2025-2026年江苏省湘教版高一数学第二章函数性质练习题

2025-2026年江苏省湘教版高一数学第二章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,1)上单调递减，下列说法正确的是（）A.函数在x=-1处取得极大值B.函数在x=1处取得极小值C.函数在区间(-2,1)上无极值点D.函数在x=0处取得拐点解析：函数f(x)=x³-3x的导数为f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-2,-1)时f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时f'(x)<0，函数单调递减。因此函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，选项A正确。选项B错误，选项C错误，选项D错误，拐点需满足二阶导数变号。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,2]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|可分段表示为：f(x)=-2x-1，x∈[-3,-2]3，x∈[-2,1]2x+1，x∈[1,2]在区间[-3,2]上，函数在x=1处取得最小值3。选项C正确。3.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：函数f(x)=ln(x²-2x+3)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，在区间(0,3)上定义。令t=x²-2x+3，则t=(x-1)²+2>0，f(x)=ln(t)在(0,3)上单调递增。选项A正确。4.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)在区间[0,π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：f(x)=2cos²x-sin(2x)=cos(2x)+1，令f(x)=0得cos(2x)=-1。在区间[0,π]上，2x=π+2kπ，k∈Z，解得x=π/2。选项A正确。5.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的图象与x轴的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)=x³-6x²+9x+1，f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)。令f'(x)=0得x=1,3，f(1)=5，f(3)=1，f(-1)=-14。函数在x=-1处取得极小值-14，在x=1处取得极大值5，在x=3处取得极小值1。因此函数与x轴有三个交点。选项C正确。6.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e²解析：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e。选项A正确。7.函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)=√2sin(x+π/4-π/4)=√2sinx，最小正周期T=2π/|k|=2π。选项B正确。8.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f(x)=x/(x²-1)，f'(x)=(x²-1-2x²)/(x²-1)²=-x/(x²-1)²。在区间(-2,-1)上，x<0，f'(x)>0，函数单调递增。选项A正确。9.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[1,2]上为f(x)=x-1+x-2=2x-3。当x=2时取得最大值1。选项A正确。10.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于（）对称A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=1解析：f(-x)=-x³+3x+1≠f(x)且≠-f(x)，函数非奇非偶。f(x-1)=(x-1)³-3(x-1)+1=x³-3x+3≠f(x)，函数不关于x=1对称。选项均错误，但根据排除法，直线x=1为对称轴需f(x-1)=-f(x)，实际不成立。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：8，-2解析：f(-2)=-8+6+1=-1，f(-1)=-1+3+1=3，f(0)=1，f(1)=-1+3+1=3，f(2)=8-6+1=3。最大值为8，最小值为-2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域为______。参考答案：[3,8]解析：分段函数f(x)=-2x-1，x∈[-3,-2]3，x∈[-2,1]2x+1，x∈[1,3]在x=-2处取得最小值3，在x=3处取得最大值8。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为______。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,2)上的单调性为______。参考答案：单调递增解析：f'(x)=2x-2/(x²-2x+3)，在(1,2)上x>1，f'(x)>0。5.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的图象与y轴的交点坐标为______。参考答案：(0,1)解析：f(0)=0³-6×0²+9×0+1=1。6.函数f(x)=e^x-ax在x=2处取得极小值，则a的值为______。参考答案：e²解析：f'(x)=e^x-a，f''(x)=e^x，令f'(2)=e²-a=0得a=e²。7.函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的图象关于______对称。参考答案：直线x=π/4解析：f(x)=√2sinx，图象关于x=π/4+kπ/2对称。8.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(-1,-0.5)上的单调性为______。参考答案：单调递增解析：f'(x)=-x/(x²-1)²，在(-1,-0.5)上x<0，f'(x)>0。9.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[0,1]上的最大值为______。参考答案：2解析：分段函数f(x)=3-x，x∈[0,1]2，x∈[1,2]在x=0处取得最大值2。