2026-2027学年高三10月复习冲刺综合小卷数学新高考

2026-2027学年高三10月复习冲刺综合小卷数学新高考考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A={x|x²-3x+2≤0},B={x|x-a>0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是(A)(-∞,1](B)[1,2)(C)[2,+∞)(D)(-∞,1)∪[2,+∞)2.已知复数z=(1+i)²/(1-i),则z的共轭复数ĵ的虚部是(A)-1(B)1(C)-2(D)23.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且其最小正周期为π,则ω的值为(A)1(B)2(C)4(D)84.在等差数列{aₙ}中，a₁=1,公差d=2,则a₅与a₁₁的等差中项是(A)5(B)6(C)7(D)85.执行以下程序框图（此处假设程序框图包含一个输入语句，一个判断语句，以及两个输出语句，分别对应条件成立和条件不成立的情况），输出的数值之和为(A)4(B)5(C)6(D)76.已知函数g(x)=x³-ax²+bx在x=1处取得极值，且极值为-1,则a+b的值为(A)-3(B)-1(C)1(D)37.在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,则sinA+cosB的值为(A)1(B)√2/2(C)√3/2(D)√5/28.已知点P在曲线y=√(1-x²)上运动，则点P到直线x+y=0的距离的最小值为(A)1/√2(B)1(C)√2/2(D)√3/29.一个盒子里有10个大小相同的球，其中6个红球，4个白球。从中随机取出3个球，则取出的3个球中至少有2个红球的概率是(A)1/3(B)2/5(C)3/5(D)2/310.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，且f(a)=1,f(b)=3,则对于任意x₁∈(a,b),f(x₁)的值一定满足(A)1<f(x₁)<3(B)1≤f(x₁)≤3(C)f(x₁)>1(D)f(x₁)<3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知向量m=(1,k),n=(3,-2),若|m+n|=√13,则实数k的值为__________。12.若函数h(x)=logₐ(x²-2x+3)在区间(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是__________。13.已知圆O的方程为x²+y²=4,圆心O到直线l的距离为1,则直线l与圆O的位置关系是__________。14.在一个盒子里有5张分别标有数字1,2,3,4,5的卡片，从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片数字之积为偶数的概率是__________。15.已知函数F(x)=x³-3x²+2,则函数F(x)在区间(-1,3)上的最大值是__________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分15分）已知函数f(x)=x²-2ax+2ln(x+1)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求a的值，并判断函数f(x)在x=-1处是否有零点。17.（本小题满分15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,AB=1。点E是棱PC上一点，点F是棱PD上一点，且EF//平面ABCD。(1)求证：EF⊥PB；(2)求三棱锥EFB-PCD的体积。18.（本小题满分15分）已知数列{aₙ}是等比数列，a₂=6,a₅=162。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)设bₙ=log₃(aₙ+3),求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。19.（本小题满分18分）已知函数g(x)=x³-3x²+2。(1)求函数g(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程g(x)-k=0在区间(1,3)上有解，求实数k的取值范围。20.（本小题满分12分）甲、乙两人约定在下午1:00到2:00之间在某地会面。他们约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1:00到2:00之间（inclusive）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。试卷答案一、选择题1.C2.B3.B4.C5.C6.D7.A8.C9.D10.B二、填空题11.-512.(0,1)13.相交14.4/515.3三、解答题16.(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞)。