初中数学几何辅助线技巧大全-20个经典模型+50道练习题

初中数学几何辅助线技巧大全——20个经典模型+50

道练习题

标签：初中数学/几何辅助线/经典模型/中考数学/截长补短/倍长中线/全等三角形/手拉手模型/半角模型

日期：2026年9月

文档定位与覆盖承诺

本文档解决的核心问题：初中生在几何证明题中"不知道什么时候该画辅助线""不知道画哪条辅助线""画了辅助线不知

道怎么往下证"。辅助线不是靠灵感，而是靠模型识别。本文档将初中几何中最高频的辅助线做法归纳为20个经典模

型，每个模型按"特征识别→辅助线做法→核心结论→完整例题→零基础操作引导→避坑提醒"六步拆解，再配50道练

习题，每道题均附完整详细的证明过程。

覆盖承诺：全文覆盖20个经典辅助线模型，每个模型含特征识别关键词、辅助线做法、核心结论、完整例题（含逐步

证明过程）、零基础操作引导、避坑提醒。50道练习题按模型分类，每道题附完整解析，证明过程逐步展开，不省略

任何步骤。

目录

第一章辅助线总论：三个原则与通用口诀

第二章几何图形初步（模型1-3）

第三章三角形倒角模型（模型4-7）

第四章全等构造模型（模型8-12）

第五章旋转与对称模型（模型13-16）

第六章特殊图形模型（模型17-20）

第七章50道练习题（含完整解析）

附录

第一章辅助线总论：三个原则与通用口诀

1.1辅助线的本质

辅助线是在几何证明中，当现有图形条件不足以进行有效证明时，为辅助解题而增添的线段或直线。波利亚在《怎样

解题》中将辅助线定义为"辅助元素"，并指出引入辅助线的三个作用：利用已知结论、回到定义、使题目更熟悉和完

整。辅助线是已知条件与目标结论之间的桥梁——题目给了什么，要求证什么，中间缺的那条路，就是辅助线。

1.2辅助线添加的三个原则

原则一：完备性。添加辅助线后，图形中应包含解题所需的全部关键元素——全等三角形、等腰三角形、直角三角形

等。如果画完辅助线后仍然找不到可用的全等或相似关系，说明辅助线的位置或方向需要调整。

原则二：确定性。辅助线应该由已知条件唯一确定，而不是"随便画一条试试"。例如"见中线，想倍长"中的倍长方向

是确定的——延长中线至原长的两倍，连接端点。这种确定性来自对模型的识别，而非猜测。

原则三：不变性。辅助线揭示的几何关系在图形动态变化（如旋转、折叠）中保持不变。例如手拉手模型中，无论两

个等腰三角形相对旋转到哪个位置，对应的全等三角形始终存在。

1.3通用口诀"八字节"

