2025-2026年考研数学一概率统计随机变量的函数练习题

2025-2026年考研数学一概率统计随机变量的函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,2)，则随机变量Z=2X-Y的分布是（）A.N(0,1)B.N(1,2)C.N(0,5)D.N(-1,6)2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=3X+2的分布函数为（）A.F(x/3)B.3F(x)+2C.F((x-2)/3)D.F(x)-23.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=max(X,Y)的分布律为（）|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|A.Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.6，Z=2的概率为0.3B.Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.4，Z=2的概率为0.5C.Z=0的概率为0.3，Z=1的概率为0.4，Z=2的概率为0.3D.Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.3，Z=2的概率为0.64.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，则随机变量Z=X+2Y的数学期望为（）A.μB.μ+1C.μ+0.5D.μ+25.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=2X-Y的数学期望为（）A.1/3B.1/2C.2/3D.16.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布函数为（）A.\Phi(z)B.2\Phi(z)-1C.\sqrt{2}\Phi(\sqrt{2}z)D.\sqrt{2}\Phi(z/\sqrt{2})7.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=min(X,Y)的分布律为（）|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.2|0.1||1|0.3|0.4|A.Z=0的概率为0.5，Z=1的概率为0.5B.Z=0的概率为0.3，Z=1的概率为0.7C.Z=0的概率为0.2，Z=1的概率为0.8D.Z=0的概率为0.4，Z=1的概率为0.68.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的方差为（）A.σ^2B.0.5σ^2C.2σ^2D.\frac{σ^2}{2}9.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=X+Y的分布函数为（）A.1-e^{-z}B.1-(1+e^{-z})C.(1-e^{-z})^2D.1-e^{-2z}10.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=X^2+Y^2的分布为（）A.χ^2(1)B.χ^2(2)C.χ^2(3)D.χ^2(4)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,2)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=3X-2Y的方差为________。2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=2F(X)+1的分布函数为________。3.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=max(X,Y)的数学期望为________。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|4.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，则随机变量Z=X+2Y的方差为________。5.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=2X-Y的方差为________。6.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的数学期望为________。7.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=min(X,Y)的方差为________。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.2|0.1||1|0.3|0.4|8.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的数学期望为________。9.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=X+Y的数学期望为________。10.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=X^2+Y^2的方差为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题后括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=X-Y一定服从N(0,2σ^2)。（）2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=F(X)一定服从均匀分布。（）3.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=max(X,Y)一定服从二项分布。（）|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|4.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，则随机变量Z=X+2Y一定服从正态分布。（）5.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=2X-Y一定服从均匀分布。（）6.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}一定服从卡方分布。（）7.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=min(X,Y)一定服从几何分布。（）|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.2|0.1||1|0.3|0.4|8.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=\frac{X+Y}{2}一定服从N(μ,σ^2)。（）9.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=X+Y一定服从指数分布。（）10.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=X^2+Y^2一定服从χ^2分布。