f'(x)=2x-2a+1/(x+1)。令f'(x)=0,得2x(x+1)-2a(x+1)+1=0,即(2x-2a+1)(x+1)=0。解得x=a-1/2(由于x>-1,所以舍去x=-1)。当x∈(-1,a-1/2)时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,a-1/2)上单调递减；当x∈(a-1/2,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在(a-1/2,+∞)上单调递增。故函数f(x)的单调递减区间为(-1,a-1/2),单调递增区间为(a-1/2,+∞)。(2)由于函数f(x)在x=1处取得极小值,所以a-1/2=1,解得a=3/2。此时f(x)=x²-3x+2+ln(x+1)。f'(-1)=-2-3+2-1=-4≠0,所以函数f(x)在x=-1处没有零点。17.(1)取AD中点M,连接PM,则PM⊥平面ABCD。连接EM,由于EF//平面ABCD,所以EM//EF,因此EM⊥PB。在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,所以BM=√2。在RtΔPBM中,PB=√(PM²+BM²)=√(2²+(√2)²)=√6。又因为PA=AD=2,所以PM=√(PA²-AM²)=√(2²-1²)=√3。在RtΔPEM中,EM²=PE²-PM²。设PC=x,则PE=x,PD=√(2²+x²),所以PF=√(PD²-DF²)=√(4+x²-1²)=√(3+x²)。由于EF//平面ABCD,所以四边形EMFD是平行四边形,所以EM=DF=1。因此,EM²=x²-3。所以x²-3=(3+x²)cos²θ,其中θ为PE与平面ABCD所成角。由于EM⊥PB,所以EM⊥PM,因此cos²θ=PM²/PE²=3/x²。代入上式得x²-3=(3+x²)(3/x²)=9/x²+3。整理得x⁴-6x²-9=0,即(x²-9)(x²+1)=0。解得x²=9,即x=3(由于x>0)。所以PE=3,PM=√3,∠PEM=90°。因此,EF⊥PB。(2)点F到平面EBM的距离即为三棱锥EFB-PCD的高h。设点F到平面EBM的距离为h。由于EF//平面ABCD,所以h=EMsin∠PEM=√3*1=√3。又因为EM=1,BM=√2,所以EB=√(EM²+BM²)=√3。所以S△EBM=1/2*EM*BM=1/2*√3*√2=√6/2。三棱锥EFB-PCD的体积V=1/3*S△EBM*h=1/3*(√6/2)*√3=√2。18.(1)设数列{aₙ}的公比为q。由a₂=6,a₅=162,得a₁q=6,a₁q⁴=162。所以q³=162/6=27,解得q=3。代入a₁q=6得a₁=2。所以数列{aₙ}的通项公式为aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2*3ⁿ⁻¹=2*3ⁿ⁻¹。(2)bₙ=log₃(aₙ+3)=log₃(2*3ⁿ⁻¹+3)=log₃(3ⁿ⁻¹+3⁰)=log₃(3ⁿ⁻¹+1)。所以Sₙ=b₁+b₂+...+bₙ=log₃(3⁰+1)+log₃(3¹+1)+...+log₃(3ⁿ⁻¹+1)=log₃[(3⁰+1)(3¹+1)...(3ⁿ⁻¹+1)]。令Tₙ=(3⁰+1)(3¹+1)...(3ⁿ⁻¹+1)=2*4*10*...*(2*3ⁿ⁻²+1)。则Sₙ=log₃(Tₙ)。注意到Tₙ=(3ⁿ-1)/2。所以Sₙ=log₃((3ⁿ-1)/2)=log₃(3ⁿ-1)-log₃(2)。19.(1)g'(x)=3x²-6x。令g'(x)=0,得x₁=0,x₂=2。当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,函数g(x)在(-∞,0)上单调递增；当x∈(0,2)时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,2)上单调递减；当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)在(2,+∞)上单调递增。所以函数g(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间为(0,2)。g(0)=2,g(2)=-2。所以函数g(x)的极大值为2,极小值为-2。(2)方程g(x)-k=0在区间(1,3)上有解等价于函数y=g(x)与直线y=k在区间(1,3)上有交点。由于g'(x)=3x²-6x=3x(x-2),当x∈(1,2)时,g'(x)<0,函数g(x)在(1,2)上单调递减；当x∈(2,3)时,g'(x)>0,函数g(x)在(2,3)上单调递增。所以g(x)在x=2处取得区间(1,3)上的最小值-2。又因为g(1)=0,g(3)=0,所以函数g(x)在区间(1,3)上的值域为(-2,0]。因此,实数k的取值范围是(-2,0]。20.设甲在下午t₁分钟时到达，乙在下午t₂分钟时到达，其中t₁,t₂∈[0,60]。则甲、乙两人能会面的条件是|t₁-t₂|≤15。这是一个几何概型问题。样本空间