2025-2026年专升本考试线性代数行列式习题集

2025-2026年专升本考试线性代数行列式习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性代数中，行列式的基本性质不包括以下哪一项？A.行列式对行（或列）的线性运算封闭B.交换行列式的任意两行（或列），行列式的值不变C.若行列式中有一行（或列）全为零，则该行列式的值为零D.行列式某一行（或列）的所有元素乘以同一常数，行列式的值不变2.计算行列式|abc|的值，其中a=1，b=2，c=3。A.6B.0C.1D.93.若矩阵A的行列式|A|=5，矩阵B的行列式|B|=3，则矩阵C=2A-3B的行列式|C|的值为多少？A.15B.9C.1D.无法确定4.行列式|A|的某一行所有元素乘以同一常数k后，行列式的值变为多少？A.k|A|B.|A|/kC.k^2|A|D.|A|/k^25.若矩阵A是一个3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|的值为多少？A.2B.4C.8D.166.行列式|A|的某两行（或列）完全相同，则该行列式的值为多少？A.1B.0C.-1D.无法确定7.若矩阵A是一个4阶方阵，且|A|=10，则矩阵A的转置矩阵A^T的行列式|A^T|的值为多少？A.10B.100C.1/10D.1/1008.行列式|A|的某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值如何变化？A.增加B.减少C.不变D.无法确定9.若矩阵A是一个n阶方阵，且|A|=0，则矩阵A的秩rank(A)的值可能为多少？A.nB.n-1C.0D.以上都可能10.行列式|A|的某一行（或列）的元素全为零，则该行列式的值为多少？A.1B.0C.-1D.无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式|A|的元素a_ij的代数余子式A_ij与元素a_ij的关系为__________。2.若矩阵A是一个3阶方阵，且|A|=6，则矩阵A的逆矩阵A^-1的行列式|A^-1|的值为__________。3.行列式|A|的某一行（或列）乘以常数k后，行列式的值变为原来的__________倍。4.若矩阵A是一个n阶方阵，且|A|=0，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|的值为__________。5.行列式|A|的某两行（或列）互换，行列式的值变为原来的__________。6.若矩阵A是一个4阶方阵，且|A|=5，则矩阵A的转置矩阵A^T的行列式|A^T|的值为__________。7.行列式|A|的某一行（或列）的元素全为零，则该行列式的值为__________。8.若矩阵A是一个2阶方阵，且|A|=4，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|的值为__________。9.行列式|A|的某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值__________。10.若矩阵A是一个3阶方阵，且|A|=9，则矩阵A的逆矩阵A^-1的行列式|A^-1|的值为__________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式|A|的某一行（或列）的元素全为零，则该行列式的值为零。2.若矩阵A是一个n阶方阵，且|A|=0，则矩阵A的秩rank(A)一定小于n。3.行列式|A|的某一行（或列）乘以常数k后，行列式的值变为原来的k倍。4.行列式|A|的某两行（或列）互换，行列式的值不变。5.若矩阵A是一个4阶方阵，且|A|=5，则矩阵A的转置矩阵A^T的行列式|A^T|的值为5。6.行列式|A|的某一行（或列）的元素全为零，则该行列式的值可能不为零。7.若矩阵A是一个3阶方阵，且|A|=6，则矩阵A的逆矩阵A^-1的行列式|A^-1|的值为1/6。8.行列式|A|的某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。9.若矩阵A是一个n阶方阵，且|A|=0，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|的值一定为零。10.行列式|A|的某两行（或列）完全相同，则该行列式的值一定为零。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述行列式的基本性质及其应用。2.解释行列式的代数余子式的概念及其在行列式计算中的作用。3.说明矩阵的行列式与矩阵的秩之间的关系。4.描述行列式在求解线性方程组中的应用。5.解释伴随矩阵的概念及其与原矩阵行列式的关系。6.说明行列式在矩阵求逆中的应用。7.描述行列式在几何中的应用，例如计算面积和体积。8.解释行列式在特征值问题中的应用。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.计算行列式|A|的值，其中A为3阶方阵，且A的元素为：|123||456||789|2.计算行列式|B|的值，其中B为4阶方阵，且B的元素为：|1023||0104||5600||0789|3.计算行列式|C|的值，其中C为3阶方阵，且C的元素为：|213||121||312|4.计算行列式|D|的值，其中D为4阶方阵，且D的元素为：|1234||2341||3412||4123|5.计算行列式|E|的值，其中E为3阶方阵，且E的元素为：|123||014||560|6.计算行列式|F|的值，其中F为4阶方阵，且F的元素为：|1234||0123||4321||0012|7.计算行列式|G|的值，其中G为3阶方阵，且G的元素为：|102||020||301|8.计算行列式|H|的值，其中H为4阶方阵，且H的元素为：|1234||0123||3456||2345|【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：行列式的基本性质包括：行列式对行（或列）的线性运算封闭、若行列式中有一行（或列）全为零，则该行列式的值为零、行列式某一行（或列）的所有元素乘以同一常数，行列式的值变为原来的常数倍。选项B错误，交换行列式的任意两行（或列），行列式的值变号。2.A解析：行列式|abc|的值为ad-be+cf，其中d、e、f为其他未知元素。若a=1，b=2，c=3，则|123|=1d-2e+3f=6。