2025-2026年江苏人教版高二数学第5章数列综合测试题

2025-2026年江苏人教版高二数学第5章数列综合测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=0+(n-1)×1=n-1，化简得a_n=2n-2，与选项均不符，需重新计算。正确解法：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，即a_1+4d=6。结合a_5=a_1+4d=4，解得a_1=-2，d=2。通项公式为a_n=-2+(n-1)×2=2n-4，选项中无正确答案，需修正命题。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.100B.102C.204D.210解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=1+n(n-1)=n^2-n+1。代入n=10得b_10=100，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。验证n=1时，c_1=S_1=2，符合通项公式。故c_5=2×3^4=162，选项均不符，需重新命题。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=81，d_4=9，则该数列的公比q为（）A.3B.1/3C.3或1/3D.-3或-1/3解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=81得d_4^2=81，即d_4=±9。若d_4=9，则公比q=(d_4/d_2)=9/d_2。又d_4=d_2q^2，联立可得q^3=1，解得q=1。若d_4=-9，则q^3=-1，解得q=-1。故公比q为1或-1，选项均不符，需重新命题。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。验证n=1时，e_1=T_1=2，符合通项公式。故e_3=2×3=6，选项均不符，需重新命题。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{f_n/n}的前10项和为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，f_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时，f_1=S_1=1，符合通项公式。故f_n=n×2^{n-1}。则f_n/n=2^{n-1}。数列{f_n/n}的前10项和为2^0+2^1+…+2^9=2^{10}-1=1023，故选A。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3+a_4的值为（）A.6B.7C.8D.9解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，得a_3=3。故a_3+a_4=3+(3+d)=6+d。因未给出公差d，无法确定具体值，需重新命题。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），则h_6的值为（）A.63B.64C.127D.128解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，得h_n+1-1=2(h_n-1)。令u_n=h_n-1，则u_n+1=2u_n，为等比数列。首项u_1=h_1-1=0，公比q=2。故u_n=0×2^{n-1}=0，即h_n=u_n+1=1。代入n=6得h_6=1，选项均不符，需重新命题。9.若数列{p_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则p_4+p_5+p_6的值为（）A.36B.45C.54D.63解析：由数列前n项和公式S_n=n(n+1)/2，得p_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，p_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n。验证n=1时，p_1=S_1=1，符合通项公式。故p_4+p_5+p_6=8+10+12=30，选项均不符，需重新命题。10.在等比数列{q_n}中，若q_2q_8=64，q_5=4，则该数列的前6项和为（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列性质q_2q_8=q_5^2，代入q_2q_8=64得q_5^2=64，即q_5=±8。若q_5=8，则公比q=(q_5/q_2)=8/d_2。又q_5=q_2q^3，联立可得q^3=1，解得q=1。若q_5=-8，则q^3=-1，解得q=-1。故公比q为1或-1。若q=1，则前6项和为6×q_1=6×8=48；若q=-1，则前6项和为0。选项均不符，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则该数列的通项公式a_n=________。解：设公差为d，则a_5=a_1+4d，代入得14=2+4d，解得d=3。故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+n（n≥1），则b_6=________。解：由递推关系b_n+1=b_n+n，得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+1+2+…+(n-1)=1+n(n-1)/2=(n^2-n)/2+1。代入n=6得b_6=21。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则c_4=________。解：由数列前n项和公式S_n=2^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时，c_1=S_1=1，符合通项公式。故c_4=2^3=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_3d_7=27，d_5=9，则该数列的公比q=________。解：由等比数列性质d_3d_7=d_5^2，代入d_3d_7=27得d_5^2=27，即d_5=±3√3。若d_5=3√3，则公比q=(d_5/d_3)=3√3/d_3。又d_5=d_3q^2，联立可得q^3=1，解得q=1。若d_5=-3√3，则q^3=-1，解得q=-1。故公比q为1或-1。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5=________。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。验证n=1时，e_1=T_1=2，符合通项公式。故e_5=2×5=10。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{f_n/2^n}的前3项和为________。解：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时，f_1=S_1=2，符合通项公式。故f_n=n×2^{n-1}。则f_n/2^n=n×(1/2)^{n-1}。前3项和为1+1/2+1/4=7/4。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，则a_4=________。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，得a_4=5。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=2h_n-1（n≥1），则h_5=________。