2025-2026年江苏省人教版高中数学高二年级第7单元函数图像与性质同步练习题

2025-2026年江苏省人教版高中数学高二年级第7单元函数图像与性质同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，下列关于其图像的说法正确的是（）A．图像关于直线x=π/6对称B．图像关于点(π/3,0)中心对称C．图像向左平移π/3个单位后与y=x对称D．图像向右平移π/3个单位后与y=sin(x)相同解析：f(x)=sin(x+π/3)的图像是y=sin(x)向左平移π/3个单位得到的。选项A错误，y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，平移后对称轴为x=kπ+π/2-π/3；选项B正确，y=sin(x)的对称中心为(π/2+kπ,0)，平移后为(π/6+kπ,0)；选项C错误，平移π/3个单位后得到y=sin(x+2π/3)，与y=x不构成对称关系；选项D错误，平移π/3个单位后得到y=sin(x+π/3)，与y=sin(x)相位差为π/3。正确答案为B。2.函数g(x)=|cos(2x-π/4)|的图像与x轴的交点个数为（）A．4B．6C．8D．10解析：令g(x)=0，即|cos(2x-π/4)|=0，解得2x-π/4=kπ+π/2，即x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。在[0,2π]区间内，k取0,1,2,3,4，得到5个交点，周期为π，所以g(x)在[0,4π]区间内共有10个交点。正确答案为C。3.函数h(x)=2cos^2(x)-1在[0,π]区间内的单调递减区间为（）A．[0,π/4]B．[π/4,3π/4]C．[3π/4,π]D．[π/2,π]解析：h(x)=2cos^2(x)-1=cos(2x)，在[0,π]区间内，2x∈[0,2π]，cos(2x)单调递减的区间为[π/2,3π/2]，即x∈[π/4,3π/4]。正确答案为B。4.函数f(x)=3sin(2x+π/3)-1的振幅、周期、初相位分别为（）A．3，π，π/3B．2，2π，π/3C．3，π，-π/3D．2，π，-π/3解析：振幅为|3|=3，周期为2π/2=π，初相位为π/3。正确答案为A。5.函数y=1/(1-2cos(x))在[0,2π]区间内的值域为（）A．[-1,1]B．(-∞,1)∪(1,+∞)C．[1,+∞)D．(-∞,1)∪(1,2]解析：cos(x)∈[-1,1]，1-2cos(x)∈[-3,1]，当1-2cos(x)=0时函数无定义，值域为(-∞,1)∪(1,2]。正确答案为D。6.函数f(x)=sin(x)+√3cos(x)的最小正周期为（）A．2πB．πC．2π/3D．3π解析：f(x)=2sin(x+π/3)，周期为2π。正确答案为A。7.函数y=cos(x)sin(x)在[0,π/2]区间内的最大值为（）A．1/2B．√3/2C．1D．√2/2解析：y=sin(2x)/2，在[0,π/2]区间内，2x∈[0,π]，sin(2x)最大值为1，所以y最大值为1/2。正确答案为A。8.函数f(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。正确答案为C。9.函数y=2sin(x)-cos(2x)的最小正周期为（）A．2πB．πC．4πD．π/2解析：y=2sin(x)-2cos^2(x)+1=2sin(x)-1，周期为2π。正确答案为A。10.函数f(x)=sin(x)cos(x)-sin^2(x)的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．π/2解析：f(x)=sin(2x)/2-sin^2(x)/2=1/4sin(2x)-1/4cos(2x)-1/4，周期为2π。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=cos(2x-π/3)的图像向右平移π/6个单位后，得到的函数解析式为________。参考答案：cos(2x-π/2)解析：平移π/6个单位后，得到f(x)=cos[2(x-π/6)-π/3]=cos(2x-π/2)。2.函数y=2sin(3x+π/4)的振幅为________，单调递增区间为________。参考答案：2，[kπ-5π/12,kπ+π/12](k∈Z)解析：振幅为2，周期为2π/3，令-π/2≤3x+π/4≤π/2，解得x∈[-5π/12,π/12]，单调递增区间为[kπ-5π/12,kπ+π/12](k∈Z)。3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。4.函数y=1/(1+sin(x))的值域为________。参考答案：[1/2,2]解析：sin(x)∈[-1,1]，1+sin(x)∈[0,2]，值域为[1/2,2]。5.函数f(x)=cos^2(x)-sin^2(x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)=cos(2x)，周期为π。6.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)=5sin(2x-φ)，周期为π。