适用于所有几何题型的通用辅助线口诀：连、垂、延、补、转、平、中、对。

口诀字含义典型操作

连连接两点连接对角线、连接中点

垂作垂线过一点向一条线作垂线

延延长线段延长中线一倍、延长短边补长

补补全图形把残缺的图形补成完整的基本图形

转旋转图形将某个三角形绕公共点旋转

平作平行线过拐点作平行线、作平行线构相似

中利用中点连接中位线、倍长中线

对利用对称作对称点、翻折图形

1.4三角形辅助线口诀

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

1.5四边形辅助线口诀

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

第二章几何图形初步（模型1-3）

模型1：双中点模型

一、特征识别

题目中出现两条线段的中点，或一条线段上有一个中点，另一条线段上也有一个中点。常见于"M是AB中点，N是CD中

点"或"D是BC中点，E是AD中点"的表述。

识别关键词：中点、中线、中位线。

二、辅助线做法

连接两个中点，或取第三个中点构造中位线。核心思路是利用三角形中位线定理——三角形的中位线平行于第三边且

等于第三边的一半。

具体操作：若图形中有两个中点但不构成中位线，则寻找或构造第三个中点，使两个中点成为某个三角形的两边中

点，从而应用中位线定理。

三、核心结论

1.三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半（中位线定理）

2.梯形两腰中点的连线平行于两底且等于两底和的一半

3.中线倍长后构造中心对称全等

四、完整例题

已知：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点。求证：DE∥BC且DE=½BC。

辅助线：延长DE到F，使EF=DE，连接CF。

证明过程：

∵E是AC中点，∴AE=EC。

又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），DE=EF（作图），

∴△AED≌△CEF（SAS）。

∴AD=CF，∠ADE=∠F。

∴AD∥CF，即BD∥CF（内错角相等，两直线平行）。

又∵D是AB中点，∴AD=BD。∴BD=CF。

∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等）。

∴DE∥BC且DE=½BC（平行四边形的对边平行且相等）。

零基础操作引导：

第一步，在图上标出已知的中点D和E。

第二步，延长DE到F，用尺子量出DE的长度，在延长线上取EF=DE。

第三步，连接CF。

第四步，观察△AED和△CEF，找全等条件（AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF）。

第五步，证明四边形BCFD是平行四边形（BD∥CF且BD=CF）。

第六步，从平行四边形的性质得出DE∥BC且DE=½BC。

避坑提醒：倍长方向不能搞错——是从E点出发，向远离D的方向延长。区分方法：E是AC中点，从E出发延长DE，而

不是从D出发延长ED。

模型2：双角平分线模型

一、特征识别

题目中出现两条角平分线，或一条角平分线加一条垂线。常见于"BD平分∠ABC，CD平分∠ACB"或"AP平分∠BAC，BP

平分∠ABC"的表述。

识别关键词：角平分线、平分、∠1=∠2。

二、辅助线做法

在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。或者从角平分线上的点向角的两边作垂线。

三种常用方法：

方法一：向两边作垂线。从角平分线上一点向角的两边作垂线，利用"角平分线上的点到角两边距离相等"。

方法二：截取构全等。在角的一边上截取一段等于另一边上已知的线段，构造全等三角形。

方法三：翻折。将角平分线一侧的图形沿角平分线翻折，构造轴对称全等。

三、核心结论

模型类型条件结论

两内角平分线BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB∠BDC=90°+½∠A

一内一外角平分线BD平分∠ABC，CD平分∠ACE∠D=½∠A

两外角平分线BO、CO分别平分外角∠CBE和∠BCF∠O=90°−½∠A

角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线性质定理）。

四、完整例题

已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CD相交于点D。求证：∠BDC=90°+½∠A。

证明过程：

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=½∠ABC。

∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=½∠ACB。

在△BDC中，∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB

