2026秋冀教七上数学第1章有理数（4类压轴题专练）

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第一章有理数（4类压轴题专练）（学生版）

目录

压轴题型一利用数轴化简绝对值...........................................................................................................1

压轴题型二新定义型有理数混合运算...................................................................................................2

压轴题型三与有理数乘方有关的新定义型问题...................................................................................2

压轴题型四数轴上的动点问题...............................................................................................................3

压轴题型一利用数轴化简绝对值

例1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|ac||ab||cb|．

巩固训练

1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：abb2ca2c．

2.已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示：

(1)a1，b2，|c|______________2（填“”或“”）

(2)化简：|a1||b2||bc|．

3.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：

ab______0，ca______0，b2______0．

(2)化简：ab2cab2．

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第一章有理数（4类压轴题专练）（学生版）

压轴题型二新定义型有理数混合运算

例2.计算规定abab1，试计算：23的值．

巩固训练

1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到

1

运算a★b2a21．按此程序3★2．

b

2.若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲bab2a3b2，

(1)计算3▲4的值；

(2)计算2▲3▲6的值；

(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．

3.若我们定义ab4abab，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：

624626240．依据以上内容，求下列式子的值．

(1)42；

(2)12．

压轴题型三与有理数乘方有关的新定义型问题

1

例3.现规定一种新的运算“”：abab，如32329，则2．

2

巩固训练

1

1.用“”，“”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有abab，abba，求(22)的

2

值．

a

2.规定:ab13b.

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第一章有理数（4类压轴题专练）（学生版）

(1)求73的值；

(2)若2x9，求x的值.

n

3.如果xy，那么我们记为：x,yn．例如329，则3,92．

(1)根据上述规定，填空：2,8______，5,25______；

(2)若x,162，则x______；

(3)若4,a2，b,83，求b,a的值．

压轴题型四数轴上的动点问题

例4.如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是3，点N在点M的右边，且距M点4个单位

长度，点P、Q是数轴上的两个动点．

(1)求出点N所对应的数；

(2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；

(3)若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3

个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q

分别对应的数．

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第一章有理数（4类压轴题专练）（学生版）

巩固训练

2

1．如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足a20b80．

(1)求A、B两点相距多少个单位长度？

1

(2)若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数；

3

(3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长

度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．

2．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c100，若点A沿数轴向右

移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

(1)a的值为，bc的值为；

(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以

每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．

①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；

②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．

3．阅读下面的材料：

如图①，若线段AB在数轴上，A，B点示的数分别为a，b（ba），则线段AB的长（点A到点B

的距离）可表示为ABba

请用上面材料中的知识解答下面的问题：

如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后

向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm

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第一章有理数（4类压轴题专练）（学生版）

(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度．

(2)若数轴上有一点D，且AD4cm，则点D表示的数是什么？

(3)若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点表示的数？

4．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的

数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.

例：如图1所示，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，因为AB312，BC431，AB2BC，

所以称点B是点A，C的“关联点”．

图1

(1)如图2所示，点A表示数2，点B表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3

其中是点A，B的“关联点”的是;

图2

(2)如图3所示，点A表示数10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：

①若点P在点B的左侧，且P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时

点P表示的数.

图3

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

目录

压轴题型一利用数轴化简绝对值...........................................................................................................6

压轴题型二新定义型有理数混合运算...................................................................................................8

压轴题型三与有理数乘方有关的新定义型问题...................................................................................9

压轴题型四数轴上的动点问题.............................................................................................................12

压轴题型一利用数轴化简绝对值

例1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|ac||ab||cb|．

【答案】2c

【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出ab0c，

bca，从而得到ac0，ab0，cb0，再根据绝对值的性质化简即可．

【详解】解：由数轴可得：ab0c，bca，

ac0，ab0，cb0，

|ac||ab||cb|

acabcb

acabcb

2c．

巩固训练

1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，

化简：abb2ca2c．

【答案】2c

【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得ba0c2，进而得到ab0，

b20，ca0，2c0，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出ab、b2、ca与2c

的符号是解题的关键．

【详解】解：由数轴可得，ba0c2，

∴ab0，b20，ca0，2c0，

∴原式ab2bca2c，

ab2bca2c，

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

2c．

2.已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示：

(1)a1，b2，|c|______________2（填“”或“”）

(2)化简：|a1||b2||bc|．

【答案】(1)，，；(2)ac3

【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝

对值的意义；

（1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可；

（2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即

可求解．

【详解】（1）由数轴可知：0a1，b2，2c1且acb，

a<1，b2，c<2

故答案为：，，；

（2）由（1），得a10,b20,|b||c|．

又b0,c0，

所以bc0，

所以|a1||b2||bc|

(a1)(b2)(bc)

