2026九年级（上）数学专题02 反比例函数的综合应用（苏科版）

02

专题反比例函数的综合运用

·

（题型突破举一反三）

题型01反比例函数中求面积或“k”

题型02反比例函数中的整数点问题

题型03反比例函数与二次根式综合

题型04反比例函数中的新定义问题

题型05面积的存在性问题

题型06等腰三角形的存在性问题

题型07等腰直角三角形的存在性问题

题型08平行四边形的存在性问题

题型09菱形的存在性问题

题型10正方形的存在性问题

题型11定值、恒成立问题

题型12共线问题

题型13函数与几何综合

▌题型反比例函数中求面积或“k”

01

1.根据反比例函数的定义

若点P(x,y)在反比例函数图像上，则该点横、纵坐标的乘积等于k，即：k=xy。

2.根据反比例函数“k”的几何意义

1/43

1图1图2

如图1：

k

1

已知A、E是反比例函数y=图像上的两点，过A、E分别向x轴和y轴作垂线，得到矩形OBAC和矩形OFEG，

x

x×y=kx×(−y)=k

则S=OB×OC=,S=OF×OG=−

AA1EE1

距OBAC距OFEG

如图2：

k

2

已知H、P是反比例函数y=图像上的两点，过H、P分别向x轴和y轴作垂线，得到矩形OIHJ和矩形OMPN，

x

则S=OJ×OI=−x×y=−k,S=OM×ON=x×(−y)=−k

HH2PP2

距OIHJ距OMPN

k

反比例函数y=任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值，S=｜k|.

矩

x

3.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化；

①铅垂法求面积

111

S=CD⋅x−xS=AD⋅x−xS=BD⋅x−x

△ABCBA△ABCBC△ABCCA

222

②拉窗帘模型

2/43

1若l∥l,那么，将点C在l上移动，S面积不变。

121△ABC

4.遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形

5.设点坐标：

①直接设点A(m,n)，利用A点坐标去找题目里面的其他关系；

kk

②假如点在某个函数图像上，可以直接根据解析式设点，例如点A在函数y=上，可设A(m,)

xm

k

【例】如图，点P在反比例函数y=（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B

x

为OA的中点，连接PB、OP，若SABP＝2，则k的值为（）

△

A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8

m11111

①设P(m,n)→A(m,0)→B(,0),AB=m−m=−m,S=×(−m×n)=−mn=2,mn=−8,k=mn=−8

△ABP

222224

km1111k1

②设P(m,)→A(m,0)→B(,0),AB=m−m=−m,S=×(−m×)=−k=2,k=−8

△ABP

m22222m4

6.表示线段长度：

①直接设线段长度，再去找关系；

②已知两点坐标，与x轴平行的线段长度为x−x，与y轴平行的线段长度为y−y，若不确定位置关系，

右左上下

需要加上绝对值符号或分类讨论；

22

③两点间的距离公式:AB=(x−x)+(y−y)

ABAB

【典例1】（2025春•丹阳市期末）如图，函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，QC在x轴上，

�

3/43

1点B的坐标为（1，3），平行四边形ABCO的面积为6，则k的值为（）

A．6B．7C．8D．9

【变式1-1】（2026•泗水县一模）如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的

面积为6，若双曲线�＜恰好经过线段AB的中点M，则k的值为（）

A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6

【变式1-2】（2026•周村区二模）如图，点A（2，2）在反比例函数�＞的图象上，作AB⊥x轴于

点B，点P从点（a，0）（a＞2）出发，沿x轴向右以每秒a个单位长度的速度运动，以P为顶点作等

腰直角三角形PCQ，点Q在反比例函数�＞的图象上，点C在x轴上且在点P右侧，∠PCQ＝

90°，则在点P运动过程中，时间每增加一秒，四边形ABCQ的面积都会（）

A．增加B．增加C．增加1D．增加a

【变式1-3】（2025春•建邺区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x，y＝﹣x+5与反比

