2025-2026年四川省人教版高二数学第十一章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第十一章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.100B.102C.200D.204解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+4=1+2+4，b_4=b_3+6=1+2+4+6，依次类推b_10=1+2+4+6+8+10+12+14+16=90。选项A正确。3.函数f(x)=log_2(x+1)的图像与函数g(x)=2^x的图像关于直线y=x对称，则数列{a_n}（a_n=f(n)）的前n项和S_n等于（）A.2^(n+1)-2B.n•2^nC.2^n-n+1D.2^(n+1)-n解析：由对称关系可知f(x)=g(x)的解为x=1，且f(x)为增函数。a_n=f(n)=log_2(n+1)，S_n=∑log_2(k+1)=log_2(2×3×4×…×(n+1))=log_2((n+1)!)。利用斯特林公式近似可得S_n≈n•2^n。选项B正确。4.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_6=64，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.2或4D.-2或-4解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_3=c_1q^2=8，c_6=c_1q^5=64，相除得q^3=8，解得q=2。选项A错误。5.函数h(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）A.4B.8C.16D.32解析：h'(x)=3x^2-3，令h'(x)=0得x=±1。计算h(-2)=-10，h(-1)=2，h(1)=-2，h(2)=2，故最大值8，最小值-10，差为18。选项无正确答案，需修正题目。6.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+n（n≥1），则d_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：递推关系可变形为d_n+1-n=2(d_n-n)，令e_n=d_n-n，则e_n为等比数列e_1=1，e_n+1=2e_n，e_5=2^4=16，故d_5=e_5+5=21。选项均错误，需修正题目。7.函数k(x)=x^2-2x+3在区间[0,3]上的最小值点是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3解析：k'(x)=2x-2，令k'(x)=0得x=1。计算k(0)=3，k(1)=2，k(2)=2，k(3)=3，最小值在x=1或x=2处取到。选项B、C正确。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则e_4等于（）A.16B.20C.24D.28解析：e_n=T_n-T_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，e_4=16-1=15。选项均错误，需修正题目。9.函数φ(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-3,3]上的最小值等于（）A.1B.2C.3D.4解析：φ(x)分段函数为x<-1时2-x，-1≤x≤1时2，x>1时2+x。最小值为2。选项B正确。10.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=3f_n+2（n≥1），则f_6等于（）A.729B.731C.733D.735解析：递推关系f_n+1+1=3(f_n+1)，令g_n=f_n+1，则g_n为等比数列g_1=2，g_n=2×3^(n-1)，f_6=g_6-1=2×3^5-1=489。选项均错误，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_7=18，则a_6+a_8等于______解：a_6+a_8=(a_5+a_7)+2d=18+2×(a_7-a_5)/2=18+6=242.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+n（n≥1），则b_5等于______解：b_2=b_1+1=3，b_3=b_2+2=5，b_4=b_3+3=8，b_5=b_4+4=123.函数g(x)=x^3-3x在x=1处的切线方程为______解：g'(x)=3x^2-3，g'(1)=0，g(1)=-2，切线方程y=-24.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_3等于______解：c_3=S_3-S_2=12-8=45.函数h(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-1,1]上的值域为______解：h(x)=2，值域为{2}6.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于______解：q^2=9，q=37.函数φ(x)=x^2-4x+5在区间[0,4]上的最大值等于______解：φ(x)=(x-2)^2+1，最大值为58.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n≥1），则e_4等于______解：e_2=3，e_3=7，e_4=159.函数k(x)=log_2(x+1)在x=2处的导数k'(2)等于______解：k'(x)=1/(ln2(x+1))，k'(2)=1/(3ln2)10.已知数列{f_n}的前n项和T_n=3^n-1，则f_4等于______解：f_4=T_4-T_3=80-26=54三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例a_n=n，a_n^2=n^2，a_{n+1}^2-(a_n^2)=2n+1，不是等差数列。2.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的平均值等于0。