7.函数f(x)=|sin(x)|-|cos(x)|的最小正周期为________。参考答案：π/2解析：f(x)=√2sin(x-π/4)，周期为π/2。8.函数y=2cos(x)-√3sin(x)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=2sin(x+π/3)，周期为2π。9.函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π]区间内的最大值为________。参考答案：1/2解析：f(x)=sin(2x)/2，最大值为1/2。10.函数y=1/(1-2cos(x))在[0,2π]区间内的最大值为________。参考答案：1解析：cos(x)∈[-1,1]，1-2cos(x)∈[-3,1)，当cos(x)=-1时，函数值最大为1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称。（×）解析：f(π/4)=√2≠0，图像不关于x=π/4对称。2.函数y=cos(2x)在[0,π/2]区间内单调递减。（√）解析：令2x∈[0,π]，cos(2x)单调递减。3.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期为π。（√）解析：f(x)=sin(2x)/2，周期为π。4.函数y=1/(1+sin(x))是奇函数。（×）解析：f(-x)=1/(1+sin(-x))=-f(x)，是奇函数。5.函数f(x)=cos^2(x)-sin^2(x)的图像与y轴对称。（√）解析：f(x)=cos(2x)，是偶函数，图像与y轴对称。6.函数y=2sin(x)-cos(2x)的最小正周期为π。（×）解析：f(x)=2sin(x)-2cos^2(x)+1=2sin(x)-1，周期为2π。7.函数f(x)=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为π/2。（√）解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为π/2。8.函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期为2π。（√）解析：f(x)=5sin(2x-φ)，周期为2π。9.函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π/2]区间内单调递增。（√）解析：f(x)=sin(2x)/2，在[0,π/4]单调递增。10.函数y=1/(1-2cos(x))在[0,2π]区间内无最大值。（×）解析：当cos(x)=-1时，函数值最大为1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=sin(2x+π/3)-1的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=sin(2x+π/3)-1，周期为2π/2=π。2.求函数y=2cos(x)-√3sin(x)的最小正周期。参考答案：2π解析：f(x)=2sin(x+π/3)，周期为2π。3.求函数f(x)=sin(x)cos(x)在[0,π/2]区间内的最大值。参考答案：1/2解析：f(x)=sin(2x)/2，最大值为1/2。4.求函数y=1/(1+sin(x))的值域。参考答案：[1/2,2]解析：sin(x)∈[-1,1]，1+sin(x)∈[0,2]，值域为[1/2,2]。5.求函数f(x)=cos^2(x)-sin^2(x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=cos(2x)，周期为π。6.求函数y=3sin(2x)-4cos(2x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=5sin(2x-φ)，周期为π。7.求函数f(x)=|sin(x)|-|cos(x)|的最小正周期。参考答案：π/2解析：f(x)=√2sin(x-π/4)，周期为π/2。8.求函数y=2sin(x)-cos(2x)的最小正周期。参考答案：2π解析：f(x)=2sin(x)-2cos^2(x)+1=2sin(x)-1，周期为2π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f(π/4)=√2/2，f(π/2)=1，求ω和φ的值。参考答案：ω=2，φ=π/4解析：f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=√2/2，f(π/2)=sin(ωπ/2+φ)=1，解得ω=2，φ=π/4。2.已知函数g(x)=cos(2x-π/3)，求其单调递增区间。参考答案：[kπ-π/12,kπ+5π/12](k∈Z)解析：令-π≤2x-π/3≤π，解得x∈[kπ-π/12,kπ+5π/12]。3.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求其最小正周期及最大值。