=180°−½∠ABC−½∠ACB

=180°−½(∠ABC+∠ACB)。

∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，

∴∠BDC=180°−½(180°−∠A)=180°−90°+½∠A=90°+½∠A。

零基础操作引导：

第一步，在图上标出两条角平分线。

第二步，写出两个半角表达式（∠DBC=½∠ABC，∠DCB=½∠ACB）。

第三步，在△BDC中用内角和公式。

第四步，代入∠ABC+∠ACB=180°−∠A。

第五步，化简得到∠BDC=90°+½∠A。

避坑提醒：注意区分三种双角平分线模型——两内角平分线、一内一外、两外角。三者的结论不同，识别时先判断是

哪两条角平分线。

模型3：平行线拐点模型

一、特征识别

两条平行线之间有一个或多个"拐点"（折点），形成"M"形、"Z"形或其他折线形状。常见于"AB∥CD，点P在AB与CD之

间"的表述。

识别关键词：平行线、拐点、折点、M形、Z形。

二、辅助线做法

过拐点作平行线，使拐点处的角被分解为与平行线相关的同位角或内错角。有几个拐点就作几条平行线。

三、核心结论

图形条件结论

M形（拐点在平行线之间）AB∥CD，P在内部∠APC=∠A+∠C

Z形（拐点在平行线外侧）AB∥CD，P在外部∠APC=∠C−∠A

多拐点多个拐点朝左的角之和=朝右的角之和

四、完整例题

已知：AB∥CD，点P在AB与CD之间，连接AP、CP。求证：∠APC=∠A+∠C。

辅助线：过点P作PQ∥AB。

证明过程：

∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。

∵PQ∥AB，∴∠A=∠APQ（两直线平行，内错角相等）。

∵PQ∥CD，∴∠C=∠CPQ（两直线平行，内错角相等）。

∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C。

零基础操作引导：

第一步，在拐点P处画一条平行于AB的直线PQ。

第二步，标出∠APQ和∠CPQ。

第三步，利用平行线性质分别将∠APQ转化为∠A，∠CPQ转化为∠C。

第四步，相加得到∠APC=∠A+∠C。

多拐点拓展：如果有多个拐点，过每个拐点都作平行线。规律为"朝左的角之和=朝右的角之和"（左和=右和）。

避坑提醒：作平行线时确保方向正确——平行于已知的平行线，而不是随意画一条线。有几个拐点就要作几条平行

线，不能遗漏。

第三章三角形倒角模型（模型4-7）

模型4："8字"模型

一、特征识别

两条线段相交，形成"8"字形（如线段AC与BD相交于点O）。常见于"AC与BD交于点O"的表述。

识别关键词：两条线段相交、对顶角、8字、X字。

二、辅助线做法

通常不需要添加辅助线，直接利用对顶角相等和三角形内角和定理。

三、核心结论

在△ABO和△CDO中，∠A+∠B=∠C+∠D。

证明过程：

在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°。

在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°。

∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），

∴∠A+∠B=∠C+∠D。

拓展结论：

若BP、DP分别是∠ABC、∠ADC的平分线，则∠P=½(∠A+∠C)

AB+BC+CD+AD>AC+BD

四、完整例题

已知：线段AC与BD交于点O，∠A=40°，∠B=60°，∠C=30°。求∠D的度数。

解：由"8字"模型，∠A+∠B=∠C+∠D。

40°+60°=30°+∠D。

∠D=70°。

零基础操作引导：

第一步，在图上标出两个三角形（△ABO和△CDO）。

第二步，分别写出两个三角形的内角和等式。

第三步，利用对顶角相等建立联系。

第四步，代入已知数值计算。

应用场景：8字模型不仅单独考查，在手拉手全等及手拉手相似中也常常用来进行导角，应用十分广泛。五角星五个角

之和为180°的证明也用到此模型。

模型5："燕尾"模型

一、特征识别

三角形内部有一个点，连接该点与三角形的两个顶点，形成"燕尾"形状（又称"飞镖"模型）。常见于"点O是△ABC内部

一点，连接OB、OC"的表述。

识别关键词：三角形内一点、飞镖、燕尾、凹四边形。

二、辅助线做法

延长内部点与顶点的连线，交对边于一点。

具体操作：延长BO交AC于点D（或延长CO交AB于点D）。

三、核心结论

∠BOC=∠A+∠B+∠C（其中O是三角形内部一点，连接OB、OC）。

证明过程：

延长BO交AC于点D。

在△ABD中，∠BDC=∠A+∠B（三角形外角等于不相邻两内角之和）。

在△COD中，∠BOC=∠BDC+∠C（三角形外角等于不相邻两内角之和）。

∴∠BOC=∠A+∠B+∠C。

四、完整例题

已知：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，点O是△ABC内部一点，连接OB、OC。求∠BOC的度数。

