2026新教材数学 第二十五章 一元二次方程 本章复习课 教学课件数学人教版九年级上册

第二十五章

一元二次方程本章复习课回顾与思考导入新课1.概念回顾(1)定义:

只含有一个未知数,

且含有未知数的式子都是整式,

未知数的最高次数是

2,

这样的方程叫作一元二次方程.(2)一般形式:

ax2+bx+c=0(a,b,c

为常数,

a≠0).(3)项和系数:

一次项为

bx,一次项系数为

b;

常数项为

c.二次项为

ax2,二次项系数为

a;导入新课(4)一个方程是一元二次方程需同时满足:①

含有一个未知数;②

未知数的最高次数为

2;③

二次项系数不为

0;④

整式方程.同时满足导入新课2.解法梳理解法适用方程类型核心步骤注意事项直接开平方法配方法公式法因式分解法(mx+n)2=p(p

≥0)所有一元二次方程,

尤其是二次项系数为

1

的方程直接开平方降次注意符号,有两个解(p>0时)移项

→

化二次项系数为

1

→

配方

→

开平方配方时加一次项系数一半的平方化为一般形式

→

计算判别式

→

代入求根公式先判断Δ

的符号,

Δ≥0才有实根所有的一元二次方程能分解为两个一次因式乘积的方程因式分解

→

转化为两个一元一次方程避免漏根(如

x2=3x

不能直接约去

x)导入新课3.性质梳理(1)一元二次方程

ax2+bx+c=0的根的判别式:

Δ>0→两个不相等的实数根;Δ=0→两个相等的实数根;Δ<0→无实数根.Δ=b2

-4ac.导入新课(2)根与系数的关系:注意:已知

x1,x2

是一元二次方程

ax2+bx+c=0(a,b,c

为常数,

a≠0)

的两根,

则有

x1+x2=,x1x2=(1)不是一般形式的,

要化成一般形式;(2)在方程有实数根的条件下应用,

即

b2

-4ac≥0;(3)在使用

x1+x2=时,

注意“-”不要漏写.导入新课4.应用分类传播问题、增长率/下降率问题、几何图形面积问题、比赛场次问题等.导入新课列方程解应用题的一般步骤:审:

设:列:解:

验:答:

审清题意,

分清题中的已知量、未知量.设未知数,

设其中某个未知量为

x.根据题意寻找等量关系列方程.解方程.检验方程的解是否符合题意.写出答案(包括单位).高效课堂任务：典例探究，深化理解例

1

将方程

3x(x

-2)=2(x+1)化为一元二次方程的一般形式,

并指出二次项系数、一次项系数和常数项.解析

将方程

3x(x

-2)=2(x+1)化为一般形式.类型

1:

一元二次方程的概念及其一般形式先去括号得

3x2

-6x=2x+2,移项、合并同类项得

3x2

-

8x

-2=0.根据一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0),识别二次项系数

a=3,一次项系数

b=-8,常数项

c=-2.答案

一般形式为

3x2

-8x

-2=0,二次项系数为

3,

一次项系数为

-8,

常数项为

-2.高效课堂方法总结:化为一般形式的步骤:去括号移项合并同类项排列(所有项移至左边)(按未知数次数从高到低排列,注意符号变化)高效课堂例

2

解下列方程,选择最优解法:(1)(x+3)2=16;(2)x2

-4x

-

5=0;(3)2x2

-

5x

-

1=0;(4)3x(x

-

2)=2(x

-

2);(5)x2

-

6x+9=0.类型

2:

一元二次方程的解法选择答案

(1)x+3=±4,解得

x1=1,x2=-7.(2)

移项,

得x2

-4x=5,配方,

得

(x

-2)2=9,解得

x1=5,x2=-1.(4)

移项,

得

3x(x

-

2)-2(x

-2)=0,提公因式,

得(x

-

2)(3x

-2)=0,解得(5)

化为

(x

-3)2=0,解得

x1=x2=3.(3)a=2,b=-5,c=-1,Δ=(-5)2

-4×2×(-1)=33>0,解得

x=,

即

x1

=,x2=.x1

=2,x2

=.高效课堂方法总结:能因式分解先

因式分解能开平方先

开平方复杂方程用

公式法二次项系数为

1

用

配方法解法选择优先顺序避免盲目计算!高效课堂例3

(1)若关于

x

的方程

kx2

-2x-1=0有两个不相等的实数根,

求

k

的取值范围.(2)求证:

