计算机控制系统 课件 第07章 计算机控制系统状态空间设计方法

第7章计算机控制系统状态空间设计方法引言

在计算机控制系统设计中，除了第5章和第6章介绍的经典控制理论应用拓展外，状态空间方法作为一种成熟且有效的手段，能够充分利用系统状态信息实现更优性能并进行综合设计。离散系统中极点在z平面上的分布直接决定系统动态特性，通过状态反馈合理配置极点位置可达成既定动态性能目标，而这一过程需以系统能控性和能观性为基础，针对单输入与多输入系统展开设计。尽管全状态反馈能充分提升系统性能，但实际应用中全面获取状态信息往往存在困难，因此需通过构建观测器利用可测输出估计系统状态。观测器与状态反馈控制律结合后将形成等效控制器，本章将重点讨论这种调节器系统的特性。具体而言，本章将系统阐述离散系统状态空间模型及其求解方法，分析状态空间描述的基本特性与能控能观性，深入探讨状态反馈极点配置技术（涵盖单输入与多输入系统），详细讲解状态观测器设计（包括开环估计、全阶与降阶观测器），并基于分离原理研究调节器系统的控制器设计与极点选择策略，最后通过应用实例验证相关理论与方法的有效性，从而构建从理论分析到工程实现的完整设计框架。7.1离散系统的状态空间描述

图7-1系统的框图表示

7.1离散系统的状态空间描述

7.1离散系统的状态空间描述

7.1离散系统的状态空间描述7.1.2有关状态空间描述的基本定义5.状态方程把系统的状态变量与输出之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称为状态方程。6.输出方程系统输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式称为输出方程。7.状态空间表达式状态方程和输出方程结合起来，构成对一个系统动态行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式（或状态空间模型）。7.1离散系统的状态空间描述

7.1离散系统的状态空间描述图7-2连续系统状态框图

图7-3离散系统状态框图

7.1离散系统的状态空间描述

7.1离散系统的状态空间描述7.1.3离散状态空间模型的建立2.由差分方程建立离散状态空间模型对于单输入单输出线性离散系统，可以用n阶差分方程描述为选择状态变量：

式中：而7.1离散系统的状态空间描述7.1.3离散状态空间模型的建立根据式（7-10）和式（7-11）建立一阶差分方程组：将式（7-12）写成向量矩阵的形式，即得状态方程，由式（7-10）第一个方程可得输出方程，其状态空间模型为式中：7.1离散系统的状态空间描述7.1.3离散状态空间模型的建立3.由脉冲传递函数建立离散状态空间模型一个线性离散系统可以用脉冲传递函数来表征，当一个系统的脉冲传递函数已知时，便可建立该系统的离散状态空间表达式。方法如下：设线性离散系统的脉冲传递函数为若脉冲传递函数为关于z的形式，通过分子分母同时除以z的最高次幂可以化为式（7-14）。

令

则

由式（7-16）得7.1离散系统的状态空间描述7.1.3离散状态空间模型的建立选择状态变量：将式（7-18）代入式（7-15）和式（7-17），得对式（7-19）和式（7-20）进行z反变换，得7.1离散系统的状态空间描述7.1.3离散状态空间模型的建立依据差分方程，对式（7-18）进行z反变换，得再综合式（7-22）和式（7-21）得到

式中：

于是得到7.1离散系统的状态空间描述

7.1离散系统的状态空间描述7.1离散系统的状态空间描述7.1.4离散系统状态方程的求解解x(k)由两部分组成：一部分表示初始状态x(0)的组合；另一部分表示输入u(j)的组合。

令

则将其代入式（7-27），则得离散状态方程解的另一种形式，即将式（7-27）或式（7-28）代入输出方程，得由此可见，离散系统的输出y(k)由初始状态x(0)和输入u(k)决定。

7.1离散系统的状态空间描述

7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.2离散系统状态空间模型的基本特性7.2.3能控标准型与能观标准型1.能控标准型只有状态能控的系统才能把状态空间表达式写成能控标准型。设单输入单输出线性定常离散系统状态空间表达式为系统的特征多项式为若系统能控，即则必定存在非奇异变换：