（√）解：平均值=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=0。3.若数列{b_n}满足b_n+1/b_n=2，则{b_n}是等比数列。（√）解：b_n=b_1•2^(n-1)。4.函数g(x)=|x|在x=0处不可导。（×）解：g'(0)不存在，但可导性需严格定义。5.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（√）解：a_5+a_7=a_1+a_9=20。6.函数h(x)=x^3-3x在x=0处取得极值。（×）解：h'(0)=0，但非极值点。7.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2，则{c_n}是等差数列。（√）解：c_n=S_n-S_{n-1}=2n-1。8.函数φ(x)=log_2(x+1)在x→-1时无界。（√）解：log_2(x+1)在x=-1处趋近于负无穷。9.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则公比q=2。（√）解：q^2=4。10.函数k(x)=x^2-4x+5的图像关于直线x=2对称。（√）解：顶点为(2,1)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求数列{a_n}：a_1=1，a_n+1=3a_n+2（n≥1）的通项公式。解：递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，令b_n=a_n+1，b_n为等比数列b_n=2×3^(n-1)，故a_n=2×3^(n-1)-1。2.证明函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上存在唯一零点。解：f(-2)=-10，f(2)=2，f(x)连续，f'(x)=3x^2-3，唯一驻点x=1，f(-1)=2，f(1)=-2，故存在唯一零点。3.求数列{b_n}：b_1=2，b_n+1=b_n+n（n≥1）的前n项和公式。解：b_n=2+(n-1)+(n-2)+…+1=n(n+1)/2，S_n=∑b_k=∑k(k+1)/2=n(n+1)(n+2)/6。4.求函数g(x)=x^2-4x+5在区间[0,4]上的最值。解：g'(x)=2x-4，驻点x=2，g(0)=5，g(2)=1，g(4)=5，最大值5，最小值1。5.证明数列{c_n}：c_n=1/2^n是递减数列。解：c_{n+1}/c_n=1/2^(n+1)÷1/2^n=1/2<1，故递减。6.求函数h(x)=|x-1|+|x+1|的图像特征。解：分段函数x<-1时2-x，-1≤x≤1时2，x>1时2+x，图像为V形，顶点(0,2)。7.求数列{d_n}：d_1=3，d_n+1=2d_n（n≥1）的前n项和公式。解：d_n=3×2^(n-1)，S_n=3(2^n-1)/(2-1)=3(2^n-1)。8.证明函数φ(x)=x^3在区间[-1,1]上的平均值等于0。解：平均值=(φ(1)-φ(-1))/(1-(-1))=(1-(-1))/2=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产产品，第一年产量为a_1=1000件，以后每年产量比前一年增加b件，第5年产量达到2000件。求第10年的产量。解：a_n=1000+(n-1)b，a_5=1000+4b=2000，b=250，a_10=1000+9×250=2750件。2.某城市人口增长模型为P_n=P_{n-1}+0.02P_{n-1}，若初始人口P_1=100万，求5年后的人口数量。解：P_n=100×1.02^(n-1)，P_5=100×1.02^4≈112.41万。3.某函数f(x)=x^3-3x在x=1处取得极值，求f(2)的值。解：f'(1)=0，f(2)=8-6=2。4.某数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_3+c_4+c_5的值。解：c_3+c_4+c_5=S_5-S_2=30-8=22。5.某函数g(x)=|x-1|+|x+1|在x=0处的函数值是多少？解：g(0)=|0-1|+|0+1|=2。6.某等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，求d_6的值。解：q=3，d_6=54×3^2=486。7.某函数h(x)=x^2-4x+5在x=2处的导数是多少？解：h'(2)=2×2-4=0。8.某数列{e_n}的前n项和T_n=3^n-1，求e_4的值。解：e_4=T_4-T_3=80-26=54。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.B6.A7.B/C8.A9.B10.A二、填空题1.242.123.y=-24.45.{2}6.37.58.159.1/(3ln2)10.54三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.a_n=2×3^(n-1)-1解：递推关系a_n+1+1=3(a_n+1)，令b_n=a_n+1，b_n为等比数列b_n=2×3^(n-1)，故a_n=2×3^(n-1)-1。2.存在唯一零点解：f(-2)=-10，f(2)=2，f(x)连续，f'(x)=3x^2-3，唯一驻点x=1，f(-1)=2，f(1)=-2，由介值定理存在唯一零点。3.S_n=n(n+1)(n+2)/6解：b_n=2+(n-1)+(n-2)+…+1=n(n+1)/2，S_n=∑b_k=∑k(k+1)/2=n(n+1)(n+2)/6。4.最大值5，最小值1解：g'(x)=2x-4，驻点x=2，g(0)=5，g(2)=1，g(4)=5，最大值5，最小值1。5.递减数列解：c_{n+1}/c_n=1/2^(n+1)÷1/2^n=1/2<1，故递减。6.V形图像，顶点(0,2)解：分段函数x<-1时2-x，-1≤x≤1时2，x>1时2+x，图像为V形，顶点(0,2)。7.S_n=3(2^n-1)解：d_n=3×2^(n-1)，S_n=3(2^n-1)/(2-1)=3(2^n-1)。8.平均值=0解：平均值=(φ(1)-φ(-1))/(1-(-1))=(1-(-1))/2=0。五、应用题1.a_10=2750件解：a_n=1000+(n-1)b，a_5=1000+4b=2000，b=250，a_10=1000+9×250=2750件