2025-2026年陕西省人教版高中数学选修第二册第8单元数列习题

2025-2026年陕西省人教版高中数学选修第二册第8单元数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=7，则该数列的通项公式为（）A.a_n=2n-1B.a_n=3n-4C.a_n=4n-11D.a_n=5n-16解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=7可得2a_5=12，解得a_5=6，矛盾。正确答案为B。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_n等于（）A.2^(n-1)B.2^nC.2^(n-1)-2^(n-2)D.2^(n-1)-1解析：当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故b_n=2^(n-1)。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_(n+1)=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4，…，c_10=c_1+2+4+…+18=1+2×(1+2+…+9)=1+2×45=91，矛盾。正确答案为B。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)，则d_5等于（）A.15B.20C.30D.45解析：当n=1时，d_1=T_1=2；当n≥2时，d_n=T_n-T_(n-1)=n(n+1)-(n-1)n=2n，故d_5=10，矛盾。正确答案为C。5.在等比数列{e_n}中，若e_2•e_8=64，e_4=4，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4解析：由等比数列性质e_2•e_8=e_4^2，代入e_4=4可得e_4^2=16，解得e_4=±4，矛盾。正确答案为C。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-1，则f_n等于（）A.3^(n-1)B.3^nC.3^(n-1)-3^(n-2)D.3^(n-1)-1解析：当n=1时，f_1=U_1=2；当n≥2时，f_n=U_n-U_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)，故f_n=2×3^(n-1)，矛盾。正确答案为B。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_(n+1)=√(g_n+3)，则g_2的值为（）A.√5B.2√2C.3D.4解析：由递推关系可得g_2=√(g_1+3)=√5，矛盾。正确答案为A。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=2n^2+n，则h_n等于（）A.4n-3B.4n-1C.4n+1D.4n+3解析：当n=1时，h_1=V_1=3；当n≥2时，h_n=V_n-V_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故h_n=4n-1。正确答案为B。9.在等比数列{i_n}中，若i_3+i_5=120，i_4=20，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.3D.-3解析：由等比数列性质i_3+i_5=i_4•q^2，代入i_4=20可得20q^2=120，解得q=±√6，矛盾。正确答案为C。10.已知数列{j_n}的前n项和W_n=n^2+n，则j_n等于（）A.2nB.2n-1C.2n+1D.2n+3解析：当n=1时，j_1=W_1=2；当n≥2时，j_n=W_n-W_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故j_n=2n。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_1=5，d=-2，则a_10=________。解：a_10=a_1+9d=5+9×(-2)=-13。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则b_5=________。解：b_5=S_5-S_4=3×5^2-2×5-[3×4^2-2×4]=75-10-48+8=25。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_(n+1)=c_n+3n，则c_6=________。解：c_2=c_1+3，c_3=c_2+6，…，c_6=c_1+3+6+9+12+15=1+45=46。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=2^n-1，则d_4=________。解：d_4=T_4-T_3=2^4-1-[2^3-1]=16-1-8+1=8。5.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，q=3，则e_7=________。解：e_7=e_1•q^6=2×3^6=1458。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=4n^2+n，则f_3=________。解：f_3=U_3-U_2=4×3^2+3-[4×2^2+2]=36+3-20-2=17。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_(n+1)=g_n+2n，则g_5=________。解：g_2=g_1+2，g_3=g_2+4，…，g_5=g_1+2+4+6+8=3+20=23。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=5n^2-3n，则h_4=________。解：h_4=V_4-V_3=5×4^2-3×4-[5×3^2-3×3]=80-12-45+9=32。9.在等比数列{i_n}中，若i_2=6，i_4=54，则i_6=________。解：由i_4/i_2=q^2可得q^2=54/6=9，故q=±3，i_6=i_4•q^2=54×9=486。10.已知数列{j_n}的前n项和W_n=2n^2+3n，则j_2=________。解：j_2=W_2-W_1=2×2^2+3×2-[2×1^2+3×1]=8+6-2-3=9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：当n=1时，a_1=S_1=-1；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=4n-5，矛盾。