a1b2bc

ac3．

3.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：

ab______0，ca______0，b2______0．

(2)化简：ab2cab2．

【答案】(1)，，；(2)3a2c2

【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定

代数式的正负成为解题的关键．

（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．

【详解】（1）解：由数轴可得：2bc02a，

则ab0,ca0,b20．故答案为：，，．

（2）解：∵ab0,ca0,b20，

∴ab2cab2

ab2cab2

ab2c2ab2

3a2c2．

压轴题型二新定义型有理数混合运算

例2.计算规定abab1，试计算：23的值．

【答案】5

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．

【详解】解：∵abab1，

∴23231615．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

巩固训练

1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键，再输入“b”，就可以得到

1

运算a★b2a21．按此程序3★2．

b

【答案】8.5

【分析】根据题意列出算式进行计算即可．

【详解】解：根据题意得：

21

3★2231

2

1

291

2

1

71

2

8.5．

故答案为：8.5．

【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确

计算．

2.若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲bab2a3b2，

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

(1)计算3▲4的值；

(2)计算2▲3▲6的值；

(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．

【答案】(1)8；(2)8；(3)不成立，见解析

【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；

（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；

（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．

【详解】（1）解：由题意得：3▲434233428，

（2）解：由题意得2▲323223323，

3▲636233628

∴2▲3▲68；

（3）解：不成立，理由如下：

∵a▲bab2a3b2，b▲aba2b3a2，

∴a▲bb▲a，即定义的新运算“▲”对交换律不成立．

【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目

所给新定义的运算顺序和运算法则．

3.若我们定义ab4abab，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：

624626240．依据以上内容，求下列式子的值．

(1)42；

(2)12．

【答案】(1)38；(2)9

【分析】（1）将a4、b2代入4ab(ab)，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得；

（2）将a1、b2代入4ab(ab)，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得．

【详解】（1）解：(4)*(2)4(4)(2)(42)32638；

（2）(1)*24(1)2(12)819．

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．

压轴题型三与有理数乘方有关的新定义型问题

1

例3.现规定一种新的运算“”：b，如32329，则2．

aba2

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

【答案】1

4

【分析】根据题中所给的运算方法列出乘方的式子，再根据乘方的运算法则进行计算即可．

【详解】解：abab，如32329，

2

1111

2，故答案为：．

2244

【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知数的乘方法则是解答此题的关键．

巩固训练

1

1.用“”，“”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有abab，abba，求(22)的

2

值．

【答案】1

16

21

【分析】根据新定义，先计算2224再计算4，即可求解．

2

2

【详解】解：依题意，2224

1

∴(22)

2

1

4

2

4

1

2

1

．

16

【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键．

a

2.规定:ab13b.

(1)求73的值；

(2)若2x9，求x的值.