例函数�的分别交于点A，B，若△ABO的面积为10，则k＝．

4/43

1【变式1-4】（2025秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半

轴上，顶点C在反比例函数�＞，＞的图象上，顶点B的坐标为（4，3）．已知该反比例函

数图象上有一点P，连接PA，PC，若△PAC的面积是菱形AOBC面积的，则点P的横坐标为（）

A．B．C．或D．或

【典例2（x＞0）的图象上，过点A分别作x

】（2025春•京口区校级期末）如图，点A在反比例函数�

轴、y轴的垂线交x轴、y轴于点B、C，线段AB、AC与反比例函数�（x＞0）的图象相交于点M、

N，连接MN．则△MAN的面积为（）

A．B．C．1D．2

【变式2-1】（2026•榆树市模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y�

恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S的值为（）

ABO

△

5/43

1A．6B．8C．12D．16

【变式2-2】（2025秋•从化区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标

原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y�（k＞0，x＞0）的图象经

过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为12，则k的值为（）

【变式2-3】（2025春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x

轴的正半轴上，点D是AB边上的一个点（不与A、B重合），过点D的反比例函数�＞图象交

BC于点E，连接CD并延长交y轴于点F，连接BF，则S的值为（）

DBF

△

A．7B．4C．3.5D．3

【典例3】（2026•南京三模）如图，平面坐标系xOy中，B（12，4），C（8，0），OA∥BC，OA＝BC，

过点A作反比例函数y�（k＞0），图象交BC于点D，连接OD，则S＝．

△OCD

6/43

1【变式3-1】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（2，4），点B在反比

例函数�＞的图象上，且AB与y轴平行，连结OB，过点A作OB的平行线，分别于y轴和双

曲线交于C、D两点，若S＝3，则m＝（）

ABC

△

【变式3-2】（2026春•兴化市期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数�＞

的图象上．

（1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0；

（2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H，

①当k＝am时，求AH+BH的值；

②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k

的值．

【变式3-3】（2025春•淮阴区期末）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y�（x＞0）的图象交于点A（2，

3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y�（x＞0）的图象于点C．

（1）求k、b的值；

（2）求△ABC的面积．

7/43

1

【变式3-4】（2025秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数�＜

的图象交于点A，与反比例函数�＞的图象交于点B，过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C

�＞

作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D．

（1）若点A的横坐标﹣1，⯘�．

i）求a，k的值；

ii）求点D的坐标；

（2）连接BC，BD，若△BCD的面积为，求k的值．

▌

题型反比例函数中的整数点问题

02

1.核心解题原理

k

（1）反比例函数标准解析式：y=(k≠0)

x

（2）核心变形公式：xy=k

（3）整数点定义：若点(x,y)在反比例函数图像上，且横坐标x、纵坐标y均为整数，则该点为反比例函数

的整数点。

（4）本质规律：反比例函数的所有整数点，横、纵坐标的乘积恒等于定值，找整数点本质就是找的所有整

数因数对。

2.通用解题步骤

步骤1：确定定值k

常见三种求k方式：

①题干直接给出k的值；

②已知图像过定点(a,b)，代入得k=ab；

8/43

1③结合图像面积、一次函数交点、几何图形性质求解k。

步骤：列举的全部整数因数对

2k

k

若x是k的整数因数，则y=必然为整数，每一组因数(x,y)对应一个整数点。

x

注意：必须同时列举正因数、负因数，避免漏点。

示例：k=6

全部整数因数：

±1、±2、±3、±6

对应整数点：

(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)、(−1,−6)、(−2,−3)、(−3,−2)、(−6,−1)

步骤3：根据象限分类筛选

当k>0时：同号，整数点分布在第一、三象限

x、y

第一象限：x>0，y>0（取正因数对）

第三象限：x<0，y<0（取负因数对）

当k<0时：x、y异号，整数点分布在第二、四象限

第二象限：x<0，y>0

第四象限：

x>0，y<0

步骤4：结合题干限制条件二次筛选

高频限制条件：

①限定象限：只保留对应象限的整数点；

②限定取值：x为正整数、x≥1、x≠0等；

③限定位置：点在直线/线段上、图像内部、网格内等；

④特殊要求：横纵坐标不相等、不含原点附近点等。

【典例4】（2025秋•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y�（x＞0）的图象与直线y＝2x