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，请解释为什么随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布不是正态分布。2.设随机变量X的分布函数为F(x)，请解释如何通过F(x)得到随机变量Y=F(X)的分布函数。3.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，请计算随机变量Z=max(X,Y)的方差。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|4.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，请解释为什么随机变量Z=X+2Y的分布不是正态分布。5.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，请解释如何计算随机变量Z=2X-Y的数学期望。6.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，请解释为什么随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布不是指数分布。7.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，请计算随机变量Z=min(X,Y)的数学期望。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.2|0.1||1|0.3|0.4|8.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，请解释为什么随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的分布仍然是正态分布。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，请计算随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布函数F_Z(z)。2.设随机变量X的分布函数为F(x)，请构造一个随机变量Y，使得Y～U(0,1)。3.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，请计算随机变量Z=max(X,Y)的期望E(Z)。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|4.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，请计算随机变量Z=X+2Y的方差Var(Z)。5.设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，请计算随机变量Z=2X-Y的分布函数F_Z(z)。6.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，请计算随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的数学期望E(Z)。7.设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，请计算随机变量Z=min(X,Y)的方差Var(Z)。|X\Y|0|1||-----|---|---||0|0.2|0.1||1|0.3|0.4|8.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，请计算随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的分布函数F_Z(z)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：因为X～N(0,1)，Y～N(1,2)，所以E(X)=0，Var(X)=1，E(Y)=1，Var(Y)=2。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3×0-2×1=-2，Var(Z)=Var(3X-2Y)=9Var(X)+4Var(Y)=9×1+4×2=17。因此，Z～N(-2,17)。2.C解析：设随机变量Y=3X+2的分布函数为F_Y(y)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(3X+2≤y)=P(X≤\frac{y-2}{3})=F_X(\frac{y-2}{3})。因此，Y的分布函数为F_Y(y)=F_X((y-2)/3)。3.A解析：Z=max(X,Y)的可能取值为0，1，2。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.1，P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.3+0.4=0.9，P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=0.4。因此，Z的分布律为Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.6，Z=2的概率为0.3。4.A解析：因为X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，且X与Y相互独立，所以E(X)=μ，Var(X)=σ^2，E(Y)=\frac{1}{2}，Var(Y)=\frac{1}{12}。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=μ+2×\frac{1}{2}=μ+1，Var(Z)=Var(X+2Y)=Var(X)+4Var(Y)=σ^2+4×\frac{1}{12}=σ^2+\frac{1}{3}。因此，Z的数学期望为μ。5.B解析：因为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，所以Z=2X-Y的取值范围为(-∞,2]。对于z<0，F_Z(z)=P(Z≤z)=0；对于0≤z≤2，F_Z(z)=P(2X-Y≤z)=\int_0^1\int_0^{\min(2x,z)}1dydx=\int_0^{\frac{z}{2}}2xdx+\int_{\frac{z}{2}}^1(2x-z)dx=\frac{z^2}{4}+(2-\frac{z}{2})^2-\frac{z^2}{4}=\frac{z^2}{4}+4-2z+\frac{z^2}{4}=1-\frac{z^2}{2}。因此，Z的数学期望为E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}zf_Z(z)dz=\int_0^2z(1-\frac{z^2}{2})dz=\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{8}\right]_0^2=2-2=1。6.D解析：因为X～N(0,1)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布函数为F_Z(z)=P(Z≤z)=P(\sqrt{X^2+Y^2}≤z)=P(X^2+Y^2≤z^2)。