参考答案：2π，√2解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π，最大值为√2。4.已知函数f(x)=|sin(x)|+|cos(x)|，求其最小正周期及值域。参考答案：π/2，[1,√2]解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为π/2，值域为[1,√2]。5.已知函数g(x)=cos^2(x)-sin^2(x)，求其最小正周期及图像对称轴方程。参考答案：π，x=kπ/2(k∈Z)解析：f(x)=cos(2x)，周期为π，对称轴为x=kπ/2。6.已知函数h(x)=3sin(2x)-4cos(2x)，求其最小正周期及最大值。参考答案：π，5解析：f(x)=5sin(2x-φ)，周期为π，最大值为5。7.已知函数f(x)=sin(x)cos(x)，求其最小正周期及单调递增区间。参考答案：π，[kπ-π/4,kπ+π/4](k∈Z)解析：f(x)=sin(2x)/2，周期为π，单调递增区间为[kπ-π/4,kπ+π/4]。8.已知函数g(x)=1/(1-2cos(x))，求其值域及无定义点。参考答案：(-∞,1)∪(1,2]，无定义点为x=2kπ(k∈Z)解析：cos(x)∈[-1,1]，1-2cos(x)∈[-3,1)，无定义点为cos(x)=1/2，即x=2kπ(k∈Z)，值域为(-∞,1)∪(1,2]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.D6.A7.A8.C9.A10.B二、填空题1.cos(2x-π/2)2.2，[kπ-5π/12,kπ+π/12](k∈Z)3.2π2.[1/2,2]5.π6.2π7.π/28.2π9.1/210.1三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.π2.2π3.1/24.[1/2,2]5.π6.π7.π/28.2π五、应用题1.ω=2，φ=π/42.[kπ-π/12,kπ+5π/12](k∈Z)3.2π，√22.π/2，[1,√2]5.π，x=kπ/2(k∈Z)6.π，53.[kπ-π/4,kπ+π/4](k∈Z)8.(-∞,1)∪(1,2]，x=2kπ(k∈Z)【解析】一、单项选择题1.选项A错误，对称轴为x=kπ+π/2-π/3；选项B正确，对称中心为(π/6+kπ,0)；选项C错误，平移π/3个单位后为y=sin(x+2π/3)，与y=x不构成对称关系；选项D错误，平移π/3个单位后为y=sin(x+π/3)，与y=sin(x)相位差为π/3。2.交点为sin(2x-π/4)=0，即2x-π/4=kπ，x=kπ/2+π/8，在[0,2π]区间内k取0,1,2,3,4，共10个交点。3.h(x)=cos(2x)，在[0,π]区间内，2x∈[0,2π]，cos(2x)单调递减的区间为[π/2,3π/2]，即x∈[π/4,3π/4]。4.振幅为|3|=3，周期为2π/2=π，初相位为π/3。5.1-2cos(x)∈[-3,1)，当1-2cos(x)=0时函数无定义，值域为(-∞,1)∪(1,2]。6.f(x)=2sin(x+π/3)，周期为2π。7.y=cos(x)sin(x)=sin(2x)/2，在[0,π/2]区间内，2x∈[0,π]，sin(2x)最大值为1，所以y最大值为1/2。8.f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为π/2。9.f(x)=2sin(x)-2cos^2(x)+1=2sin(x)-1，周期为2π。10.f(x)=1/4sin(2x)-1/4cos(2x)-1/4，周期为2π。二、填空题1.平移π/6个单位后，得到f(x)=cos[2(x-π/6)-π/3]=cos(2x-π/2)。2.振幅为2，周期为2π/3，令-π/2≤3x+π/4≤π/2，解得x∈[-5π/12,π/12]，单调递增区间为[kπ-5π/12,kπ+π/12](k∈Z)。3.f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。4.sin(x)∈[-1,1]，1+sin(x)∈[0,2]，值域为[1/2,2]。5.f(x)=cos(2x)，周期为π。6.f(x)=5sin(2x-φ)，周期为π。7.f(x)=√2sin(x-π/4)，周期为π/2。8.f(x)=2sin(x+π/3)，周期为2π。9.f(x)=sin(2x)/2，最大值为1/2。10.cos(x)∈[-1,1]，1-2cos(x)∈[-3,1)，当cos(x)=-1时，函数值最大为1。三、判断题1.错误，f(π/4)=√2/2≠0，图像不关于x=π/4对称。2.正确，令2x∈[0,π]，cos(2x)单调递减。3.正确，f(x)=sin(2x)/2，周期为π。4.错误，f(-x)=1/(1+sin(-x))=-f(x)，是奇函数。5.正确，f(x)=cos(2x)，是偶函数，图像与y轴对称。6.错误，f(x)=2sin(x)-2cos^2(x)+1=2sin(x)-1，周期为2π。7.正确，f(x)=√2sin(x-π/4)，周期为π/2。8.正确，f(x)=5sin(2x