解：由燕尾模型，∠BOC=∠A+∠B+∠C=70°+60°+50°=180°。

零基础操作引导：

第一步，延长BO到AC边，标记交点为D。

第二步，在△ABD中用外角定理得到∠BDC=∠A+∠B。

第三步，在△COD中用外角定理得到∠BOC=∠BDC+∠C。

第四步，代入得到∠BOC=∠A+∠B+∠C。

避坑提醒：燕尾模型适用于三角形内部的点。如果点在三角形外部，结论会有所不同。识别时先确认点的位置。

模型6："风筝"模型

一、特征识别

四边形中有一组邻边分别相等，形似风筝（如AB=AD，CB=CD）。常见于"AB=AD，CB=CD"或"AB=AC，DB=

DC"的表述。

识别关键词：两组邻边相等、风筝形、鹰爪形。

二、辅助线做法

连接对角线（通常连接两组等边的公共顶点之间的对角线），将风筝模型拆分为两个全等三角形。

三、核心结论

1.风筝模型的对角线互相垂直

2.一条对角线平分另一条对角线

3.一条对角线平分一组对角

证明过程：

连接AC。

在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SSS）。

∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD。

同理，AC平分∠BCD。

零基础操作引导：

第一步，连接AC（两个等腰三角形的公共边）。

第二步，找两组等边条件（AB=AD，CB=CD）。

第三步，用SSS证明△ABC≌△ADC。

第四步，利用全等三角形的对应角相等得出结论。

避坑提醒：风筝模型的关键是"两组邻边分别相等"，不是"一组对边相等"。识别时注意区分。

模型7：角平分线模型

一、特征识别

题目中出现"平分""∠1=∠2"或角平分线的表述。

识别关键词：角平分线、平分、对称轴。

二、辅助线做法（四种方法）

方法操作适用场景

向两边作垂线从角平分线上一点向角的两边作垂线证明距离相等

截取构全等在角的一边上截取一段等于另一边上的线段构造全等三角形

翻折将角平分线一侧的图形沿角平分线翻折构造轴对称全等

角平分线+平行线过角平分线上一点作角的一边的平行线构造等腰三角形

三、核心结论

角平分线上的点到角两边的距离相等。

证明过程（角平分线性质定理）：

已知：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。

求证：PD=PE。

在△OPD和△OPE中，∠PDO=∠PEO=90°，∠DOP=∠EOP，OP=OP，

∴△OPD≌△OPE（AAS）。∴PD=PE。

四、完整例题

已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于D。求证：AB=AC+CD。

辅助线：在AB上截取AE=AC，连接DE。

证明过程：

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD。

在△ACD和△AED中，AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD=AD，

∴△ACD≌△AED（SAS）。

∴CD=ED，∠AED=∠C=90°。

∴∠BED=90°。

∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°。

在Rt△BED中，∠B=45°，∴∠BDE=45°。

∴BE=DE（等角对等边）。

∴BE=CD。

∴AB=AE+BE=AC+CD。

零基础操作引导：

第一步，在AB上量取AE=AC。

第二步，连接DE。

第三步，证明△ACD≌△AED（SAS）。

第四步，利用全等得到CD=ED。

第五步，在Rt△BED中计算BE=DE。

第六步，将AB拆分为AE+BE，逐步替换得到结论。

避坑提醒：角平分线的辅助线做法有四种，具体选哪种取决于题目要证明什么。证明距离相等→作垂线；证明线段和

差→截取；证明角相等→翻折；证明等腰→作平行线。

第四章全等构造模型（模型8-12）

模型8：全等构造模型（综合）

一、特征识别

题目中需要证明两个三角形全等，但缺少一组对应边或对应角的条件。

识别关键词：求证全等、缺少条件、SSS、SAS、ASA、AAS、HL。

二、辅助线做法

根据缺失的条件类型，选择相应的构造方法：

缺边→通过倍长或截取补边

缺角→通过平行或垂直补角

三、核心结论

全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是证明线段相等和角相等的核心工具。

四、完整例题

已知：AB=CD，AD=BC。求证：∠A=∠C。

辅助线：连接BD。

证明过程：

在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=BC，BD=DB，

∴△ABD≌△CDB（SSS）。

∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）。

零基础操作引导：

第一步，观察图形中的两组等边。

第二步，连接BD（对角线）。

第三步，用SSS证明全等。

第四步，利用全等三角形的对应角相等得出结论。

模型9：倍长中线模型

一、特征识别

题目中出现"中线""中点"或"D是BC中点"的表述。当题目中出现中线条件，而原题无从直接证明时，尝试将中线延长一

倍。

识别关键词：中线、中点、倍长。

二、辅助线做法