或可将系统状态空间表达式变换成能控标准型：7.2离散系统状态空间模型的基本特性7.2.3能控标准型与能观标准型式中：而变换矩阵P可由下式给出：式中，7.2离散系统状态空间模型的基本特性7.2.3能控标准型与能观标准型2.能观标准型能观标准型是系统状态空间表达式的又一标准形式，同样只有状态完全能观的系统，状态空间表达式才能写成状态能观标准型。仍然设单输入单输出线性定常离散系统状态空间表达式如式（7-33）所示，若系统状态完全能观，即能观性矩阵满秩：

式中：则必定存在一个非奇异矩阵：当选取一组状态变量：

或时，则可以把系统状态空间表达式转化成能观标准型，即

式中：7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.2离散系统状态空间模型的基本特性7.2.4能控性和能观性与采样周期的关系例7-3试分析系统

及相应离散系统的可控性。解：连续系统的能控性矩阵为

，故连续系统可控。

离散化后，有离散系统的能控性矩阵为7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.2离散系统状态空间模型的基本特性

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法图7-4状态反馈控制系统结构图

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法7.3.1状态反馈控制若单输入单输出系统是可控的，则该系统可用下述可控标准型描述：它的特征方程是若状态反馈控制为

式中：此时闭环系统状态方程为闭环系统特征方程为7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法7.3.2单输入系统的极点配置设计方法3.使用极点配置方法时应注意的几个问题1）系统完全可控是进行极点配置的充分必要条件。若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。2）实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化为z平面上的极点位置，通常可以利用系统时间响应特性与系统极点对应关系解决。3）理论上，通过选择反馈增益可以使系统有任意快的时间响应。通常加大反馈增益可以提高系统的频带，加快系统的响应。但过大的反馈增益，在一定的误差信号时，必然增大控制作用u(k)的幅值。控制信号的幅值受物理条件的限制，不能无限增大。所以，工程设计时，要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性。4）系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。考查式（7-54）可见，直接计算K，需要矩阵多次相乘，由于计算机的计算积累误差，将会产生较严重的数值计算误差，从数值计算的角度来说，极点配置应寻求较好的计算方法。7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法

7.3状态反馈控制律的极点配置设计方法7.4状态观测器的极点配置设计方法

图7-5按极点配置设计的控制器7.4.1系统状态的开环估计给定系统的状态方程为设F、G、C均为已知的对象模型参数，那么一个简单而直接的方法是构造如图7-6所示的开环观测器7.4状态观测器的极点配置设计方法图7-6开环观测器

7.4状态观测器的极点配置设计方法7.4.2全阶状态观测器的设计方法1.预报观测器从原理上讲，上面讨论的开环观测器在一定条件下（F的特征值均在单位圆内）可以完成状态重构的任务，但是在实际应用中它存在着下述严重的缺点：状态重构误差的动态特性取决于系数矩阵F（式（7-58）），即取决于对象的动态特性，而不能按照需要进行调整。当F

具有不稳定的特征根时，则根本不能采用这种类型的观测器。即使F的特征根均在单位圆内，它也往往不具有好的动态特性（否则便不需要设计控制器了）。因此，上面的开环观测器并不能在实际中获得真正的应用，其中一条最重要的原因是，它只利用了输入量及模型参数进行预报，而没有利用可以测量到的输出量来进行修正。因此，自然可以想到，采用如图7-7所示的观测器结构形式可以较好地克服上述开环观测器的缺点。由于它利用了测量信息来进行修正，从而可以改善状态重构的性能。7.4状态观测器的极点配置设计方法图7-7预报观测器

7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法式（7-49）式（7-65）FGK7.4.2全阶状态观测器的设计方法从而根据式（7-54），不难求得

两边转置得式(7-67)便是按极点配置设计预报观测器的实用算法,即Ackermann公式。式(7-67)中,令是系统的能观性矩阵。可见，只有当系统完全能观（P阵满秩）时才能按式（7-67）计算出L，与前面给出的结论是一致的。7.4状态观测器的极点配置设计方法7.4.2全阶状态观测器的设计方法例7-7以图7-8所示的双积分被控对象为例，来说明预报观测器的设计步骤。解：已经求得控制对象的离散状态方程为

式中：

根据图7-8，系统的输出方程为

式中：从而可以写出该系统的预报观测器方程为假设要求状态重构以最快的速度跟随实际的状态，可将观测器特征方程的两个根配置在原点，即让7.4状态观测器的极点配置设计方法7-8双积分控制对象7.4.2全阶状态观测器的设计方法从而根据式（7-63）有通过比较系数，可以求得观测器增益矩阵为若利用式（7-67），首先组成能观性矩阵：