交于点A（2，m）．

（1）直接写出m，k的值；

（2）点B是函数y�（x＞0）图象上异于A的一点，记y�（x＞0）图象在点A，B间的部分与线段

OA，线段OB围成的区域为W．若区域W内（不含边界）恰有一个整点，直接写出点B的横坐标b的取

值范围．

9/43

1【变式4-1】（2025•路北区校级二模）如图，已知直线l：y＝mx+3与x，y轴分别交于点A，B，正比例函

数y＝kx的图象L与直线l交于点C（2，5）．

（1）求k，m的值，并求点A的坐标；

（2）若点P为x轴正半轴上的一点，S＝S，求点P的坐标；

AOCPOC

△△

（3）在第（2）问的条件下，若点P在x轴的正半轴上．约定：将（2）中△POC内部（不含边界）横、

纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线�＞使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比

值为1：2，直接写出符合条件的n的整数值．

【变式4-2】（2025•三门峡二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，

1），（4，1），反比例函数的表达式为�＞．

（1）若反比例函数的图象经过正方形ABCD的中心．

①求k的值；

②若反比例函数图象与CD交于点E，连接BD，BE，求△BDE的面积．

（2）若在反比例函数图象的上方，且在正方形ABCD内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整

数的点），则k的取值范围是．

10/43

1▌

题型反比例函数与二次根式综合

03

会利用完全平方公式的变形求最值

核心公式：（）

Ꙙლლ，ლ

，∴，∴，（只有当＝时，）

ლლꙘლꙘლლabꙘლ�ლ

【典例5】（2025春•泗洪县期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵ლ，∴ლꙘლ，

∴Ꙙლლ，（只有当a＝b时，Ꙙლ�ლ）．

【获得结论】在Ꙙლლ（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则Ꙙლ，只有当a＝b

时，a+b有最小值．

【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：

（1）若m＞0，只有当m＝时，Ꙙ有最小值；

（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线�上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为

双曲线�＞上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．

【变式5-1】（2025春•宿豫区期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数a、b．

∵ლ，

11/43

1∴ლꙘლ，

∴Ꙙლლ，（只有当a＝b时，Ꙙლ�ლ．

ꙘლლꙘლ

结论：在（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则，只有当a＝b时，a+b

有最小值，根据上述内容，回答下列问题：

问题1：若x＞0时，Ꙙ有最小值为；

Ꙙ

问题2：若�＞，求y的最小值为．

（2）【探索应用】如图，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣2），P为双曲线�上的任意一点，过点P作

PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

【变式5-2】（2025春•沛县期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了�＞

和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P

作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的

运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：

（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为（1≤x≤9）；

（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：

①列表：表中m＝；

x123469

12/43

1

y0m40

②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；

③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，y的最大值为．

④阅读规律：当a，b都是正数时，有ლ，即：Ꙙლლ，只有当a＝b时，Ꙙლ�ლ

才成立；如：已知＞，Ꙙ�，只有当�时，即：x＝2时，Ꙙ有最小值为4．

请用这个规律说明③中y的最大值的正确性；

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，直线�与坐标轴分别交于点A、B，点M为

反比例函数�＞上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD

面积的最小值．

▌

题型反比例函数中的新定义问题

04

常用解题步骤：

步骤1：拆解定义，文字转数学表达式（核心关键）

圈画题干定义中的关键词、限定条件，将文字描述精准转化为等式、不等式、坐标关系或几何关系，这是解

题最核心步骤。

k

通用解题技巧：设双曲线上动点坐标为P(t,)，用单参数t表示所有未知量，减少未知数个数，简化计算。

t

常见新定义翻译汇总：

（1）等积点：动点与原点、坐标轴垂足构成的三角形/矩形面积为固定值或与|k|相关；

（2）伴随矩形：过双曲线上点作x、y轴垂线，围成的矩形，面积S=|xy|=|k|；

1

（3）特征三角形：双曲线上点、原点、坐标轴垂足构成的直角三角形，面积S=|k|；

2

（4）关联点：两点横纵坐标乘积相等，即xy=xy=k；

1122

（5）定距/定角点：满足固定两点距离、角度、线段比例关系。

步骤2：结合反比例函数基础性质列式

13/43

1k

依托反比例函数y=(k≠0)固有性质，简化方程、快速代换，避免重复计算：

x

（1）点在双曲线上的充要条件：xy=k（最核心公式，全程通用）；

1

（2）面积性质：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积恒为|k|，直角三角形面积恒为|k|；