10.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于______对称。参考答案：直线x=1解析：f(x-1)=-f(x)，图象关于x=1对称。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上单调递增。（√）解析：f'(x)=3x²≥0，函数单调递增。2.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上取得最小值0。（√）解析：f(-1)=1，f(0)=0，f(1)=1，最小值为0。3.函数f(x)=sinx在区间[0,2π]上单调递减。（×）解析：函数在[0,π]单调递增，在[π,2π]单调递减。4.函数f(x)=e^x在R上单调递增。（√）解析：f'(x)=e^x>0，函数单调递增。5.函数f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增。（√）解析：f'(x)=1/x>0，函数单调递增。6.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值。（√）解析：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，取得极大值。7.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上单调递增。（√）解析：分段函数在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增。8.函数f(x)=sin(2x)在区间[0,π/2]上取得最大值1。（√）解析：f(π/4)=1，为最大值。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于原点对称。（×）解析：f(-x)≠-f(x)，非奇函数。10.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(1,2)上单调递减。（√）解析：f'(x)=-x/(x²-1)²<0，函数单调递减。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间。解：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，函数单调递增。单调增区间：(-∞,-1)∪(1,+∞)，单调减区间：(-1,1)。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：分段函数f(x)=-2x-1，x∈(-∞,-2]3，x∈(-2,1]2x+1，x∈(1,+∞)在x=-2处取得最小值3，取值范围为[3,+∞)。3.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期及对称轴方程。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π，对称轴方程为2x+π/3=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/12，k∈Z。4.求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的极值点及极值。解：f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，令f'(x)=0得x=1,3，f''(1)=-6<0，取得极大值f(1)=5；f''(3)=6>0，取得极小值f(3)=1。5.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值及极值类型。解：f'(x)=e^x-a，令f'(1)=e-a=0得a=e，f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，取得极小值f(1)=e-e=0。6.求函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的周期及最小正周期。解：f(x)=√2sinx，周期T=2π/|k|=2π，最小正周期为2π。7.求函数f(x)=x/(x²-1)的单调区间。解：f'(x)=-x/(x²-1)²，当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，函数单调递增。单调增区间：(-∞,-1)∪(1,+∞)，单调减区间：(-1,1)。8.求函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间[0,3]上的最大值及最小值。解：分段函数f(x)=3-x，x∈[0,1]2，x∈[1,2]x-1，x∈[2,3]在x=0处取得最大值3，在x=1.5处取得最小值2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+10x+100（万元），求产量x=10时的边际成本及平均成本。解：边际成本C'(x)=2x+10，当x=10时C'(10)=30万元；平均成本C(x)/x=x+10+100/x，当x=10时C(10)/10=120万元。2.某商品的需求函数为p=50-2x（元），求当x=10时的需求弹性。解：需求弹性E=-dp/dx•x/p=-(-2)•10/(50-2×10)=1。3.某产品的收入函数为R(x)=20x-0.01x²（元），求边际收入及收入最大时的产量。解：边际收入R'(x)=20-0.02x，令R'(x)=0得x=1000，R''(1000)=-0.02<0，收入最大值为R(1000)=10000元。4.某产品的成本函数为C(x)=x²+5x+50（元），求平均成本最低时的产量。解：平均成本C(x)/x=x+5+50/x，令C'(x)/x=1-50/x²=0得x=5√2，C''(5√2)>0，平均成本最低值为C(5√2)=10√2+5+50/(5√2)=15+5√2元。5.某产品的需求函数为p=100-0.5x（元），求当x=20时的需求弹性。解：需求弹性E=-dp/dx•x/p=-(-0.5)•20/(100-0.5×20)=0.2。6.某产品的收入函数为R(x)=30x-0.02x²（元），求边际收入及收入最大时的产量。解：边际收入R'(x)=30-0.04x，令R'(x)=0得x=750，R''(750)=-0.04<0，收入最大值为R(750)=11250元。7.某产品的成本函数为C(x)=x²+4x+80（元），求平均成本最低时的产量。解：平均成本C(x)/x=x+4+80/x，令C'(x)/x=1-80/x²=0得x=4√5，C''(4√5)>0，平均成本最低值为C(4√5)=8√5+4+80/(4√5)=12+4√5元。8.某产品的需求函数为p=60-0.1x（元），求当x=30时的需求弹性。解：需求弹性E=-