当z>0时，F_Z(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^ze^{-\frac{r^2}{2}}rdrd\theta=\frac{1}{2\pi}\cdot2\pi\int_0^zre^{-\frac{r^2}{2}}dr=1-e^{-\frac{z^2}{2}}。因此，Z的分布函数为F_Z(z)=\sqrt{2}\Phi(z/\sqrt{2})。7.A解析：Z=min(X,Y)的可能取值为0，1。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.1+0.3=0.6，P(Z=1)=1-P(Z=0)=0.4。因此，Z的分布律为Z=0的概率为0.6，Z=1的概率为0.4。8.A解析：因为X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，且X与Y相互独立，所以E(X)=μ，Var(X)=σ^2，E(Y)=μ，Var(Y)=σ^2。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(\frac{X+Y}{2})=\frac{E(X)+E(Y)}{2}=\frac{μ+μ}{2}=μ，Var(Z)=Var(\frac{X+Y}{2})=\frac{Var(X)+Var(Y)}{4}=\frac{σ^2+σ^2}{4}=σ^2。因此，Z的方差为σ^2。9.A解析：因为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，所以Z=X+Y的取值范围为[0,∞)。对于z≥0，F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=\int_0^z\int_0^{z-x}2e^{-(x+y)}dydx=\int_0^z2e^{-x}(1-e^{-y})dydx=\int_0^z2e^{-x}dydx=\int_0^z2e^{-x}dx=1-e^{-z}。因此，Z的分布函数为F_Z(z)=1-e^{-z}。10.B解析：因为X～N(0,1)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=X^2+Y^2的分布为χ^2(2)。这是因为X^2～χ^2(1)，Y^2～χ^2(1)，且X^2与Y^2相互独立，所以X^2+Y^2～χ^2(1+1)=χ^2(2)。二、填空题1.10解析：因为X～N(1,2)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以E(X)=1，Var(X)=2，E(Y)=0，Var(Y)=1。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3×1-2×0=3，Var(Z)=Var(3X-2Y)=9Var(X)+4Var(Y)=9×2+4×1=18+4=22。因此，Z的方差为22。2.F(x)解析：因为X的分布函数为F(x)，所以Y=F(X)的分布函数为F_Y(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))。因此，Y的分布函数为F(x)。3.0.7解析：Z=max(X,Y)的可能取值为0，1。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.1，P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.3+0.4=0.9。因此，E(Z)=0×0.1+1×0.9=0.9。4.5/12解析：因为X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，且X与Y相互独立，所以E(X)=μ，Var(X)=σ^2，E(Y)=\frac{1}{2}，Var(Y)=\frac{1}{12}。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=μ+2×\frac{1}{2}=μ+1，Var(Z)=Var(X+2Y)=Var(X)+4Var(Y)=σ^2+4×\frac{1}{12}=σ^2+\frac{1}{3}。因此，Z的方差为σ^2+\frac{1}{3}。5.1/3解析：因为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，所以Z=2X-Y的取值范围为(-∞,2]。对于z<0，F_Z(z)=0；对于0≤z≤2，F_Z(z)=P(2X-Y≤z)=\int_0^1\int_0^{\min(2x,z)}1dydx=\int_0^{\frac{z}{2}}2xdx+\int_{\frac{z}{2}}^1(2x-z)dx=\frac{z^2}{4}+(2-\frac{z}{2})^2-\frac{z^2}{4}=1-\frac{z^2}{2}。因此，Z的数学期望为E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}zf_Z(z)dz=\int_0^2z(1-\frac{z^2}{2})dz=\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{8}\right]_0^2=2-2=1。6.\sqrt{\frac{\pi}{2}}解析：因为X～N(0,1)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=\sqrt{X^2+Y^2}的数学期望为E(Z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}。这是因为Z～χ^2(2)，所以E(Z)=\sqrt{2}。7.0.5解析：Z=min(X,Y)的可能取值为0，1。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.1+0.3=0.6，P(Z=1)=1-P(Z=0)=0.4。因此，E(Z)=0×0.6+1×0.4=0.4。8.μ解析：因为X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，且X与Y相互独立，所以E(X)=μ，Var(X)=σ^2，E(Y)=μ，Var(Y)=σ^2。又因为X与Y相互独立，所以E(Z)=E(\frac{X+Y}{2})=\frac{E(X)+E(Y)}{2}=\frac{μ+μ}{2}=μ，Var(Z)=Var(\frac{X+Y}{2})=\frac{Var(X)+Var(Y)}{4}=\frac{σ^2+σ^2}{4}=σ^2。因此，Z的数学期望为μ。9.1解析：因为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，所以Z=X+Y的取值范围为[0,∞)。对于z≥0，F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=\int_0^z\int_0^{z-x}2e^{-(x+y)}dydx=\int_0^z2e^{-x}(1-e^{-y})dydx=\int_0^z2e^{-x}dydx=\int_0^z2e^{-x}dx=1-e^{-z}。因此，Z的数学期望为E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}zf_Z(z)dz=\int_0^{\infty}ze^{-z}dz=\left[-ze^{-z}\right]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-z}dz=0+1=1。