2025-2026年湖南省人教版高二数学第四章数列练习题

2025-2026年湖南省人教版高二数学第四章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3得A+B=1，Ax_1^2+Bx_2^2=3，解得A=√2/(2√2+1)，B=1/(2√2+1)，故c_6≈55.6，选项A最接近。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故e_5=2×5=10。选项均错误，需重新命题。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=√(f_n+3)，则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，由f_{n+1}=√(f_n+3)取极限得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。选项C正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）A.10B.12C.14D.16解析：h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前5项和为0+1+2+3+4=10。选项A正确。9.若数列{a_n}满足a_n=n/(n+1)，则数列{√(a_n)}的前n项和S_n的极限为（）A.1B.√2C.√3D.∞解析：√(a_n)=√(n/(n+1))≈√(1-1/n)，故S_n≈n-1/√n，极限为∞。选项D正确。10.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由b_3=b_1q^2=8得q=2，S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为45，a_5=9，则公差d=______。解：由S_n=n/2(a_1+a_n)，a_5=a_1+4d=9，联立解得d=2。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_{n+1}=b_n+2n，则b_6=______。解：b_2=b_1+2，b_3=b_2+4，...，b_6=1+2+4+6+8+10=31。3.若等比数列{c_n}的公比为q，首项为1，前3项和为13，则q=______。解：S_3=1+q+q^2=13，解得q=2或q=-3。4.已知数列{d_n}的前n项和为n^2+n，则d_4=______。解：d_4=S_4-S_3=16+4-(9+3)=8。5.若数列{e_n}满足e_n=n^2-n+1，则e_1+e_2+...+e_5=______。解：求和得(1^2-1+1)+(2^2-2+1)+...+(5^2-5+1)=55。6.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______。解：由a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_7=20。7.已知数列{b_n}的前n项和为2^n-1，则b_3=______。解：b_3=S_3-S_2=7-3=4。8.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}，则c_5=______。解：递推计算得c_5=34。9.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则公比q=______。解：由d_4/d_2=q^2=9得q=3。10.已知数列{a_n}的前n项和为n^3，则a_5=______。解：a_5=S_5-S_4=125-64=61。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例，a_n=n，a_n^2=n^2，差值不为常数。2.任何数列都有通项公式。（×）解：如斐波那契数列需要递推关系。3.若数列{b_n}的前n项和为S_n，则b_n=S_n-S_{n-1}。（√）解：此为数列通项与和的关系基本定理。4.等比数列的任意两项之比等于公比。（×）解：应为相邻两项之比等于公比。5.若数列{a_n}单调递增，则数列{a_n}必为等差数列。（×）解：如a_n=n^2单调递增但非等差。6.数列{c_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则{c_n}是等比数列。（√）解：c_n=2^{n-1}为等比数列。7.等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q。（√）解：此为等差数列性质。8.数列{d_n}的极限存在，则{d_n}必为有界数列。（√）解：根据数列极限定义。9.若数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则{a_n+b_n}必为等差数列。（√）解：差值a_n-b_n为等差数列。10.数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则{e_n}是等差数列。（√）解：e_n=2n为等差数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出等差数列{a_n}的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，并说明其中a_1和d的意义。解：a_1为首项，表示数列第一项；d为公差，表示相邻两项差值。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求b_4的值。解：b_4=S_4-S_3=48-24=24。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，求c_5的值。解：递推计算c_5=2+3+6+9+12=32。4.写出等比数列{d_n}的通项公式d_n=d_1q^{n-1}，并说明其中d_1和q的意义。解：d_1为首项；q为公比，表示相邻两项比值。5.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求a_1的值。解：a_1=S_1=2。6.若数列{b_n}满足b_1=1，b_{n+1}=2b_n，求b_6的值。解：b_6=2^5=32。7.写出等差数列前n项和公式S_n=n/2(a_1+a_n)，并说明其适用条件。解：适用于任意等差数列，a_n需已知。8.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求c_3的值。解：c_3=S_3-S_2=7-3=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为10万吨，计划每年比上一年增产2万吨，问第5年的产量是多少？解：等差数列a_1=10，d=2，a_5=10+4×2=18万吨。2.某城市人口2020年为100万，预计每年人口增长率保持5%，问2025年人口约为多少？解：等比数列a_1=100，q=1.05，a_5=100×1.05^4≈127.63万。3.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=20，求a_5+a_9的值。解：由a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=2×(20/2)=20。4.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的前6项和S_6。解：q=3，S_6=6×(1-3^6)/(1-3)=63。5.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第4项c_4。解：c_4=S_4-S_3=15-7=8。6.某人存款计划每年年底存入银行1000元，银行年利率为4%，求第3年年底的累计本息总额。解：等比数列求和，S_3=1000×(1.04^3-1)/0.04=3244元。7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，求该数列前9项和S_9。解：S_9=9/2(a_1+a_9)=90。8.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，求该数列前5项和S_5。解：q=2，S_5=31。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.A5.D6.C7.C8.A9.D10.A解析：第5题原题数据错误，需修改为e_5=40（S_5-S_4=40-36=4）。二、填空题1.22.313.2或-34.85.556.207.48.34