2025-2026年专升本考试线性代数特征值特征向量习题集

2025-2026年专升本考试线性代数特征值特征向量习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设矩阵A为三阶方阵，且满足A²-A=2E，其中E为三阶单位矩阵，则矩阵A的特征值可能是（）A.-2,1,1B.0,2,2C.-1,2,3D.1,1,-2解析：根据A²-A=2E可得det(A-λE)det(A-λE)=0，即(A-λE)²=2E，解得λ²-λ-2=0，特征值为-1,2。选项C正确。2.若向量x是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，则向量kx（k为非零常数）也是A的特征向量，其对应的特征值仍为λ，这一性质体现了特征向量的（）A.线性无关性B.线性相关性C.对称性D.可数性解析：特征向量乘非零常数仍为特征向量，体现的是特征向量的线性相关性。选项B正确。3.设矩阵A和矩阵B相似，且A的特征值为2,3,5，则矩阵B的特征值必为（）A.2,3,5B.6,9,15C.±√2,±√3,±√5D.1,4,8解析：相似矩阵有相同的特征值。选项A正确。4.若n阶矩阵A满足Aⁿ=0（n为正整数），则A的特征值必为（）A.任意实数B.0C.任意非零实数D.±1解析：幂零矩阵的特征值必为0。选项B正确。5.设矩阵A可对角化，且其特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则矩阵A的迹tr(A)等于（）A.λ₁λ₂...λₙB.λ₁+λ₂+...+λₙC.|A|D.λ₁²+λ₂²+...+λₙ²解析：矩阵的迹等于其特征值之和。选项B正确。6.若向量x是矩阵A的特征向量，且λ₁,λ₂是A的两个不同特征值，则x不可能同时是（）A.A的特征向量B.A²的特征向量C.A的特征多项式的根对应的向量D.A的特征值的线性组合对应的向量解析：不同特征值对应的特征向量线性无关，x不可能同时属于不同特征值的线性组合。选项D正确。7.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵A的伴随矩阵A的特征值为（）A.λB.λ²C.λ⁻¹D.|A|λ⁻¹解析：A的特征值为|A|λ⁻¹。选项D正确。8.若矩阵A的特征值全为正数，且A可逆，则A的特征值的倒数（）A.必有负数B.必有零C.全为正数D.全为负数解析：A可逆则特征值非零，其倒数仍为正数。选项C正确。9.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵A的转置矩阵Aᵀ的特征值为（）A.λB.λ²C.λ⁻¹D.|A|λ⁻¹解析：矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。选项A正确。10.若矩阵A的特征值满足λ₁≥λ₂≥...≥λₙ，则矩阵A的绝对值最大的特征值必为（）A.λ₁B.λ₂C.λₙD.λ₁²解析：矩阵的绝对值最大的特征值为其最大特征值。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若n阶矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则矩阵A的特征多项式f(λ)的常数项为________。参考答案：(-1)ⁿ|A|解析：特征多项式f(λ)=det(A-λE)，常数项为f(0)=det(-E)=(-1)ⁿ|A|。2.若向量x是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，则Ax=________。参考答案：λx解析：特征向量的定义Ax=λx。3.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵A²的特征值为________。参考答案：λ²解析：若Ax=λx，则A²x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ(λx)=λ²x。4.若矩阵A可对角化，且其特征值为λ₁,λ₂,...,λₙ，则矩阵A⁻¹的特征值为________。参考答案：λ₁⁻¹,λ₂⁻¹,...,λₙ⁻¹解析：A⁻¹x=λ⁻¹x，特征值为λ⁻¹。5.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵kA（k为非零常数）的特征值为________。参考答案：kλ解析：若Ax=λx，则(kA)x=k(Ax)=k(λx)=(kλ)x。6.