无论

m

取何值,

方程

x2

-(m+2)x+2m=0总有实数根.类型

3:

根的判别式的应用(含参数方程)答案

(1)方程

kx2

-2x

-1=0有两个不等实根,

需满足“二次项系数

≠

0”且“Δ>0”.(2)对于方程

x2

-(m+2)x+2m=0,Δ=[-(m+2)]2

-8m=(m

-2)2

≥0,故总有实数根.即

k≠0且

Δ=(-2)2

-4k×(-1)=4+4k>0,解得

k>-1且

k≠0.高效课堂方法总结:含参数的一元二次方程根的情况判断需同时兼顾二次项系数不为

0判别式符号二者缺一不可!高效课堂类型

4:

根与系数关系应用(代数式变形)答案

已知方程

x2

-4x+3=0的两根分别为

x1,x2,例4

已知方程

x2

-4x+3=0的两根分别为

x1,x2,求下列代数式的值:(1);(2);(3);(4).(1)(2)(3)(4)由根与系数的关系得

x1+x2=4,x1x2=3.高效课堂方法总结:利用根与系数的关系进行代数式变形时,

核心是无需直接求出方程的根两根之和

x1+x2两根之积

x1x2复杂的代数式有关的形式转化高效课堂类型

5:

实际应用(几何面积问题)答案

设剪去正方形的边长为

xcm,则纸盒底面长为(19

-

2x)cm,宽为(15

-

2x)cm.例5

矩形硬纸片长

19cm、宽

15cm,在四角剪去相同的正方形后折成一个无盖纸盒,

若纸盒的底面积为

117cm2,求剪去正方形的边长.根据底面积为

117cm2,列方程得

(19

-

2x)(15

-

2x)=117,整理得

x2

-17x+42=0,解得

x1=3,x2=14(舍去,

15

-

2×14

=

-13

<

0,

边长不能为负).答:

剪去正方形的边长为

3cm.高效课堂方法总结:几何面积问题,

关键是图形的边长未知数列方程表示根据面积公式验根保证线段长度为正高效课堂类型

6:

实际应用(增长率问题)答案

设平均每次降价的百分率为

x,则第一次降价后售价为

200(1

-

x)元,

第二次降价后售价为

200(1

-

x)2

元,例6

某商品原价为

200

元,

连续两次降价后售价为

162

元,

求平均每次降价的百分率.列方程,得

200(1

-

x)2

=162,解得

x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答:

平均每次降价的百分率为10%.高效课堂方法总结:增长率/下降率问题,

需注意指数“连续增长/下降”的次数对应验根排除除不符合实际的数值(负数、大于

1

的数)高效课堂类型

7:

实际应用(比赛场次问题)答案

设参赛球队有

x

支,

则每支球队需赛(x

-1)场,

总场数为

x(x

-1),例7

参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛(双循环),

共比赛

110

场,

求参加比赛的球队数.列方程,得

x(x

-1)=110,解得

x1=11,x2=-10(舍去).答:

参加比赛的球队有

11

支.整理,

得

x2

-

x-110=0,高效课堂方法总结:比赛场次问题要分清是单循环赛还是双循环赛,

再列方程进行求解.单循环双循环高效课堂类型

8:

实际应用(传播问题)答案

设每轮传染中平均

1

人传染

x

人,

例8

有

1

人患流感,

经过两轮传染后共有

225

人患流感,

求每轮传染中平均

1

人传染的人数.列方程为

(1

+

x)2

=225,解得

x1=14,x2=-16(舍去).答:

每轮传染中平均

1

人传染

14

人.第一轮传染后有

(1

+

x)人患流感,第二轮传染后共有

(1

+

x)+

x(1

+

x)=(1

+

x)2

人患流感,课堂评价1.下列方程是一元二次方程的是()C2.用配方法解方程

x2

-4x

-1=0,配方后为()A.(x-2)2=5B.(x+2)2=5C.(x-2)2=1D.(x+2)2

=1A.2x+1=0B.x2+y=3C.x2

-3x=0D.x2+=2A课堂评价3.

方程

x2

-2x

-3=0的根的情况是()B4.已知方程

x2

-3x

-2=0的两根分别为

x1,x2,则

x1+x2=______,x1x2=______.A.两相等实根