延长中线至原长的两倍，连接端点，构造中心对称的两个三角形。

具体操作：延长AD到E，使DE=AD，连接BE（或CE）。

三、核心结论

倍长后形成两个成中心对称的全等三角形，从而转化条件。△ADC≌△EDB（SAS）。

四、完整例题

已知：AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3。求AD的取值范围。

辅助线：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

证明过程：

∵AD是中线，∴BD=CD。

又∵∠ADC=∠EDB（对顶角），AD=ED（作图），

∴△ADC≌△EDB（SAS）。

∴BE=AC=3。

在△ABE中，AB−BE<AE<AB+BE，

即5−3<2AD<5+3，2<2AD<8，

∴1<AD<4。

零基础操作引导：

第一步，延长AD到E，用尺子量出DE=AD。

第二步，连接BE。

第三步，证明△ADC≌△EDB（SAS）。

第四步，得到BE=AC=3。

第五步，在△ABE中用三角形三边关系。

第六步，代入数值计算AD的范围。

避坑提醒：倍长方向要与原中线方向相反——是从D点出发，向远离A的方向延长。倍长后连接的是原三角形的另一个

顶点（B或C），不是随便连。

模型10：截长补短模型

一、特征识别

题目要求证"一条线段等于另外两条线段之和（或差）"，即形如AB=AC+CD的结论。

识别关键词：线段和差、AB=AC+CD、求证和差关系。

二、辅助线做法

截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一短线段。

补短：延长短线段至等于长线段，证明延长部分等于另一短线段。

三、核心结论

将线段的和差关系转化为等量关系，通过全等三角形完成证明。

四、完整例题

已知：在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，交BC于D。求证：AB+BD=AC。

辅助线（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。

证明过程：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。

在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，

∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD=ED，∠AED=∠B。

∵∠AED=∠C+∠EDC（外角），∠AED=∠B=2∠C，

∴2∠C=∠C+∠EDC，∴∠EDC=∠C。

∴ED=EC（等角对等边），∴BD=EC。

∴AC=AE+EC=AB+BD。

零基础操作引导：

第一步，在AC上量取AE=AB。

第二步，连接DE。

第三步，证明△ABD≌△AED（SAS）。

第四步，利用全等得到BD=ED和∠AED=∠B。

第五步，用外角定理建立∠AED与∠C的关系。

第六步，得出ED=EC，从而BD=EC。

第七步，将AC拆分为AE+EC，替换得到结论。

避坑提醒：截长时，截取点必须在长线段上，且截取长度等于已知短线段。截取后需要连接辅助线构造全等，不能截

完就不管了。必须先证全等，再用全等的结论推导后续关系。

模型11：中线+截长补短配合模型

一、特征识别

题目中同时出现中点和线段和差关系。

二、辅助线做法

先用中线倍长构造全等，将分散的线段集中到一个三角形中，再用截长补短处理剩余的和差关系。

三、核心结论

两个模型配合使用，可以解决更复杂的线段关系问题。

模型12：手拉手模型

一、特征识别

两个等腰三角形共用一个顶点，且顶角相等。常见于"等边三角形ABC和等边三角形ADE共顶点A"或"等腰Rt△OAB和等

腰Rt△OCD"的表述。

识别关键词：共顶点、等腰三角形、等边三角形、顶角相等。

二、辅助线做法

连接对应顶点（不是公共顶点），构造旋转型全等三角形。

三、核心结论

共顶点、顶角相等的两个等腰三角形，始终存在一对全等三角形。无论两个三角形相对旋转到哪个位置，这一对全等

关系保持不变。

四、完整例题

已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，共顶点A。求证：BD=CE。

证明过程：

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°。

∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°。

∴∠BAC=∠DAE=60°。

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。

在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）。

∴BD=CE。

零基础操作引导：

第一步，找出两个等腰三角形共用的顶点A。

第二步，标出两组等边（AB=AC，AD=AE）。

第三步，证明夹角相等（∠BAD=∠CAE）。

第四步，用SAS证明全等。

第五步，得出BD=CE。

变式拓展：等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD共顶点O，同样可证AC=BD。手拉手模型的核心是"旋转"，两个等腰三角形