进一步求得

根据式（7-67）得到显然其结果与前面结果相同。7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法7.4.2全阶状态观测器的设计方法对比式（7-63）与式（7-72），它们的形式相同，只是式（7-72）中的CF代替了式（7-63）中的C的位置。因此，根据式（7-63）的解，可以求得现时观测器增益矩阵L（式（7-72）的解）为式中，P是系统的能观性矩阵：可见，只有当系统完全能观时，才能由式（7-73）求得L。根据式（7-73）也可以很容易编成计算机程序由计算机来帮助计算。7.4状态观测器的极点配置设计方法7.4.2全阶状态观测器的设计方法例7-8仍以图7-8所示的双积分系统为例，要求设计现时观测器。解：根据前面结果得到根据式（7-73）得到7.4状态观测器的极点配置设计方法7-8双积分控制对象

7.4状态观测器的极点配置设计方法7.4.3降阶状态观测器的设计方法将式（7-76）展开得经整理，上两式可以重新写为将上面两式与式（7-56）的状态方程进行比较，并建立如下对应关系：7.4状态观测器的极点配置设计方法表7-1对应关系表

7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法

7.4状态观测器的极点配置设计方法7-8双积分控制对象

7.5基于状态观测的反馈控制器设计7.5.1分离性原理为了求得闭环系统的极点，需首先求出闭环系统的状态方程。为此，令闭环系统的状态为结合式（7-87）～式（7-89），有结合式（7-91）和式（7-92）可得闭环系统的状态方程为

式中：7.5基于状态观测的反馈控制器设计7.5.1分离性原理从而可以求得闭环系统的特征方程应为由此可见，闭环系统的2n个极点由两部分组成：一部分是按极点配置设计控制规律所给定的n个极点，即控制极点；另一部分是按极点配置设计观测器给定的n个极点，即观测器极点。这就是著名的分离性原理。正是由于存在这样的分离性原理，才使得前面讨论的控制规律和观测器的设计可以分开进行，从而简化了控制器的设计。7.5基于状态观测的反馈控制器设计7.5.2控制器设计最后归纳出调节系统的控制器设计步骤如下：1）按对系统的性能要求给定n个控制极点。2）按极点配置设计出控制规律K。3）根据前面的讨论，给定观测器的极点，对于全阶观测器则需给定n个极点，对于降阶观测器给定n−1个极点。若测量中不存在较大的误差或噪声，则可考虑将所有观测器极点均放置在原点；若测量中包含较大的误差或噪声，则可考虑按状态重构的跟随速度比控制极点所对应的系统响应速度快4～5倍的要求给定观测器的极点。4）选择所采用的观测器的类型。若测量比较准确，而且测量量便是其中一个状态则可考虑选用降阶观测器，否则仍选用全阶观测器。若控制器的计算延时与采样周期的大小处于同一量级，则可考虑采用预报观测器，否则可考虑采用现时观测器。5）根据给定的观测器极点及所选定的观测器类型计算增益矩阵L。6）根据所设计的控制规律及观测器由计算机来加以实现。下面通过一个例子来说明以上设计步骤。7.5基于状态观测的反馈控制器设计

7.5基于状态观测的反馈控制器设计图7-9举例系统的结构图

7.5基于状态观测的反馈控制器设计

7.5基于状态观测的反馈控制器设计图7-10例7-10的系统状态x1及其估计

图7-11例7-10的系统状态x2及其估计图7-12例7-10的控制信号

图7-13例7-10的系统输出

7.5基于状态观测的反馈控制器设计

7.5基于状态观测的反馈控制器设计

7.5基于状态观测的反馈控制器设计

7.5基于状态观测的反馈控制器设计图7-14系统结构图7.6实例仿真

7.6实例仿真2.状态反馈控制器实现1）给定指标：无超调，调节时间不大于0.5s。2）控制器与观测器设计：能控性判别，先求FG：系统是完全能控的。能观性判别，先求CF：系统是完全能观的。7.6实例仿真

7.6实例仿真

7.6实例仿真3.仿真分析对所设计的基于状态观测的反馈控制器进行仿真验证，利用MWORKS.Sysplorer搭建仿真系统，如图7-15所示。7.6实例仿真图7-15仿真系统连接