河南省郑州女子高级中学2026-2027学年高二（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河南省郑州女子高级中学高二（上）入学数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z=（-2+i）i，则复数z的共轭复数是（）A.-2+i B.-2-i C.-1+2i D.-1-2i2.如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（）A.和s2 B.3+2和9s2 C.3+2和3s2 D.3+2和9s2+23.从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（）A.全是红球 B.至多有1个红球 C.全是白球 D.1个红球，1个白球4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有（）

①（+）+；

②（+）+；

③（+）+.A.0个

B.1个

C.2个

D.3个5.已知等边△ABC的边长为2，点D，E分别为AB，BC的中点，若，则=（）A.1 B. C. D.6.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n B.若m∥β，α⊥β，则m⊥α

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若m⊥n,n⊂α，则m⊥α7.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，A1B1=2，若二面角A-CD-C1的大小为，则正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为（）A. B. C. D.8.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z=（）A.

B.

C.1

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题为真命题的是（）A.若P（AB）=P（A）P（B），则A与B相互独立

B.若A与B互斥，则P（AB）=0

C.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度

D.数据3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为810.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，则（）A.

B.△ABC的外接圆面积为π

C.若，则满足条件的三角形仅有1个

D.△ABC周长的最大值为11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠DAB=∠DAA1=∠BAA1=60°，AB=AD=AA1，点M，N分别是棱D1C1，C1B1的中点，则下列说法中正确的有（）A.MN⊥AC1

B.向量共面

C.

D.若AB=1，则该平行六面体的高为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为

.13.学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为

.14.在棱长为2的正四面体A-BCD中，M是BC中点，则和所成角的余弦值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，，且向量与向量的夹角为.

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）求向量与向量的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.

（2）按照分层抽样从[60，70）和[70，80）两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在[60，70）内的概率.17.(本小题15分)

如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1=AC=4，CC1=2，AB=3.侧面ABB1A1为矩形，CA⊥平面ABB1A1，CC1⊥平面ABC.

（1）求直线A1C1与平面ABC1所成角的正弦值；

（2）求点A1到平面ABC1的距离.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且acosC.

（1）求sinC的值；

（2）若C是锐角，且c=，a+b=5，求△ABC的面积.19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点.

（1）求证：A1B∥平面ADC1；

（2）求二面角C-AD-C1的余弦值.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】220

14.【答案】-

15.【答案】（Ⅰ），=4；

（Ⅱ）．

16.【答案】解：（1）由频率分布直方图得，10×（0.005+a+0.030+0.035+0.010）=1，解得a=0.020．

平均数为：．

设中位数为x0，前3组的频率分别为0.05，0.2，0.3，

因此x0∈[70，80），故；

（2）由（1）知，成绩在[60，70），[70，80）的频率之比为0.2：0.3=2：3．

则在[60，70）中随机抽取了人，记为a,b,

在[70，80）中随机抽取了人，记为c,d,e,

从5人中随机抽取2人的样本空间为：Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}共10个样本点，

设事件D=“有1名或2名学生的成绩在[60，70）内”，

则D={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}，有7个样本点，

因此，所以有1名或2名学生的成绩在[60，70）内的概率为．

17.【答案】解：（1）因为侧面ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA1，

因为AC⊥平面ABB1A1，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以AC⊥AA1，AC⊥AB，即直线AB，AC，AA1两两垂直，

故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），A1（0，0，4），C1（0，4，2），B（3，0，0），

所以，

设平面ABC1的法向量为，则，

令y=1，得，

设直线A1C1与平面ABC1所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|===，

所以直线A1C1与平面ABC1所成角的正弦值为．

（2）由（1）知，平面ABC1的法向量为，，

所以点A1到平面ABC1的距离为==．

18.【答案】

19.【答案】解：（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC=90°，则直线BA，BC，BB1两两垂直，

以B为坐标原点，直线BA，BC，BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

令BB1=1，得B（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，1），C1（0，2，1），D（0，1，