬的最短路线长为13，故选：A．6．【答案】A【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、方向角的表示【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可．【详解】解∶如图，AB=50m，AC=40m∴AB2=∴AC∴∠ACB=90°，∵AC=40m∴BC=30m故选∶A．7．【答案】A【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解．【详解】解：设铅笔的长度为xcm则x−32解得：x=22，则铅笔的长度为22cm8．【答案】C【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出BD的长度，再求出CD的长度，再用勾股定理求出AC的长度即可．【详解】解：由题意，得：AB=10km，AD=6Rt△ABD中，BD=由BC=13km∴CD=BC−BD=5kmRt△ACD中，AC=答：C岛和A港之间的距离61km故选：C．9．【答案】D【知识点】求河宽(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知Rt△EFH为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH【详解】解：在Rt△EFH中，根据勾股定理得到HE即HE2解得EH=24，故选：D．10．【答案】C【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键；设BE=x，则AE=10−xkm，由勾股定理得：DE2=AD2【详解】解：设BE=x，则AE=10−x由勾股定理得：在Rt△ADE中，D在Rt△BCE中，C由题意可知：DE=CE，∴62解得：x=4km∴EB的长是4km，∴EA=10−4=6km故选：C；11．【答案】9:10【知识点】勾股定理与网格问题【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出S甲，AB2，S乙和EF2，根据S正方形ABCD=A【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，则S甲=6a⋅6a=36a2，AB∴S正方形ABCD=AB2=20a∵正方形ABCD，EFGH的面积相等，∴20a∴a2∴36a2:36故答案为：9:10．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b．12．【答案】16【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出AB=10m，则OA+AB【详解】解：根据题意，在Rt△OAB中，OA=6m，∴AB=O∴OA+AB=6+10=16m即旗杆原来有16m故答案为：16．13．【答案】16【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点A作AC⊥ON，ON上取点B，D，使AD=AB=200m，通过勾股定理求出BC=AB2−A【详解】解：如图，过点A作AC⊥ON，ON上取点B，D，使AD=AB=200m由题意可得OA=240m，AC=120当火车到B、D点时对A处产生噪音影响，此时AB=AD=200m由勾股定理得：BC=AB2∴受噪音影响共有BD=320m∴点A处受噪音影响的时间为320÷20=16s故答案为：16．14．【答案】4【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知BH=BE=1，DH=DF=2，设正方形CEGF的边长CE=CF=x，则BC=1+x，CD=2+x，在Rt△BCD中，根据勾股定理B【详解】解：∵将△BGE沿BG折叠得到△BGH，将△DGF沿DG折叠得到△DGH，∴BH=BE=1，∵点H恰好落在BD上，∴BD=BH+DH=1+2=3．设正方形CEGF的边长CE=CF=x，则BC=1+x，在Rt△BCD中，B∴1+x整理得x2∵SABCD∴长方形ABCD的面积为SABCD故答案为：4．15．【答案】16【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD，过点M在正方形ABCD内部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ【详解】如图，将正方形ABCD沿着CD翻折得到正方形A'B'CD，过点M在正方形ABCD内部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，连接QM，过M'作M'N⊥A'B'于点N，则四边形MM'NB'是矩形，四边形PQMM'∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，此时AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，∵点M是BC中点，∴CM=1∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'−B'N=5cm，在Rt△A'M'N中，A'M'=A'∴A'M'+PQ=16cm，故答案为：16．【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．16．【答案】3【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】先由勾股定理求解AB，然后利用折叠的性质得到CD=DE,∠AED=∠C=90°，再由面积法得到S△ADB【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm∴AB=A由折叠可得CD=DE,∠AED=∠C=90°，∵S△ADB∴12解得CD=3．【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设CD=DE=x，再对Rt△BDE17．【答案】(1)海港C到直线AB的距离为240(2)解：由（1）可知，海港C到直线AB的距离为240km∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，如图所示，以点D为圆心，以260

∵260>240，∴海港C受台风影响．【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)【分析】（1）根据勾股定理先求出AB的长度，再运用等面积法即可求解；（2）根据台风半径与CD长度的大小比较，即可求解．【详解】（1）解：∵AC=300km，BC=400km，∴△ABC是直角三角形，∴AB=AC2如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，

∴S△ABC∴CD=AC·BCAB=∴海港C到直线AB的距离为240km（2）略【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．18．【答案】E点应该选在距B点3m【知识点】选址使到两地距