可以看成是绕公共顶点旋转。

避坑提醒：手拉手模型的关键是"共顶点+顶角相等+两组等边"。识别时先找公共顶点，再找两组等边。

第五章旋转与对称模型（模型13-16）

模型13：旋转模型（含半角模型的旋转构造）

一、特征识别

题目中有等长线段共端点，或需要将分散的线段集中到一个三角形中。

识别关键词：旋转、等长线段共端点、分散条件集中。

二、辅助线做法

将某个三角形绕公共端点旋转一定角度，使分散的线段拼接在一起。

三、核心结论

旋转不改变线段长度和角度大小，旋转后的图形与原图形全等。

四、完整例题

已知：正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。

辅助线：将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG。

证明过程：

∵△ABE绕A旋转90°得到△ADG，

∴△ABE≌△ADG。

∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG。

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=45°。

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=45°。

∴∠EAF=∠GAF。

在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SAS）。

∴EF=GF=GD+DF=BE+DF。

零基础操作引导：

第一步，将△ABE绕点A旋转90°，让AB与AD重合。

第二步，标出旋转后B的对应点G。

第三步，利用旋转得到BE=DG。

第四步，证明∠GAF=∠EAF=45°。

第五步，用SAS证明△AEF≌△AGF。

第六步，得出EF=GF=BE+DF。

避坑提醒：旋转时要注意旋转中心和旋转方向。正方形中通常绕顶点旋转90°，使一条边与另一条边重合。

模型14：一线三等角模型

一、特征识别

一条直线上有三个相等的角（通常是直角或60°角），且其中两个角所在的三角形有等边。常见于"∠A=∠D=∠BCE=

90°"或"∠B=∠ADE=∠C"的表述。

识别关键词：一条直线上三个相等的角、K字模型、一线三垂直。

二、辅助线做法

通常不需要添加辅助线，直接利用角度关系和等边条件证明全等或相似。

三、核心结论

若A、C、D三点共线，且∠A=∠D=∠BCE，则△ABC∽△DCE（或全等，取决于边长条件）。

证明思路：

∵∠BCE=∠A，∴∠BCA+∠DCE=180°−∠BCE=180°−∠A。

∵在△ABC中，∠BCA+∠B=180°−∠A，

∴∠DCE=∠B。

同理∠E=∠BCA。

∴△ABC∽△DCE。

四、完整例题

已知：∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E。求证：△ABC≌△DAE。

证明过程：

∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠ACB=∠AED=90°。

∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°。

在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°。

∴∠ABC=∠DAE。

在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠DAE，AB=AD，

∴△ABC≌△DAE（AAS）。

∴AC=DE，BC=AE。

零基础操作引导：

第一步，找出直线上的三个等角。

第二步，利用角度关系证明一组对应角相等（∠ABC=∠DAE）。

第三步，结合已有的等边条件（AB=AD）。

第四步，用AAS证明全等（或相似）。

避坑提醒：一线三等角模型有两种——全等型和相似型。全等型需要有等边条件，相似型不需要。识别时先判断题目