10.2解析：因为X～N(0,1)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=X^2+Y^2的方差为Var(Z)=2。这是因为Z～χ^2(2)，所以Var(Z)=2。三、判断题1.√解析：因为X～N(0,1)，Y～N(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=X-Y一定服从N(0,2σ^2)。这是因为X-Y～N(0,σ^2+σ^2)=N(0,2σ^2)。2.√解析：因为X的分布函数为F(x)，所以Y=F(X)一定服从均匀分布。这是因为F(x)是单调递增的，且F(x)的值域为[0,1]，所以Y=F(X)～U(0,1)。3.×解析：设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=max(X,Y)的分布律为Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.9。因此，Z的分布律为Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.9。因此，Z的分布律为Z=0的概率为0.1，Z=1的概率为0.9。4.√解析：因为X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，且X与Y相互独立，所以Z=X+2Y的分布为N(μ,5σ^2)。这是因为X+2Y～N(μ,σ^2+4σ^2)=N(μ,5σ^2)。5.×解析：设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=2X-Y的分布函数为F_Z(z)=P(2X-Y≤z)=\int_0^1\int_0^{\min(2x,z)}1dydx=\int_0^{\frac{z}{2}}2xdx+\int_{\frac{z}{2}}^1(2x-z)dx=\frac{z^2}{4}+(2-\frac{z}{2})^2-\frac{z^2}{4}=1-\frac{z^2}{2}。因此，Z的分布函数为F_Z(z)=1-\frac{z^2}{2}。6.×解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布不是指数分布。这是因为Z～χ^2(2)，所以Z的分布不是指数分布。7.×解析：设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=min(X,Y)的分布律为Z=0的概率为0.6，Z=1的概率为0.4。因此，Z的分布律为Z=0的概率为0.6，Z=1的概率为0.4。8.√解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的分布仍然是正态分布。这是因为X+Y～N(2μ,2σ^2)，所以Z～N(μ,σ^2)。9.√解析：设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&x≥0,y≥0\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=X+Y的分布函数为F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=\int_0^z\int_0^{z-x}2e^{-(x+y)}dydx=\int_0^z2e^{-x}(1-e^{-y})dydx=\int_0^z2e^{-x}dydx=\int_0^z2e^{-x}dx=1-e^{-z}。因此，Z的分布函数为F_Z(z)=1-e^{-z}。10.√解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=X^2+Y^2的分布为χ^2(2)。这是因为X^2～χ^2(1)，Y^2～χ^2(1)，且X^2与Y^2相互独立，所以X^2+Y^2～χ^2(1+1)=χ^2(2)。四、简答题1.解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布不是正态分布。这是因为Z～χ^2(2)，所以Z的分布不是正态分布。正态分布的密度函数是连续的，而χ^2(2)的密度函数是离散的。2.解析：设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=F(X)的分布函数为F_Y(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))。因此，Y的分布函数为F(x)。3.解析：设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=max(X,Y)的方差为Var(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^2。Z的可能取值为0，1。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.1，P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.3+0.4=0.9。因此，E(Z)=0×0.1+1×0.9=0.9，E(Z^2)=0^2×0.1+1^2×0.9=0.9。因此，Var(Z)=0.9-0.9^2=0.9-0.81=0.09。4.解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，则随机变量Z=X+2Y的分布不是正态分布。这是因为X+2Y～N(μ,5σ^2)，所以Z的分布不是正态分布。5.解析：设随机变量X与Y的联合概率密度函数为f(x,y)=\begin{cases}1,&0≤x≤1,0≤y≤x\\0,&其他\end{cases}，则随机变量Z=2X-Y的数学期望为E(Z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}zf(x,y)dxdy=\int_0^1\int_0^x(2x-y)dydx=\int_0^1(2x^2-\frac{x^2}{2})dx=\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^3}{6}\right]_0^1=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6}。6.解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布不是指数分布。这是因为Z～χ^2(2)，所以Z的分布不是指数分布。7.解析：设随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，则随机变量Z=min(X,Y)的数学期望为E(Z)=0×0.6+1×0.4=0.4。8.解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)，则随机变量Z=\frac{X+Y}{2}的分布仍然是正态分布。这是因为X+Y～N(2μ,2σ^2)，所以Z～N(μ,σ^2)。五、应用题1.解析：设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则随机变量Z=\sqrt{X^2+Y^2}的分布函数为F_Z(z)=P(Z≤z)=P(\sqrt{X^2+Y^2}≤z)=P(X^2+Y^2≤z^2)。当z>0时，F_Z(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^ze^{-\