【答案】(1)27；(2)x2

【分析】（1）根据原式将a7、b3代入即可求解；

（2）将a2，bx代入等式，即可求解x的值．

7

【详解】（1）原式13327；

（2）2x9，

2

13x9，

3x9，

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

x2．

【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．

n

3.如果xy，那么我们记为：x,yn．例如329，则3,92．

(1)根据上述规定，填空：2,8______，5,25______；

(2)若x,162，则x______；

(3)若4,a2，b,83，求b,a的值．

【答案】(1)3，2；(2)4；(3)4

【分析】（1）理解题意，根据有理数乘方计算求解；

（2）根据题意得到x216，求得x的值即可；

（3）根据题意，由有理数的乘方计算求得a与b的值，然后求解．

【详解】（1）解：∵23=8，

∴2,83，

2

∵5=25，

∴5,252，

故答案为：3，2．

（2）∵x,162，

∴x216，

2

∵4216，416，

∴x4；

故答案为：4

（3）解：∵4,a2，42=16

∴a4216

∵b,83，23=8，

∴b=2

∴b,a=2,16

又∵24=16

∴b,a的值为4．

【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

压轴题型四数轴上的动点问题

例4.如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是3，点N在点M的右边，且距M点4个单位

长度，点P、Q是数轴上的两个动点．

(1)求出点N所对应的数；

(2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；

(3)若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3

个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q

分别对应的数．

【答案】(1)1；(2)3.5或1.5；

(3)点P对应的数是37，点Q对应的数是35或点P对应的数是45，点Q对应的数是47．

【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；

（2）分两种情况：①点P在点M的左边，；②点P在点N的右边，进行讨论即可求解；

（3）分两种情况：①点P在点Q的左边，②点P在点Q的右边，进行讨论即可求解；

本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．

【详解】（1）341，故点N所对应的数是1；

（2）5420.5，

①点P在点M的左边，

30.53.5，

②点P在点N的右边，

10.51.5，

故点P所对应的数是3.5或1.5；

（3）①点P在点Q的左边，

42523212112（秒），

点P对应的数是35212237，点Q对应的数是37235；

②点P在点Q的右边，

42523216116（秒），

点P对应的数是35216245，点Q对应的数是45247，

综上可知：点P对应的数是37，点Q对应的数是35或点P对应的数是45，点Q对应的数是47．

巩固训练

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

2

1．如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足a20b80．

(1)求A、B两点相距多少个单位长度？

1

(2)若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数；

3

(3)点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长

度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．

【答案】(1)12个单位长度；(2)2或11；(3)1032．

【分析】（1）先由绝对值和平方数的非负性求出a和b，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式

即可求解；

（2）根据点的位置分情况讨论即可求解；

（3）点P向左移1个单位，再向右移动2个单位，依次规律，列出算式即可求解．

22

【详解】（1）因为a20b80，a200，b80，

2

所以a200，b80，

所以a20，b8，

22012，

答：A、B两点相距12个单位长度；

11

（2）①若点C在B点的右侧，则CBCACBAB．

33

1

所以CBAB6．

2

所以点C表示的数为862．

11

②若C点在A，B点之间，则CBCAABCB．

33

1

所以CBAB3．

4

所以点C表示的数为8311．综上，C点表示的数为2或11．

（3）20123456720212022202320101120231032，答：P点表示的数为1032．

【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离及数轴上的动点问题．

2．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c100，若点A沿数轴向右

移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

(1)a的值为，bc的值为；

(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以

每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．

①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；

②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．

14

【答案】(1)6，4；(2)①m;②0或

33

【分析】1根据A、B两点间的距离为12且A、B两点表示的数互为相反数即可求a，b；再根据绝

对值为非负数求出c，从而得出结论；

2①根据相遇时Q走的路程是4，根据速度时间路程列方程求出m的值；②根据点P，Q的路程

之差的绝对值等于2列出方程，解方程即可.

【详解】（1）∵c100,

∴c10,

∵AB12,a,b互为相反数,

∴a6,b6,

∴bc6104,故答案为:6，4；

（2）①∵点P的速度是每秒1个单位长度，点P,Q在点B处相遇,AB12,

∴点P从点A运动到点B所用时间为12秒，

∵BC4,

1

∴12m4,解得m;

3

②设运动时间为t秒，

14

根据题意：16t2t2,解得t6或,

3

144

xat660或xat6,

33

4

∴x0或.

3

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，

进行分类讨论是解题的关键.

3．阅读下面的材料：

如图①，若线段AB在数轴上，A，B点示的数分别为a，b（ba），则线段AB的长（点A到点B

的距离）可表示为ABba

请用上面材料中的知识解答下面的问题：

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后

向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm

(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度．

(2)若数轴上有一点D，且AD4cm，则点D表示的数是什么？

(3)若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点表示的数？

【答案】(1)CA5cm，见解析；(2)点D表示的数是5或3；(3)移动后的点表示的数为1x；

【分析】（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出AC的长度；

（2）设点D表示的数是a，由绝对值的意义容易得出结果；

（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为1x．

【详解】（1）解：由题意可得：A，B，C三点的位置如下所示，

∴CA4(1)415cm；

（2）解：设点D表示的数是a，

∵AD4cm，

|1a|4，

解得：a5或3，

∴点D表示的数是5或3；

（3）解：将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为1x；

【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解是解决问题的关键．

4．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的

数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.

例：如图1所示，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，因为AB312，BC431，AB2BC，

所以称点B是点A，C的“关联点”．

图1

(1)如图2所示，点A表示数2，点B表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3

其中是点A，B的“关联点”的是;

图2

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第一章有理数（4类压轴题专练）（解析版）

(2)如图3所示，点A表示数