2

（3）对称性：双曲线关于原点、直线y=x、y=-x对称；

（4）增减性：k>0时，一、三象限内y随x增大而减小；k<0时，二、四象限内y随x增大而增大；

（5）定义域值域：x≠0，y≠0，双曲线永不与坐标轴相交。

步骤3：分类讨论，解方程/不等式

新定义题型多含绝对值、动点、多位置情况，必须分类讨论，杜绝漏解：

（1）含|k|、面积、距离类问题：分正负情况讨论；

（2）动点问题：按t>0（一、三象限）、t<0（二、四象限）分类；

（3）分式方程求解后，必须检验分母不为0、k≠0；

（4）涉及线段、图形位置的，需结合几何范围，确定参数取值范围。

步骤4：回代验证，剔除增根与不合理解

求出参数t、k、点坐标后，必须回代题干原始定义验证：

（1）验证是否满足xy=k，点在双曲线上；

（2）验证面积、距离、位置关系符合题干新定义；

（3）剔除点不存在、图形不成立、不符合象限限制的解。

【典例6】（2026春•婺城区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），Q（x，y），当满足

1122

x+x+y+y＝0时，则称点P，Q互为“对消点”．如P（1，2），Q（﹣1，﹣2）是互为“对消点”．

1212

（1）已知函数�图象上的点A，B互为“对消点”．

①若A的横坐标为2，求B的坐标；

②记A，B的横坐标分别为a，b，点M为线段AB的中点，若ab＝﹣4，求点M坐标；

（2）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（t+1，t），B（t+5，t），C（t+6，t+2），D（t+2，

t+2），若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值．

14/43

1【变式6-1】（2026•广宁县二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的

相近程度称为菱形或矩形的“相近度”．

（1）如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，我们将菱形的“相近

度”用|m﹣n|表示，即“相近度”＝|m﹣n|，若∠ABC＝60°，求该菱形的“相近度”；

（2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n（m≥n），

�

我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”．

①若∠AOD＝45°，求该矩形的“相近度”；

②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比例函数�＞和�＞的图象上，BD∥y轴，

点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求k1+k2的值．

【变式6-2】（2026•韶关二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，

则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C

Ꙙ

（3，3）的一次函数y�是矩形ABCD的“友好函数”．

（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例

函数y�（x＞0）经过点B，求反比例函数y�（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD

的“友好函数”；

（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经

过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y�（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友

2

好函数”．

①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的

值；

②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；

③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S；当矩形ABCD的周长y＝8

1

时，设矩形ABCD的面积为S，请直接写出S﹣S的值．

221

15/43

1【变式6-3】（2026•封开县二模）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端

点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点

C（3，3）的一次函数�Ꙙ是矩形ABCD的“友好函数”．

（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例

函数�＞经过点B，求反比例函数�＞的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友

好函数”；

（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y＝ax经

1

�＞经过点B，且是矩形ABCD的“友好

过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数

函数”．

如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的

①

值；

②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式．

▌

题型面积的存在性问题

05

1.遇到规则图形，可直接利用公式求面积，也可以利用铅锤法或者平行线的拉窗帘模型进行转化；

16/43

1①铅垂法求面积

111

x−xx−xx−x

S=CD⋅S=AD⋅S=BD⋅

△ABCBA△ABCBC△ABCCA

222

②拉窗帘模型

若l∥l,那么，将点C在l上移动，S面积不变。

121△ABC

2.遇到梯形、组合不规则图形，统一思路：通过分割、补全图形，转化为矩形或直角三角形

【典例7】（2025春•句容市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例

1

函数�（m≠0）图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（8，2），点B的横坐标为﹣4．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）当y＞y时，直接写出自变量x的取值范围；

12

（3）若点D是y轴上的一点，且S＝24，求点D坐标．

ABD

△

17/43

1

【变式7-1】（2025春•丹阳市期末）如图，反比例函数y�与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图

22

象相交于点A（m，1）和点B（﹣1，﹣4），连接AO、BO．

（1）求k的值；

1

（2）关于x的不等式＜x+b的解集为；

（3）△AOB的面积为；

（4）点P为直线AB上方的反比函数图象上的一点，若S＝S，

AOBAPB

△△

则点P的坐标为．

【变式7-2】（2026•泸州模拟）如图，直线�Ꙙ与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M在直线

AB上，且位于第二象限，BM＝AB．过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交反比例函数�＜的图

