2025-2026年浙江省人教版高一数学第7课三角函数应用习题

2025-2026年浙江省人教版高一数学第7课三角函数应用习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=30°，角B=45°，边BC=10，则边AC的长度为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3解析：根据正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin30°/10=sin45°/AC，解得AC=10×√2/√2/2=10√2。故选C。2.某灯塔A位于海岸线BC的垂线方向，距离海岸线BC的垂直距离为h，灯塔A的观测范围为半径为R的圆，海岸线上距离点B为d的点P能看见灯塔A，则d的取值范围是（）A.0＜d＜√(R²+h²)B.d≥√(R²+h²)C.0≤d≤√(R²+h²)D.d≤√(R²+h²)解析：在直角三角形ABP中，AB=h，BP=d，AP=√(h²+d²)，由题意AP≤R，即√(h²+d²)≤R，平方得h²+d²≤R²，整理得d≤√(R²-h²)。故选D。3.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2/2)，且周期为π，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.5π/4解析：周期为π，则ω=2π/π=2。图像过点(π/4,√2/2)，代入得√2/2=Asin(2×π/4+φ)=Asin(π/2+φ)，即sin(π/2+φ)=1/√2，得π/2+φ=π/4+2kπ或π/2+φ=3π/4+2kπ，解得φ=-π/4或φ=π/4。由于周期为π，φ=-π/4舍去，故φ=π/4。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=√7，c=2，则cosB的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(3²+2²-7)/(2×3×2)=1/2。故选A。5.某水库大坝的横断面为梯形，坝高为h，上底宽为a，下底宽为b，坝顶与水面齐平，则水深为h时，水对坝体的侧压力为（）A.1/2ρgh(b+a)B.1/3ρgh(b+a)C.1/4ρgh(b+a)D.1/6ρgh(b+a)解析：侧压力等于压强乘以面积，压强随深度线性增加，平均压强为ρgh/2，受力面积为1/2(b+a)h，故侧压力为1/2ρgh(b+a)。故选A。6.已知函数y=cos(2x-π/3)的最小正周期为T，则T的值为（）A.πB.2πC.π/2D.3π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故选A。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，cosC=1/2，则△ABC的面积为（）A.3√3B.3C.3√2D.6解析：由cosC=1/2，得角C=π/3，面积S=1/2absinC=1/2×2×3×√3/2=3√3。故选A。8.已知函数y=2sin(3x+π/6)的图像关于直线x=π/4对称，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：图像关于x=π/4对称，则3×π/4+π/6+kπ=π/2+kπ，解得k=1。故选A。9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=5，c=6，则cosA的值为（）A.11/24B.1/2C.5/6D.7/8解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(5²+6²-4²)/(2×5×6)=11/24。故选A。10.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,0)，且周期为2π，则φ的值为（）A.0B.π/2C.πD.2π解析：周期为2π，则ω=2π/2π=1。图像过点(π/3,0)，代入得0=Asin(π/3+φ)，即sin(π/3+φ)=0，得π/3+φ=kπ，解得φ=-π/3+kπ。当k=0时，φ=-π/3，不在[0,2π)范围内；当k=1时，φ=2π/3；当k=2时，φ=5π/3。故φ=5π/3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，c=1，则cosB的值为________。参考答案：1/2解析：由余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(2²+1²-(√3)²)/(2×2×1)=1/2。2.已知函数y=3sin(2x+π/4)的最小正周期为T，则T的值为________。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。3.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=2，则边BC的长度为________。参考答案：2√2解析：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即2/sin45°=BC/sin60°，解得BC=2×√3/2×√2=2√2。4.已知函数y=2cos(π/3-x)的图像关于直线x=π/4对称，则k的值为________。参考答案：1解析：图像关于x=π/4对称，则π/3-kπ=π/4+kπ，解得k=1/4。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积为________。参考答案：6解析：由勾股定理，△ABC为直角三角形，面积S=1/2×3×4=6。6.已知函数y=sin(x+π/6)的图像向右平移π/3个单位后与y=cosx的图像重合，则k的值为________。参考答案：1/2解析：平移后函数为y=sin(x+π/6-π/3)=sin(x/2)，与y=cosx=sin(x+π/2)重合，得ω=1/2。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，cosC=1/2，则边c的长度为________。参考答案：√39解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=5²+7²-2×5×7×1/2=39，解得c=√39。8.已知函数y=4sin(π/2-x)的图像关于点(π/4,0)中心对称，则k的值为________。参考答案：1解析：中心对称，则π/2-kπ=π/4+kπ，解得k=1/4。9.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=6，则边BC的长度为________。参考答案：3√3解析：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即6/sin60°=BC/sin30°，解得BC=6×1/2×√3=3√3。10.已知函数y=2sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，则φ的值为________。参考答案：π/2解析：周期为π，则ω=2π/π=2。图像过点(π/4,0)，代入得0=2sin(2×π/4+φ)=2sin(π/2+φ)，即sin(π/2+φ)=0，得π/2+φ=kπ，解得φ=-π/2+kπ。当k=0时，φ=-π/2，不在[0,2π)范围内；当k=1时，φ=π/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为1/2。（×）解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(4²+5²-3²)/(2×4×5)=7/8，故错误。