若矩阵A的特征值全为正数，且A可逆，则A的特征值的倒数________。参考答案：全为正数解析：A可逆则特征值非零，其倒数仍为正数。7.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵A的伴随矩阵A的特征值为________。参考答案：|A|λ⁻¹解析：A的特征值为|A|λ⁻¹。8.若矩阵A的特征值满足λ₁≥λ₂≥...≥λₙ，则矩阵A的绝对值最大的特征值必为________。参考答案：λ₁解析：矩阵的绝对值最大的特征值为其最大特征值。9.设矩阵A的特征值为λ，则矩阵A的转置矩阵Aᵀ的特征值为________。参考答案：λ解析：矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。10.若向量x是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，则向量x的长度________Ax的长度。参考答案：等于解析：Ax=λx，向量长度与λ无关。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若向量x是矩阵A的特征向量，则x必是非零向量。参考答案：正确解析：特征向量的定义要求x非零。2.若矩阵A的特征值全为正数，则A必可逆。参考答案：正确解析：A可逆则特征值非零，全为正数即非零。3.若矩阵A的特征值满足λ₁≥λ₂≥...≥λₙ，则矩阵A的绝对值最大的特征值必为λ₁。参考答案：正确解析：矩阵的绝对值最大的特征值为其最大特征值。4.若矩阵A可对角化，则A的特征值必为实数。参考答案：错误解析：A可对角化时特征值可以是复数，如复数对。5.若向量x是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，则向量x的长度等于Ax的长度。参考答案：正确解析：Ax=λx，向量长度与λ无关。6.若矩阵A的特征值全为正数，则A的特征值的倒数也全为正数。参考答案：正确解析：A可逆则特征值非零，其倒数仍为正数。7.若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A的伴随矩阵A的特征值为|A|λ⁻¹。参考答案：正确解析：A的特征值为|A|λ⁻¹。8.若矩阵A可逆，则A的特征值必为非零实数。参考答案：正确解析：A可逆则det(A)≠0，特征值非零。9.若向量x是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，则向量kx（k为非零常数）也是A的特征向量，其对应的特征值仍为λ。参考答案：正确解析：特征向量乘非零常数仍为特征向量，特征值不变。10.若矩阵A的特征值满足λ₁≥λ₂≥...≥λₙ，则矩阵A的绝对值最小的特征值必为λₙ。参考答案：正确解析：矩阵的绝对值最小的特征值为其最小特征值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述矩阵的特征值与特征向量的定义。参考答案：设A为n阶矩阵，若存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为A对应于λ的特征向量。解析：特征值λ是使Ax=λx成立的数，特征向量x是满足该等式的非零向量。2.简述相似矩阵的性质。参考答案：相似矩阵有相同的特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩、相同的特征多项式等。解析：相似矩阵A和B满足存在可逆矩阵P，使得B=P⁻¹AP，从而具有上述性质。3.简述矩阵可对角化的条件。参考答案：n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。解析：若A有n个线性无关的特征向量x₁,x₂,...,xₙ，则存在可逆矩阵P=[x₁x₂...xₙ]，使得P⁻¹AP=diag(λ₁λ₂...λₙ)。4.简述矩阵的特征多项式的性质。参考答案：矩阵A的特征多项式f(λ)=det(A-λE)的常数项为(-1)ⁿ|A|，最高项系数为1，次数为n。解析：f(λ)的最高项为λⁿ，系数由排列组合决定，常数项为f(0)=det(-E)。5.简述矩阵的特征值与其迹的关系。参考答案：矩阵A的迹tr(A)等于其特征值之和，即tr(A)=λ₁+λ₂+...+λₙ。解析：tr(A)=tr(P⁻¹AP)=tr(A)，特征值之和不变。6.简述矩阵的特征值与其行列式的关系。参考答案：矩阵A的行列式|A|等于其特征值的乘积，即|A|=λ₁λ₂...λₙ。解析：|A|=|P⁻¹AP|=|A|，特征值乘积不变。7.简述矩阵的特征向量与其线性无关性的关系。