要证全等还是相似。

模型15：将军饮马模型

一、特征识别

题目要求求线段和的最小值，且涉及一条定直线和直线同侧的两个定点。

识别关键词：最小值、最短路径、线段和最小、直线同侧两点。

二、辅助线做法

作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与定直线的交点即为最值点。

三、核心结论

两点之间线段最短。通过轴对称将异侧点转化为同侧点，化折为直。

四、完整例题

已知：直线l同侧有A、B两点，在l上求一点P，使PA+PB最小。

辅助线：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于点P。

证明过程：

∵A和A'关于l对称，∴PA=PA'。

∴PA+PB=PA'+PB。

当A'、P、B三点共线时，PA'+PB最小，等于A'B。

∴P点即为所求。

零基础操作引导：

第一步，作A关于直线l的对称点A'。

第二步，连接A'B。

第三步，A'B与l的交点标记为P。

第四步，连接PA。

第五步，验证PA+PB=A'B（最小值）。

变式拓展：如果要求MP+PQ+QN的最小值（多个动点），需要作多次对称。作M关于OB的对称点M'，作N关于OA

的对称点N'，连接M'N'即为最小值。

避坑提醒：将军饮马模型的关键是"作对称点，化折为直"。注意对称点的作法——过定点作直线的垂线，延长等长距

离取对称点。

模型16：折叠模型

一、特征识别

题目中出现"折叠""翻折"或"将△XXX沿XX翻折"的表述。

识别关键词：折叠、翻折、轴对称。

二、辅助线做法

折叠本质是轴对称，画出折叠后的对应点，连接对应点。

三、核心结论

折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。

四、完整例题

已知：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处。求DE的长度。

分析：折叠后△ABC≌△AEC，所以AE=AB=6，CE=CB=8。连接DE，在△ADE中求DE。

解：

由折叠可知，△ABC≌△AEC。

∴AE=AB=6，CE=CB=8。

在矩形ABCD中，AD=BC=8，CD=AB=6。

在△ADE中，过E作EF⊥AD于F。

设AF=x，则DF=8−x。

在Rt△AEF中，EF²=AE²−AF²=36−x²。

在Rt△DEF中，EF²=DE²−DF²。

又∵CE=8，CD=6，在△CDE中，

由CE=8，CD=6，∠CDE=90°（需验证），

∴DE²=CE²−CD²=64−36=28。

∴DE=2√7。

零基础操作引导：

第一步，画出折叠后的图形，标出对应点E。

第二步，利用折叠全等写出等边（AE=AB=6，CE=CB=8）。

第三步，确定△CDE是直角三角形。

第四步，用勾股定理计算DE。

避坑提醒：折叠问题中，注意折叠后哪些线段和角保持不变。对应边相等、对应角相等是最基本的结论。另外，折痕

是垂直平分线这一性质在求线段长度时经常用到。

第六章特殊图形模型（模型17-20）

模型17：勾股定理模型

一、特征识别

题目中出现直角三角形、垂直关系或求线段长度的问题。

识别关键词：直角三角形、垂直、求线段长度、勾股。

二、辅助线做法

构造直角三角形，将待求线段放入直角三角形中，用勾股定理求解。

三、核心结论

直角三角形中，a²+b²=c²（c为斜边）。

四、完整例题

已知：在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15。求BC边上的高。

辅助线：过A作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=14−x。

解：

在Rt△ABD中，AD²=AB²−BD²=169−x²。

在Rt△ACD中，AD²=AC²−CD²=225−(14−x)²。

∴169−x²=225−(14−x)²。

169−x²=225−(196−28x+x²)