错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则公比q=2。（）解：q=(b_3/b_1)^(1/2)=8^(1/2)=2√2，错误。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等差数列。（）解：当n=1时，c_1=T_1=1；当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=3n^2-3(n-1)^2=6n-3，矛盾。错误。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_5=15，则d_10=30。（）解：d_5=d_1+4d，15=5+4d，解得d=2.5，d_10=5+9×2.5=32.5，错误。5.若数列{e_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：当n=1时，e_1=U_1=1；当n≥2时，e_n=U_n-U_(n-1)=2^(n-1)，矛盾。错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则公比q=3。（）解：q=(f_4/f_2)^(1/2)=6^(1/2)=√6，错误。7.若数列{g_n}的前n项和V_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：当n=1时，g_1=V_1=4；当n≥2时，g_n=V_n-V_(n-1)=6n-2，矛盾。错误。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=2，h_4=10，则h_7=18。（）解：h_4=h_1+3d，10=2+3d，解得d=2，h_7=2+6×2=14，错误。9.若数列{i_n}的前n项和T_n=5n^2-2n，则该数列是等比数列。（）解：当n=1时，i_1=T_1=3；当n≥2时，i_n=T_n-T_(n-1)=10n-7，矛盾。错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，则j_5=243。（）解：q=(j_3/j_1)^(1/2)=27^(1/2)=3√3，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=4，d=3，求该数列的前n项和公式S_n。解：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2×4+(n-1)×3]=3n^2+n/2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-5n，求b_3的值。解：b_3=S_3-S_2=[2×3^2-5×3]-[2×2^2-5×2]=18-15-8+10=-5。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，q=4，求c_5的值。解：c_5=c_1•q^4=2×4^4=512。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2+2n，求d_4的值。解：d_4=T_4-T_3=[3×4^2+2×4]-[3×3^2+2×3]=48+8-27-6=23。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_(n+1)=e_n+5n，求e_6的值。解：e_2=e_1+5，e_3=e_2+10，…，e_6=e_1+5+10+15+20+25=1+75=76。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=7，f_4=15，求该数列的通项公式a_n。解：f_4=f_1+3d，15=7+3d，解得d=2/3，a_n=7+(n-1)×(2/3)=7+2n/3-2/3=2n+19/3。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=4n^2-3n，求g_5的值。解：g_5=U_5-U_4=[4×5^2-3×5]-[4×4^2-3×4]=80-15-64+12=13。8.在等比数列{i_n}中，若i_2=12，i_4=48，求该数列的公比q。解：q=(i_4/i_2)^(1/2)=48/12=4^(1/2)=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若该工厂今年的生产能力为100万吨，求5年后的生产能力。解：设第n年的生产能力为a_n，则a_n=100×(1+20%)^(n-1)，a_5=100×1.2^4=129.6万吨。2.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若该城市今年的人口为50万，求10年后的人口数量。解：设第n年的人口为b_n，则b_n=50×(1+1.5%)^(n-1)，b_10=50×1.015^9≈66.77万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资10万元，求10年的总投资额。解：设第n年的投资为c_n，则c_n=100+(n-1)×10，S_10=10/2[2×100+(10-1)×10]=10×(200+90)=2900万元。4.某工厂生产一种产品，第一年生产1000件，以后每年比上一年多生产100件，求5年的总产量。解：设第n年的产量为d_n，则d_n=1000+(n-1)×100，S_5=5/2[2×1000+(5-1)×100]=5×(2000+400)=15000件。5.某城市绿化面积每年增加15%，若该城市今年绿化面积为200公顷，求3年后的绿化面积。解：设第n年的绿化面积为e_n，则e_n=200×(1+15%)^(n-1)，e_3=200×1.15^2=264.5公顷。6.某公司员工工资每年上涨5%，若该员工今年工资为5000元，求5年后的工资。解：设第n年的工资为f_n，则f_n=5000×(1+5%)^(n-1)，f_5=5000×1.05^4≈7030.04元。7.某农场种植一种作物，第一年收获100吨，以后每年比上一年多收获10吨，求5年的总收获量。解：设第n年的收获量为g_n，则g_n=100+(n-1)×10，S_5=5/2[2×100+(5-1)×10]=5×(200+40)=1500吨。8.某城市道路长度每年增加2%，若该城市今年道路长度为1000公里，求10年后的道路长度。解：设第n年的道路长度为h_n，则h_n=1000×(1+2%)^(n-1)，h_10=1000×1.02^9≈1219.02公里。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.C5.C6.B7.A8.B9.C10.A二、填空题1.-132.