2.已知函数y=2sin(3x+π/6)的最小正周期为π/3。（×）解析：周期T=2π/|ω|=2π/3，故错误。3.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=2，则边BC的长度为√3。（×）解析：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即2/sin45°=BC/sin60°，解得BC=2×√3/2×√2=√6，故错误。4.已知函数y=cos(2x-π/3)的图像关于直线x=π/4对称。（√）解析：cos(2×π/4-π/3)=cos(π/6)=√3/2，图像关于x=π/4对称，故正确。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积为6√3。（×）解析：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(5²+6²-4²)/(2×5×6)=11/24，sinA=√(1-cos²A)=√(1-121/576)=√355/24，面积S=1/2×4×5×√355/24=5√355/12，故错误。6.已知函数y=sin(x+π/6)的图像向右平移π/3个单位后与y=cosx的图像重合。（×）解析：平移后函数为y=sin(x+π/6-π/3)=sin(x/2)，与y=cosx=sin(x+π/2)重合，得ω=1/2，故错误。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，cosC=1/2，则边c的长度为5。（×）解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×1/2=13，解得c=√13，故错误。8.已知函数y=4sin(π/2-x)的图像关于点(π/4,0)中心对称。（√）解析：sin(π/2-π/4)=sin(π/4)=√2/2，图像关于点(π/4,0)中心对称，故正确。9.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=6，则边BC的长度为6。（×）解析：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即6/sin60°=BC/sin30°，解得BC=6×2/√3=4√3，故错误。10.已知函数y=2sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，则φ的值为π/3。（×）解析：周期为π，则ω=2π/π=2。图像过点(π/4,0)，代入得0=2sin(2×π/4+φ)=2sin(π/2+φ)，即sin(π/2+φ)=0，得π/2+φ=kπ，解得φ=-π/2+kπ。当k=0时，φ=-π/2，不在[0,2π)范围内；当k=1时，φ=π/2，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosA的值。参考答案：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(4²+5²-3²)/(2×4×5)=7/8。2.已知函数y=2sin(3x+π/6)，求其最小正周期。参考答案：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度。参考答案：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即6/sin45°=BC/sin60°，解得BC=6×√3/2×√2=3√6。4.已知函数y=cos(2x-π/3)，求其最小正周期。参考答案：周期T=2π/|ω|=π。5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，cosC=1/2，求边c的长度。参考答案：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=5²+7²-2×5×7×1/2=39，解得c=√39。6.已知函数y=4sin(π/2-x)，求其最小正周期。参考答案：周期T=2π/|ω|=2π。7.在△ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=6，求△ABC的面积。参考答案：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即6/sin60°=BC/sin30°，解得BC=6×2/√3=4√3，面积S=1/2×AC×BC×sinA=1/2×6×4√3×1/2=6√3。8.已知函数y=2sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，求φ的值。参考答案：周期为π，则ω=2π/π=2。图像过点(π/4,0)，代入得0=2sin(2×π/4+φ)=2sin(π/2+φ)，即sin(π/2+φ)=0，得π/2+φ=kπ，解得φ=-π/2+kπ。当k=0时，φ=-π/2，不在[0,2π)范围内；当k=1时，φ=π/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某水库大坝的横断面为梯形，坝高为10米，上底宽为20米，下底宽为30米，求水对坝体的侧压力。参考答案：平均压强为ρgh/2=1000×9.8×10/2=49000帕，受力面积为1/2(b+a)h=1/2(30+20)×10=2500平方米，侧压力为49000×2500=122500000牛顿。2.某灯塔A位于海岸线BC的垂线方向，距离海岸线BC的垂直距离为20米，灯塔A的观测范围为半径为50米的圆，求海岸线上能看见灯塔A的点的范围。参考答案：在直角三角形ABP中，AB=20，BP=√(AP²-AB²)，AP≤50，即√(AP²-400)≤50，平方得AP²-400≤2500，整理得AP≤30，故d≤30米。3.已知函数y=3sin(2x+π/4)，求其最小正周期，并求其图像关于直线x=π/4对称时的φ值。参考答案：周期T=2π/|ω|=π。图像关于x=π/4对称，则2×π/4+π/4+kπ=π/2+kπ，解得k=1/4。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=5，c=6，求cosA和cosB的值。参考答案：由余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(5²+6²-4²)/(2×5×6)=11/24，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(4²+6²-5²)/(2×4×6)=7/16。5.已知函数y=2sin(π/3-x)，求其最小正周期，并求其图像关于点(π/4,0)中心对称时的φ值。参考答案：周期T=2π/|ω|=2π。图像关于点(π/4,0)中心对称，则π/3-φ=π/2+kπ，解得φ=-π/6+kπ。当k=0时，φ=-π/6，不在[0,2π)范围内；当k=1时，φ=5π/6。6.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8，求边BC和边AB的长度。参考答案：由正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即8/sin45°=BC/sin60°，解得BC=8×√3/2×√2=4√6；由正弦定理，AC/sinB=AB/sinC，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°，AB=8×sin75°/sin45°=8×(√6+√2)/4×√2=2(√3+1)。7.已知函数y=4cos(π/2-x)，求其最小正周期，并求其图像关于直线x=π/4对称