169−x²=225−196+28x−x²

169=29+28x

28x=140

x=5

∴AD=√(169−25)=√144=12。

零基础操作引导：

第一步，作高AD⊥BC。

第二步，设BD=x，表示CD。

第三步，在两个直角三角形中分别用勾股定理表示AD²。

第四步，令两个表达式相等，解方程求x。

第五步，回代求AD。

避坑提醒：作高时要注意高的位置——可能在三角形内部（锐角三角形），也可能在外部（钝角三角形）。设未知数

时通常设较短的一段为x。

模型18：中垂线模型

一、特征识别

题目中出现"垂直平分线"或"到两端点距离相等"的表述。

识别关键词：垂直平分线、中垂线、到两端点距离相等。

二、辅助线做法

连接垂直平分线上的点与线段的两个端点。

三、核心结论

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

证明过程：

已知：MN是线段AB的垂直平分线，P在MN上。

求证：PA=PB。

∵MN垂直平分AB，∴AO=BO，∠AOP=∠BOP=90°。

在△AOP和△BOP中，AO=BO，∠AOP=∠BOP，OP=OP，

∴△AOP≌△BOP（SAS）。∴PA=PB。

四、完整例题

已知：在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AD=5，BC=12。求△ACD的周长。

解：

∵D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD=5。

∴CD=BC−BD=12−5=7。

△ACD的周长=AD+CD+AC=5+7+AC=12+AC。

若AC已知，代入即可。

零基础操作引导：

第一步，标出垂直平分线上的点D。

第二步，利用性质得到AD=BD。

第三步，将BC拆分为BD+CD。

第四步，代入数值计算周长。

避坑提醒：中垂线模型的关键是"到两端点距离相等"。看到"垂直平分线"就要想到这个性质，看到"到两点距离相等"就

要想到点在垂直平分线上。

模型19：中点四边形模型

一、特征识别

题目中出现四边形各边的中点，连接这些中点形成新的四边形。

识别关键词：各边中点、顺次连接、中点四边形。

二、辅助线做法

连接原四边形的对角线。

三、核心结论

原四边形条件中点四边形形状

任意四边形平行四边形

对角线相等菱形

对角线互相垂直矩形

对角线相等且互相垂直正方形

证明过程（任意四边形的中点四边形是平行四边形）：

在△ABC中，E是AB中点，F是BC中点，

∴EF∥AC且EF=½AC（三角形中位线定理）。

在△ADC中，H是AD中点，G是CD中点，

∴HG∥AC且HG=½AC。

∴EF∥HG且EF=HG。

∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等）。

零基础操作引导：

第一步，连接对角线AC（和BD）。

第二步，在△ABC中用中位线定理得到EF∥AC。

第三步，在△ADC中用中位线定理得到HG∥AC。

第四步，得出EF∥HG且EF=HG。

第五步，根据"一组对边平行且相等"判定平行四边形。

变式判断：

若AC=BD→EF=FG→菱形

若AC⊥BD→EF⊥FG→矩形

若AC=BD且AC⊥BD→正方形

避坑提醒：中点四边形的形状取决于原四边形的对角线关系，不是原四边形的形状。判断时先找对角线的相等和垂直

关系。

模型20："十字"模型与半角模型

一、特征识别（"十字"模型）

正方形或矩形中，两条线段互相垂直。常见于"正方形ABCD中，AE⊥BF"的表述。

识别关键词：正方形、垂直、十字形。

二、辅助线做法（"十字"模型）

过线段端点作平行线或垂线，构造全等三角形。

三、核心结论（"十字"模型）

正方形中，互相垂直的两条线段相等。

四、完整例题（"十字"模型）

已知：正方形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥EF，EF交CD于F。求证：AE=EF。

辅助线：过E作EG⊥CD于G，过E作EH⊥AB于H。

证明过程：

∵EG⊥CD，AB∥CD，∴EG∥AB。

∴∠AEG=∠BAE（两直线平行，内错角相等）。

∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°。

∵EG⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EGCH是矩形。

∴EG=HC，EH=BC=AB。

在△AHE和△EGF中，∠AHE=∠EGF=90°，∠HEA=∠GEF（同角的余角相等），

∴△AHE≌△EGF（ASA）。

∴AE=EF。

五、半角模型

特征识别：题目中有一个角等于另一个角的一半，且这两个角共顶点。常见于正方形中∠EAF=45°（等于∠BAD=90°

的一半）。

辅助线做法：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使旋转后的边与原图形重合。

核心结论：半角模型中，被半角分割的两条线段之和等于第三条线段。例如正方形中，EF=BE+DF。

完整例题：

已知：在正方形ABCD中，∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上。判断EF、BE、DF的数量关系。

分析：∠EAF=45°是∠BAD=90°的一半，符合半角模型特征。结论为EF=BE+DF。

证明过程：

将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG。

∵△ABE≌△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG。

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°。

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=45°。

∴∠EAF=∠GAF。

在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF（SAS）。

∴EF=GF=GD+DF=BE+DF。

零基础操作引导：

第一步，识别半角关系（∠EAF=45°，∠BAD=90°）。

第二步，将△ABE绕点A旋转90°，使AB与AD重合。

第三步，证明旋转后的三角形与△ADF共线（G、D、F共线）。

第四