参考答案：不同特征值对应的特征向量线性无关，相同特征值对应的特征向量可能线性相关。解析：λ₁≠λ₂时，Ax₁=λ₁x₁，Ax₂=λ₂x₂，若x₁,x₂线性相关，则λ₁x₁=λ₂x₂，矛盾。8.简述矩阵的特征值与其可逆性的关系。参考答案：矩阵A可逆当且仅当其特征值全非零。解析：A可逆则det(A)≠0，特征值非零时det(A)≠0，特征值有零时det(A)=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.设矩阵A为三阶矩阵，且满足A²-A=2E，其中E为三阶单位矩阵，求A的特征值。参考答案：特征值λ满足λ²-λ-2=0，解得λ=-1,2。解析：A²-A=2E可得det(A-λE)det(A-λE)=0，即(A-λE)²=2E，解得λ²-λ-2=0，特征值为-1,2。2.设向量x=(1,1,1)ᵀ是矩阵A的特征向量，对应的特征值为2，求矩阵A在基{e₁,e₂,e₃}下的表达式，其中e₁=(1,0,0)ᵀ,e₂=(0,1,0)ᵀ,e₃=(0,0,1)ᵀ。参考答案：A=(2/3,2/3,2/3),(2/3,2/3,2/3),(2/3,2/3,2/3)解析：Ax=2x，A(e₁+e₂+e₃)=2(e₁+e₂+e₃)，解得A=(2/3,2/3,2/3),(2/3,2/3,2/3),(2/3,2/3,2/3)。3.设矩阵A为二阶矩阵，且满足A²=2A，求A的特征值。参考答案：特征值λ满足λ²-2λ=0，解得λ=0,2。解析：A²=2A可得det(A-λE)det(A-λE)=0，即(A-λE)²=2E，解得λ²-2λ=0，特征值为0,2。4.设向量x=(1,1)ᵀ是矩阵A的特征向量，对应的特征值为1，求矩阵A在基{e₁,e₂}下的表达式，其中e₁=(1,0)ᵀ,e₂=(0,1)ᵀ。参考答案：A=(1/2,1/2),(1/2,1/2)解析：Ax=x，A(e₁+e₂)=e₁+e₂，解得A=(1/2,1/2),(1/2,1/2)。5.设矩阵A为三阶矩阵，且满足A²-A=0，求A的特征值。参考答案：特征值λ满足λ²-λ=0，解得λ=0,1。解析：A²-A=0可得det(A-λE)det(A-λE)=0，即(A-λE)²=0，解得λ²-λ=0，特征值为0,1。6.设向量x=(1,0,0)ᵀ是矩阵A的特征向量，对应的特征值为1，求矩阵A在基{e₁,e₂,e₃}下的表达式，其中e₁=(1,0,0)ᵀ,e₂=(0,1,0)ᵀ,e₃=(0,0,1)ᵀ。参考答案：A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)解析：Ax=x，A(e₁)=e₁，解得A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。7.设矩阵A为二阶矩阵，且满足A²=3A，求A的特征值。参考答案：特征值λ满足λ²-3λ=0，解得λ=0,3。解析：A²=3A可得det(A-λE)det(A-λE)=0，即(A-λE)²=3E，解得λ²-3λ=0，特征值为0,3。8.设向量x=(1,1,1)ᵀ是矩阵A的特征向量，对应的特征值为3，求矩阵A在基{e₁,e₂,e₃}下的表达式，其中e₁=(1,0,0)ᵀ,e₂=(0,1,0)ᵀ,e₃=(0,0,1)ᵀ。参考答案：A=(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)解析：Ax=3x，A(e₁+e₂+e₃)=3(e₁+e₂+e₃)，解得A=(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.D8.C9.A10.A解析：2.A²-A=2E可得(A-λE)²=2E，解得λ²-λ-2=0，特征值为-1,2。选项C正确。3.特征向量乘非零常数仍为特征向量，体现的是特征向量的线性相关性。选项B正确。4.相似矩阵有相同的特征值。选项A正确。5.幂零矩阵的特征值必为0。选项B正确。6.矩阵的迹等于其特征值之和。选项B正确。7.不同特征值对应的特征向量线性无关，x不可能同时属于不同特征值的线性组合。选项D正确。8.A的特征值为|A|λ⁻¹。选项D正确。9.A可逆则特征值非零，其倒数仍为正数。选项C正确。10.矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。选项A正确。11.矩阵的绝对值最大的特征值为其最大特征值。选项A正确。二、填空题1.(-1)ⁿ|A|2.λx3.λ²4.λ₁⁻¹,λ₂⁻¹,...,λₙ⁻¹5.kλ6.全为正数7.|A|λ⁻¹8.λ₁9.λ10.等于三、判断题1.正确2.正确3.正确4.错误5.正确