象于第三象限的点C，连接OC，△OCN的面积为6．

（1）求k值和点C的坐标；

（2）如图，点D是直线AB上一动点，连接BC，OM，当△BCD的面积是△OCM面积的2倍时，求点

D的坐标．

18/43

1【变式7-3】（2025春•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y＝kx+b与反

1

比例函数�（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）两点．

（1）求一次函数y与反比例函数y的解析式；

12

（2）根据图象回答，当Ꙙლ时，x的取值范围为；

（3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标．

【变式7-4】（2025春•丹徒区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴

上，A，B在第一象限，反比例函数�＞的图象经过点A（3，4）．

（1）求反比例函数的函数表达式和点B的坐标；

�＞

（2）点P在反比例函数的图象上．

①若直线OP平分菱形OABC的面积，求点P的坐标；

②若直线OP将菱形OABC的面积分成1：3两部分，则点P的横坐标是．

19/43

1▌

题型等腰三角形的存在性问题

06

常

1）两定一动：动点可在直线上、双曲线上；

见

2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

类

3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口。

型

思路：利用边相等列方程求解

代

1）设出动点坐标，通常用合字母的代数式表示；

数2）表示三边长度：利用两点间距离公式变式出AB,AC,BC；

222222

法3）分类讨论+计算：分三种情况AB=AC,AB=BC,BC=AC

4）列出方程求解。

思路：“两圆一线”找动点，构造等腰三角形

如图，△ABP是等腰三角形，A,B为定点，点P动点，且点P在x轴上，确定点P的方法：

几

何

法

-

1）先分类讨论

①若点A为顶角顶点，AB为腰，这时AB=AP，则点P为以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴的交

点；

②若点B为顶角顶点，AB为腰，这时BA=BP，则点P为以点B为圆心，AB为半径的圆与x轴的交

点；

③若点P为顶角顶点，AB为底，这时PA=PB，则点P为线段AB的垂直平分线与x轴的交点。

2）计算．利用全等、相似、三角函数等知识求点的坐标。

20/43

1【典例8】（2026•高新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A

�＞

（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，

连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积．

【变式8-1】（2026•新都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数�，＜的图象经过A

（﹣1，m+6），B（﹣2m﹣3，1）两点．

（1）求A点坐标及k的值；

（2）如图，若点P在反比例函数�，＜的图象上，且点P到x轴，y轴距离相等，连接PA，

PB，AB，求△PAB的面积；

（3）在（2）的条件下，若∠MPN＝45°，且∠MPN的两边PM，PN分别交y轴负半轴于点M，交x轴

正半轴于点N，当△PMN为等腰三角形时，请直接写出此时OM的长．

【变式8-2】（2026春•宽城区校级期中）如图，一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数�＞的图

象交于点A（4，1），与y轴交于点B．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y＝ax﹣2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，

21/43

1连结AC．当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，直接写出平移的距离．

▌题型等腰直角三角形的存在性问题

07

第一步分类若△ABO是等腰直角三角形、则有∠AOB=90°,讨论∠OAB=90°或∠ABO=90°三种情况

第二步：构造“一线三垂直”全等模型

(示例：∠AOB=90°)

第三步：分类、计算利用AH=OK,OH=BK的等量关系求解

【典例9】（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函

数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数�＞，＞的图象于M，N两点，

连接MN．

（1）求a，b的值；

（2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．

22/43

1【变式9-1】（2026春•邓州市期中）【情境引入】

如图1，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直线ED经过点A，过B作BD⊥ED于点D，

过C作CE⊥ED于点E．易证得Rt△BDA≌△AEC（无需证明），这就构成了典型的“一线三垂直全等

模型”，此时所运用的三角形全等的判定定理是．（填序号）

①SSS；

②AAS；

③SAS；

④HL．

【类比探究】

（1）如图2，点A，B分别在x轴，y轴上，若直线AB的函数关系式为y＝2x+4．

①则点A坐标为，点B坐标为；

②将线段AB绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点C的坐标为；

�

（2）如图3，点B（1，a）在反比例函数图象上，连接OB，将OB绕点O顺时针旋转90°到OA，

求直线AB的解析式；

【拓展延伸】

（3）如图4，在（1）的条件下（即直线AB的解析式为y＝2x+4），若点P在第二象限，且△PAB是等

腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

23/43

1▌

题型平行四边形的存在性问题

08

一．利用点坐标公式法求定点坐标

（一）平行四边形顶点坐标核心公式

若四边形ABCD为平行四边形，对角线互相平分，中点坐标相同，可得两组等价坐标关系：

x−x=x−x

x+x=x+x

BACD

ACBD

( 或 )