3.D解析：行列式的乘法性质不满足线性运算，矩阵C=2A-3B的行列式|C|无法直接计算。4.A解析：行列式的基本性质之一是：行列式某一行（或列）的所有元素乘以同一常数k，行列式的值变为原来的k倍。5.B解析：伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的平方，即|adjA|=|A|^n，其中n为矩阵阶数。对于3阶方阵，|adjA|=|A|^2=2^2=4。6.B解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某两行（或列）完全相同，则该行列式的值为零。7.A解析：行列式的转置性质表明，行列式的值等于其转置行列式的值，即|A^T|=|A|=10。8.C解析：行列式的加法性质表明，行列式某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。9.D解析：若矩阵A的行列式|A|=0，则矩阵A的秩rank(A)可能为n-1或更小，具体取决于零行的数量。10.B解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某一行（或列）全为零，则该行列式的值为零。二、填空题1.-a_ijM_ij解析：行列式|A|的元素a_ij的代数余子式A_ij等于-a_ij乘以M_ij，其中M_ij为a_ij的余子式。2.1/6解析：矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即|A^-1|=1/|A|=1/6。3.k解析：行列式的基本性质之一是：行列式某一行（或列）的所有元素乘以同一常数k，行列式的值变为原来的k倍。4.0解析：若矩阵A的行列式|A|=0，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|也一定为零。5.-1解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某两行（或列）互换，行列式的值变号。6.5解析：行列式的转置性质表明，行列式的值等于其转置行列式的值，即|A^T|=|A|=5。7.0解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某一行（或列）全为零，则该行列式的值为零。8.4解析：矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即|A^-1|=1/|A|=1/4=4。9.不变解析：行列式的加法性质表明，行列式某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。10.1/9解析：矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即|A^-1|=1/|A|=1/9。三、判断题1.正确解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某一行（或列）全为零，则该行列式的值为零。2.正确解析：若矩阵A的行列式|A|=0，则矩阵A的秩rank(A)一定小于n。3.错误解析：行列式的基本性质之一是：行列式某一行（或列）的所有元素乘以常数k，行列式的值变为原来的k倍。4.错误解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某两行（或列）互换，行列式的值变号。5.正确解析：行列式的转置性质表明，行列式的值等于其转置行列式的值，即|A^T|=|A|=5。6.错误解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某一行（或列）全为零，则该行列式的值为零。7.正确解析：矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即|A^-1|=1/|A|=1/6。8.正确解析：行列式的加法性质表明，行列式某一行（或列）乘以常数k后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。9.正确解析：若矩阵A的行列式|A|=0，则矩阵A的伴随矩阵（adjA）的行列式|adjA|也一定为零。10.正确解析：行列式的基本性质之一是：若行列式的某两行（或列）完全相同，则该行列式的值一定为零。四、简答题1.行列式的基本性质包括：行列式对行（或列）的线性运算封闭、若行列式中有一行（或列）全为零，则该行列式的值为零、行列式某一行（或列）的所有元素乘以同一常数，行列式的值变为原来的常数倍、若行列式的某两行（或列）互换，行列式的值变号。这些性质在行列式计算和证明中具有重要作用。2.行列式的代数余子式A_ij是去掉行列式第i行第j列后的余子式M_ij乘以(-1)^(i+j)。代数余子式在行列式展开和矩阵求逆中具有重要作用。3.矩阵的行列式与矩阵的秩之间的关系是：若矩阵的行列式不为零，则矩阵的秩等于其阶数；若矩阵的行列式为零，则矩阵的秩小于其阶数。4.行列式在求解线性方程组中的应用主要体现在克莱姆法则中，通过行列式可以判断线性方程组是否有唯一解，并直接求解该解。5.伴随矩阵是矩阵的余子式矩阵的转置，伴随矩阵在矩阵求逆中具有重要作用，即A的逆矩阵A^-1等于伴随矩阵adjA除以行列式|A|。6.行列式在矩阵求逆中的应用主要体现在克莱姆法则和伴随矩阵法中，通过行列式可以判断矩阵是否可逆，并直接求解逆矩阵。7.行列式在几何中的应用主要体现在计算面积和体积上，例如2阶行列式可以计算二维平面图形的面积，3阶行列式可以计算三维空间图形的体积。8.行列式在特征值问题中的应用主要体现在特征多项式中，特征多项式的根即为矩阵的特征值，通过行列式可以求解特征多项式。五、应用题1.行列式|A|的值为：|123||456||789|=1(59-68)-2(49-67)+3(48-57)=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=-3+12-9=02.行列式|B|的值为：|1023||0104||5600||0789|=1(109-48)-0+2(07-10)+3(06-15)=1(-32)+0+0-15=-473.行列式|C|的值为：|213||121||312|=2(22-11)-1(12-13)+3(11-23)=2(4-1)-1(2-3)+3(1-6)=6+1-15=-84.行列式|D|的值为：|1234||2341||3412||4123|=1(313-42)-2(213-44)+3(243-