解：由递推关系h_n+1=2h_n-1，得h_n=2h_{n-1}-1。令u_n=h_n+1，则u_n=2u_{n-1}，为等比数列。首项u_1=h_1+1=3，公比q=2。故u_n=3×2^{n-1}，即h_n=3×2^{n-1}-1。代入n=5得h_5=95。9.若数列{p_n}的前n项和S_n=n^2，则p_3+p_4+p_5+p_6+p_7的值为________。解：由数列前n项和公式S_n=n^2，得p_n=S_n-S_{n-1}=2n-1。故p_3+p_4+p_5+p_6+p_7=5+7+9+11+13=45。10.在等比数列{q_n}中，若q_2q_8=32，q_4=4，则该数列的前5项和为________。解：由等比数列性质q_2q_8=q_4^2，代入q_2q_8=32得q_4^2=32，即q_4=±4√2。若q_4=4√2，则公比q=(q_4/d_2)=4√2/d_2。又q_4=q_2q^2，联立可得q^3=1，解得q=1。若q_4=-4√2，则q^3=-1，解得q=-1。故公比q为1或-1。若q=1，则前5项和为5×q_1=5×4√2=20√2；若q=-1，则前5项和为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。解：由数列前n项和公式S_n=2^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故数列{a_n}的通项公式为a_n=2^{n-1}，是等比数列，正确。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，得3a_2=12，正确。3.若数列{c_n}满足c_n+1/c_n=2（n≥1），则该数列是等比数列。解：由递推关系c_n+1/c_n=2，得数列{c_n}是等比数列，公比q=2，正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，则d_5=±8。解：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_2d_8=64得d_5^2=64，即d_5=±8，正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=2n，正确。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，d=2，则a_10=23。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入得a_10=3+(10-1)×2=23，正确。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则g_n=n×3^{n-1}。解：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，故g_n=n×3^{n-1}错误，正确答案为f_n=2×3^{n-1}。8.在等比数列{h_n}中，若q=1，则数列的前n项和为nq_1。解：若q=1，则数列的前n项和为nq_1，正确。9.若数列{i_n}的前n项和T_n=n^2+n，则i_n=2n。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得i_n=T_n-T_{n-1}=2n，正确。10.在等差数列{j_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=5。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+3n)-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。故a_n=4n+1。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），求b_10的值。解：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=1+n(n-1)=n^2-n+1。代入n=10得b_10=100。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=5，d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入得S_10=10/2[2×5+(10-1)×(-2)]=10×(10-9)=10。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_5的值。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得d_n=T_n-T_{n-1}=2n。故d_5=2×5=10。5.在等比数列{e_n}中，若q=3，a_1=2，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入得S_5=2(1-3^5)/(1-3)=2×(242)/(-2)=-242。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，求f_3的值。解：由数列前n项和公式S_n=2^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故f_3=2^2=4。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，求h_4+h_5+h_6+h_7+h_8的值。解：由数列前n项和公式S_n=n^2+n，得h_n=T_n-T_{n-1}=2n。故h_4+h_5+h_6+h_7+h_8=8+10+12+14+16=60。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的10%，若初始生产能力为1000吨，求5年内总生产能力增加多少吨？解：设生产能力数列为{a_n}，首项a_1=1000，公比q=1.1。5年内总生产能力为S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1000×(1-1.1^5)/(1-1.1)=1000×(1-1.61051)/(-0.1)=1000×6.1051=6105.1吨。总增加量为6105.1-1000=5105.1吨。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=3，a_5=21，求该数列的前10项和S_10。解：设公差为d，则a_5=a_1+4d，代入得21=3+4d，解得d=4。故a_n=3+(n-1)×4=4n-1。前10项和S_10=10/2[2×3+(10-1)×4]=10×(6+36)=420。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，求c_4+c_5+c_6+c_7+c_8的值。解：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得c_n=T_n-T_{n-1}=2n。故c_4+c_5+c_6+c_7+c_8=8+10+12+14+16=60。4.在等比数列{d_n}中，若q=2，a_1=1，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入得S_6=1(1-2^6)/(1-2)=1×(1-64)/(-1)=63。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，求e_3的值。解：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得f_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}。故e_3=2×3^2=18。6.