y−y=y−yy+y=y+y

BACD

ACBD

文字结论：平行四边形对角顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等。

（二）已知三点求第四点D（3种分类讨论）

已知不在同一直线上的三点(A,B,C)，平面内存在3个点D，使以(A,B,C,D)为顶点的四边形是平行四边形，

分三种对角线情况：

1以AB为对角线：(x+x=x+x)，(y+y=y+y)

ABCDABCD

②以AC为对角线：(x+x=x+x)，(y+y=y+y)

ACBDACBD

③以BC为对角线：(x+x=x+x)，(y+y=y)

BCADBCD

二、利用平移法求平行四边形顶点坐标

（一）核心原理

平行四边形一组对边平行且相等，对应边可看作一次平移变换：从一个顶点平移到对顶点，横、纵坐标的变

化量完全相同。设两点M(x,y)、N(x,y)，从M平移到N：横坐标变化：(Δx=x−x)纵坐标变化：(Δy=y−y)

11222121

即向右/左平移(|Δx|)，向上/下平移(|Δy|)。

（二）通用解题步骤

1确定已知三点：(A、B、C)，分三类讨论谁和谁为一组对边；

2锁定平移向量：选定一条线段作为平移基准，算出横、纵坐标平移增量(Δx、Δy)；

3平移第三点求未知点D：用基准线段的平移量，平移剩余顶点，直接算出D坐标；

4验证：反向平移检验对边坐标变化量一致。

（三）三种分类情况（固定三点A、B、C，求D）

情况1：AB与CD为对边

由(A平移B)，得平移量：(Δx=x−x,Δy=y−y)

BABA

x=x+(x−x)

DCBA

将点C按相同增量平移得到D：()

y=y+(y−y)

DCBA

AC与BD为对边

情况2：

x=x+(x−x)

DBCA

由(A平移C)，平移量：(Δx=x−x,Δy=y−y)将点B按相同增量平移得到D：()

CACA

y=y+(y−y)

DBCA

情况3：BC与AD为对边

24/43

1x=x+(x−x)

DACB

由(B平移C)，平移量：(Δx=x−x,Δy=y−y)将点A按相同增量平移得到D：()

CBCB

y=y+(y−y)

DACB

【典例10】（2026•沂源县二模）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函

1

数�＞的图象的两个交点．

（1）求m、n的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标；

（4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四

边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．

【变式10-1】（2026•江阳区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和

x轴上，顶点B的坐标为（6，b），直线�Ꙙ分别与AB，BC交于点D，E，反比例函数�

的图象经过点D，E，连接OD，OE．

（1）求反比例函数�的解析式；

（2）求△DOE的面积；

（3）点P在平面内，若以点O，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

25/43

1【变式10-2】（2025春•苏州期末）如图1，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点B，与反比例函

数�＞的图象交于点A，点A的横坐标为2，点C（﹣1，3）是直线AB上一点，过点C作x轴

的平行线，与反比例函数�＞的图象交于点D，与y轴交于点E，连接OC、OD．

（1）求反比例函数表达式；

（2）若直线CD上存在点G，它到直线OD的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标；

（3）将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，点Q是反比函数�＞

上一点，连接QC′，QO′，若四边形C′D′O′Q是平行四边形，则点Q的坐标为．

▌题型菱形的存在性问题

09

解题思路：

1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一

线）可先确定第3个点，再确定第4个点．

2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：

Ꙙ�Ꙙ

Ꙙ�Ꙙ

，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，

Ꙙ�Ꙙ

再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．

【典例11】（2026春•栖霞区期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反

比例函数y�（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S�S

PAO

△

．

AOCB

矩形

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；

26/43

1（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所

有点Q的坐标．

【变式11-1】（2025春•苏州期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，动点P

从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PD∥

BC，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒（x＞0），当点P运动到

点A时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求PD、AD的长（用x的代数式表示）；

（2）如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例

函数�的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值；

（3）若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使

P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理

由．

▌

题型正方形的存在性问题

10

1.从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对

角线互相垂直.

