2026新教材数学 25.2.1 配方法 教学课件九年级上册

第二十五章一元二次方程

25.2降次

解一元二次方程25.2.1配方法第1课时

直接开平方法导入新课问题:列方程解决下列问题.校园要建一个正方形的花坛,

面积为

25

平方米,

求花坛的边长.25xx2=25.设花坛的边长是x米,活动一：探究

x2=p

型一元二次方程的解法问题1:

什么数的平方等于

25

?高效课堂±5

的平方等于

25.问题2:

方程

x2=25的解是什么?x=±5.问题3:

什么数的平方等于

0

?什么数的平方等于

-4

?0

的平方等于

0,

没有实数的平方等于

-4.问题4:

结合上述结论,

探究方程

x2=p

的根的情况,

完成下面的填空.①当

p>0时,

根的情况是__________________________,

方程的实数根是______________.②当

p=0时,

根的情况是________________________,

方程的实数根是___________.③当

p<0时,

根的情况是______________.高效课堂方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根x1=p,x2=-

px1=x2=0方程无实数根活动二：类比迁移，探究

(x+a)2=p

型一元二次方程的解法高效课堂问题1:为美化环境,

在正方形花坛四周修

1

米宽的小路,

形成新的大正方形,

其面积为

36

平方米,

原花坛边长为多少米?请列方程解决.1mx设原花坛的边长为

x

米,

把

(x+2)看作一个整体,

则

(x+2)2=36.即

x+2=6,或

x+2=-6.于是,

方程

(x+2)2=36的两个根为x1

=4,x2=-8(舍去).所以原花坛边长为

4

米.

x+2=±6,高效课堂问题

2:

解二元一次方程组的思想是把“二元”转化为“一元”,

利用代入消元法或者加减消元法达到消元的目的,

那么求一元二次方程我们也要把它转化为“x=m”的形式,

参考刚刚的问题,

我们的解题思想是什么呢?需要“降次”,

把一元二次方程转化为一元一次方程求解.高效课堂问题

3:

结合上述结论,

探究方程

(x+n)2=p

的根的情况,

完成下面的填空.①当

p>0时,

根的情况是_________________________,

方程的实数根是_______________________.②当

p=0时,

根的情况是_______________________,

方程的实数根是____________.③当

p<0时,

根的情况是______________.方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根x1=x2=-

n方程无实数根高效课堂例

解下列方程:(1)4x2

-3=0;(2)(x+2)2

-9=0.活动三：典例剖析解:

由此可得即

(2)移项,

得

(x+2)2=9.由此可得

即

(1)移项,

并将二次项系数化为

1,

得课堂评价1.用直接开平方法解下列一元二次方程,

其中无解的方程为()DA.x2=0B.x2

-2=0C.-x2+2=0D.x2+2=0A.a=5B.a>5C.a

≥5D.a≠52.若关于

x

的方程

(x

-2)2=a

-5有解,

则

a

的取值范围是

()C点拨

由题意可知

a

-5≥0,所以

a

≥5.课堂评价3.一元二次方程

(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程,

其中一个一元一次方程是

x+1=4,则另一个一元一次方程是

()A.x

-1=-4B.x

-1=4C.x+1=-4D.x+1=4C点拨

因为

(x+1)2=16,

所以

x+1=±4,即原方程化为

x+1=4,或

x+1=-4.课堂评价4.解下列方程:(1);(2);(3)(x+5)2=25;(4)(x+2)2=(2x

-1)2.(2)移项,

得两边都除以

3,

得答案由平方根的定义可得,(3)由平方根的定义可得,即

解得

x1=0,x2=-10.(4)由平方根的定义可得,所以

x+2=2x

-1,或

x+2=-2x+1.所以原方程的解为

所以

(1)m2=0,

所以

m1=m2=0.课堂总结1.请用自己的话说说“直接开平方法”的适用条件和解题步骤.2.解这类方程时,最容易出错的地方是什么?如何避免?3.今天我们用到的“转化思想”“整体思想”,在之前的数学学习中出现过吗?作业设计基础性作业:

教材练习.拓展性作业:结合生活中的“面积、体积”问题,

编一道能用直接开平方法求解的一元二次方程题目,

写出解题过程.第二十五章一元二次方程

25.2降次

解一元二次方程25.2.1配方法第2课时

配方法导入新课1.填空.完全平方公式:

(a+b)2=____________.(a

-

b)2=____________.a2+2ab+b2a2

-2ab+b22.分解因式:

x2+6x+9=________.(x+3)2导入新课3.在下列横线上填上适当的数,

使等式成立.(1)x2+2x+_______=(x+________)2;(2)x2+12x+______=(x+________)2;(3)x2-4x+________=(x

-________)2;(4)x2-6x+________=(x

-________)2;(5)x2+3x+________

=(x+________)2;(6)x2-72x+_______=(x

-________)2.121626222323活动一：探究配方法探究:

怎样解方程

x2+6x+4=0?高效课堂求方程

x2+6x+4=0的解的关键是什么?x2+6x+4=0(x+n)2=p关键是将方程的左边转化为一个完全平方式,

为此,

对方程x2+6x+4=0移项,

得

x2+6x=-4.高效课堂要想将方程的左边转化为一个完全平方式,

需要在上述方程的两边同时加什么?为什么在方程

x2+6x=-4的两边加

9?加其他数行吗?9由a2+2ab+b2=(a+b)2,将上述方程两边同时加上,即9,方程左边就可以配成

x2+2mx+m2=0形式的完全平方式,

即x2+6x+9=-4+9.将方程的左边写成完全平方形式,

得(x+3)2=5.高效课堂你能尝试求方程

x2+6x+4=0的解吗?解这个方程,

得可以验证,

是方程

x2+6x+4=0的两个根.高效课堂像上面那样,

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,

叫作配方法.

配方是为了利用开方实现降次,

把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.用配方法解一元二次方程的关键:将一元二次方程配成完全平方形式.不能直接开平方解的一元二次方程可以直接开平方解的一元二次方程变形为活动二：理性思考，应用新知高效课堂例

解下列方程.(1)x2

-8x+1=0;(2)2x2+1=3x;(3)3x2

-6x+4=0.分析:(1)方程的二次项系数为

1,

可直接运用配方法.(2)

方程的二次项系数为

2,

为了便于配方,

可把二次项系数化为

1.为此,

方程的两边都除以

2.(3)与(2)类似,

方程的两边都除以

3

后再配方.高效课堂(1)x2

-8x+1=0;解:

(1)移项,

得

x2

-8x=-1.配方,

得

x2

-8x+42=-1+42,(x

-4)2=15.由此可得高效课堂(2)2x2+1=3x;解:

(2)移项,

得2x2

-3x=-1.二次项系数化为

1,

得

配方,

得由此可得x1=1,x2=高效课堂解:

(3)移项,

得

3x2

-6x=-4.二次项系数化为

1,

得

配方,

得因为实数的平方不会是负数,

所以

x

取任何实数时,

(x

-1)2

都是非负数,

上式都不成立,

即原方程无实数根.

(3)3x2

-6x+4=0.高效课堂用配方法解一元二次方程的步骤：(1)移项:

将含有

x

的项移到方程的左边,

常数项移到方程的右边;(2)二次项系数化为

1:

两边同除以二次项的系数;(3)配方:

方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)将原方程变成

(x+n)2=p(Ⅱ)的形式;(5)判断右边代数式的符号.①若

p>0,方程

(Ⅱ)有两个不等的实数根②若

p=0,方程

(Ⅱ)有两个相等的实数根

x1

=x2

=

-n;③若

p<0,因为对任意实数

x,都有

(x+n)2

≥0,所以方程

(Ⅱ)无实数根.高效课堂配方的关键是利用已知两项

a2±2ab

来确定第三项,

只要二次项系数为

1,

则第三项一定是

b2.总结：一般地,

一元二次方程可以通过配方转化为

(x+n)2=p

的形式.(1)当p>0时,

方程有两个不相等的实数根(2)当

p=0时,

方程有两个相等的实数根(3)当

p<0时,

因为对任意实数

x,都有

(x+n)2

≥0,所以方程无实数根.

x1=x2=-n;课堂评价1.用配方法解方程

2x2

-

x

-1=0,变形结果正确的是()DC2.用配方法将方程

x2

-4x

-2=0变形为

(x

-2)2=m,则

m

的值是

()A.4B.5C.6D.7课堂评价3.已知等腰三角形的一边长为

6,

另一边长为方程

x2

-6x+9=0的根,

则该等腰三角形的周长为_______.15点拨

由

x2

-6x+9=0,解得

x1=x2=3.因为

3

+

3

=

6,

不能构成三角形,

所以等腰三角形的腰为

6,

底边长为

3,

所以三角形的周长=

6+

6+

3

=

15.课堂评价4.已知方程

x2+4x+n=