27/43

12.构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3

个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等等腰直角三角形来求得第个点，

/3

再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足

的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解.

解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标.

【典例12】（2026•张店区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函

�

数（m≠0，x＞0）的图象相交于点A（1，6），B（3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）请直接写出关于x的不等式Ꙙლ＞的解集；

（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C（点C在直线AB的右上方）和点D，使得四边形ACBD

为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式12-1】（2026•章丘区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线

AB与反比例函数�的图象在第一象限相交于点C（a，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图2，点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数�图象第一象限内一点，且点E

在点C的右侧，连接AE，CE，若△ACE的面积与且△ACD的面积相等，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接MD，并在MD左侧作正

方形MDNF，当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标．

28/43

1

【变式12-2】（2026•崇州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与反比例函数�＜

的图象相交于点A（﹣3，n），与y轴相交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数�＜图象上一

动点，且不与点A重合，过点P作PQ∥y轴交直线y＝﹣x+b于点Q．设点P的横坐标为t，且t＜0，连

接AP，BP．

（1）求k，b，n的值；

（2）当△ABP的面积为6时，求点P的坐标；

（3）当点P在点A的右侧时，设PQ的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当

以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标．

▌题型定值、恒成立问题

11

（一）设元表示动点设函数图像上动点坐标（单参数最简）：

1.一次函数：设横坐标为t，纵坐标代入解析式用t表示；

2.反比例函数�：设动点。

（二）根据题意列式利用两点距离、中点、面积、斜率、坐标平移等公式，写出目标代数式（面积、线段

长、和差、乘积等）。

（三）代数化简消参展开、通分、整体代换，消去所有动点参数、等）；

（四）下结论验证化简后式子不含变量参数，数值固定，即证明为定值；可代入两组不同动点坐标验算。

【典例13】（2025春•无锡期末）如图，点A、B是反比例函数�＞的图象上位于第一象限内不同

的两点，直线OA交函数图象另一支于点A′，连接AB、A′B．

�

（1）若反比例函数的图象经过点A（2，6），点B横坐标为6．求证：∠ABA'＝90°；

（2）若∠ABA'＝90°恒成立，试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系，并说明理由．

29/43

1【变式13-1】（2026•南海区模拟）定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都

平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随

直线．如图1，矩形ABCD的顶点A（2，3）、C（6，1）在反比例函数�的图象上，所以矩形ABCD

是反比例函数�的伴随矩形，直线BD是反比例函数�的伴随直线．

（1）如图2，已知反比例函数�的图象经过矩形ABCD的顶点A（3，4），AB∥y轴，BC∥x轴，

AB＝2，BC＝3，求反比例函数的表达式，并判断矩形ABCD是否为该反比例函数的伴随矩形．

（2）求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点．

（3）如图3，已知矩形ABCD和矩形EFGH都是反比例函数�的伴随矩形，且对应的伴随直线均为

y＝2x．

①求证：直线AE与直线CG的交点M始终在直线y＝2x上；

若矩形ABCD的周长为30，矩形EFGH的周长为6，直接写出点M的坐标．

②

【变式13-2】（2025春•靖江市校级期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著

30/43

1

名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线�＞相关的几何问题进

行探究．

（1）如图1，A，C是双曲线�＞上的两点，横坐标分别是和3，以AC为对角线构造矩形ABCD，

使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线BD所在直线经过原点；

�＞

（2）若A，C是双曲线上的任意两点（A与C不重合），以AC为对角线构造矩形ABCD，

使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线BD所在直线是否经过原点？请说明理由；

�＞

（3）如图3，A，C是双曲线上的两点（点C在A右侧），连接AC，OA，若OA⊥AC且

OA＝AC，求此时△OAC的面积．

【变式13-3】（2025春•海陵区期末）如图，点A，P是反比例函数�图象上不重合的两个点，作直线

AP交x轴于点E．设点A，P的横坐标分别为m，n，直线AP的函数表达式为y＝kx+b．

�，�

（1）当时，

①求直线AP的函数表达式；

②若＜Ꙙლ＜，直接写出x的取值范围；

（2）若点A和点B关于原点O对称，作直线BP交