2025-2026年考研数学一高等数学二重积分习题

2025-2026年考研数学一高等数学二重积分习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x,y)在区域D上连续，则下列关于二重积分∬_Df(x,y)dxdy的叙述中，正确的是（）A.若f(x,y)在D上非负，则积分值一定为零B.若积分区域D关于x轴对称，则积分值为零C.若f(x,y)在D上可积，则积分值与区域D的划分方式无关D.若f(x,y)在D上恒等于零，则积分值为零解析：选项A错误，因为即使f(x,y)非负，只要区域D有面积，积分值不为零。选项B错误，只有当f(x,y)关于y轴奇对称时积分才为零。选项C正确，二重积分的定义与区域划分无关。选项D正确，恒等于零的函数在任意区域上的积分为零。正确答案为C。2.计算∬_D(x^2+y^2)dxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1围成的区域。（）A.1/3B.2/3C.1D.4/3解析：积分区域D由y=x^2和y=1围成，x的取值范围是[-1,1]。将积分转换为先对x后对y的顺序：∬_D(x^2+y^2)dxdy=∫_0^1∫_{-√y}^{√y}(x^2+y^2)dxdy=∫_0^1[x^3/3+xy^2]_{-√y}^{√y}dy=∫_0^1(2y^(3/2)+2y^2)dy=[4/5y^(5/2)+2/3y^3]_0^1=28/15。正确答案为无正确选项，需修正题目。3.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足f(x,y)=2+∬_D(x^2+y^2)f(x,y)dxdy，则f(x,y)的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：设积分值为I，则f(x,y)=2+I。将f(x,y)代入积分：I=∬_D(x^2+y^2)(2+I)dxdy=2∬_D(x^2+y^2)dxdy+I∬_D(x^2+y^2)dxdy令J=∬_D(x^2+y^2)dxdy，则I=2J+IJ，解得I=2/(1-J)。考虑区域为单位圆，J=π/2，代入得I=4。因此f(x,y)=6。正确答案为无正确选项，需修正题目。4.将积分∬_De^(-x^2-y^2)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则下列表达式中正确的是（）A.∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}rdrdθB.∫_{-π}^π∫_0^1e^{-r^2}rdrdθC.∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}drdθD.∫_{-π}^π∫_{-1}^1e^{-x^2}dxdy解析：极坐标转换中，dxdy=rdrdθ，且x^2+y^2=r^2。选项A正确，选项B积分区间错误，选项C缺少r，选项D为直角坐标形式。正确答案为A。5.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足∬_Df(x,y)dxdy=1，则下列说法中正确的是（）A.f(x,y)在D上处处不为零B.f(x,y)在D上的最大值一定大于1C.f(x,y)在D上的平均值一定等于1D.f(x,y)在D上至少存在一点使得f(x,y)=1解析：选项A错误，f(x,y)可取0值。选项B错误，f(x,y)最大值可能小于1。选项C正确，平均值=积分值/面积。选项D错误，f(x,y)可处处小于1。正确答案为C。6.计算∬_D|y-x|dxdy，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域。（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2解析：|y-x|分段处理，y=x时积分区域分为三角形1和三角形2。积分：∬_D|y-x|dxdy=∬_{D1}(y-x)dxdy+∬_{D2}(x-y)dxdy=∫_0^1∫_0^x(y-x)dydx+∫_0^1∫_x^1(x-y)dydx=[y^2/2-xy]_0^xdx+[xy-y^2/2]_x^1dx=[x^3/6]_0^1=1/6。正确答案为A。7.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足∬_Df(x,y)dxdy=1，则下列说法中正确的是（）A.f(x,y)在D上处处不为零B.f(x,y)在D上的最大值一定大于1C.f(x,y)在D上的平均值一定等于1D.f(x,y)在D上至少存在一点使得f(x,y)=1解析：选项A错误，f(x,y)可取0值。选项B错误，f(x,y)最大值可能小于1。选项C正确，平均值=积分值/面积。选项D错误，f(x,y)可处处小于1。正确答案为C。8.计算∬_D(x+y)^2dxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1围成的区域。（）A.1/3B.2/3C.1D.4/3解析：积分区域D由y=x^2和y=1围成，x的取值范围是[-1,1]。将积分转换为先对x后对y的顺序：∬_D(x+y)^2dxdy=∫_0^1∫_{-√y}^{√y}(x^2+2xy+y^2)dxdy=∫_0^1[x^3/3+xy^2+y^2x]_{-√y}^{√y}dy=∫_0^1(2y^(3/2)+2y^2)dy=[4/5y^(5/2)+2/3y^3]_0^1=28/15。正确答案为无正确选项，需修正题目。9.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足f(x,y)=2+∬_D(x^2+y^2)f(x,y)dxdy，则f(x,y)的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：设积分值为I，则f(x,y)=2+I。将f(x,y)代入积分：I=∬_D(x^2+y^2)(2+I)dxdy=2∬_D(x^2+y^2)dxdy+I∬_D(x^2+y^2)dxdy令J=∬_D(x^2+y^2)dxdy，则I=2J+IJ，解得I=2/(1-J)。考虑区域为单位圆，J=π/2，代入得I=4。因此f(x,y)=6。正确答案为无正确选项，需修正题目。10.将积分∬_De^(-x^2-y^2)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则下列表达式中正确的是（）A.∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}rdrdθB.∫_{-π}^π∫_0^1e^{-r^2}rdrdθC.∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}drdθD.∫_{-π}^π∫_{-1}^1e^{-x^2}dxdy解析：极坐标转换中，dxdy=rdrdθ，且x^2+y^2=r^2。选项A正确，选项B积分区间错误，选项C缺少r，选项D为直角坐标形式。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足∬_Df(x,y)dxdy=1，则f(x,y)在D上的平均值为______。2.计算∬_Dx^2ydxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1围成的区域，则积分值为______。3.将积分∬_De^(-x^2-y^2)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则积分表达式为______。4.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足f(x,y)=3+∬_D(x+y)f(x,y)dxdy，则f(x,y)的值为______。5.计算∬_D|y-x|dxdy，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域，则积分值为______。6.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足∬_Df(x,y)dxdy=2，则f(x,y)在D上的平均值为______。7.计算∬_D(x+y)^2dxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1围成的区域，则积分值为______。8.将积分∬_Dsin(x+y)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则积分表达式为______。9.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足f(x,y)=1+∬_D(x^2+y^2)f(x,y)dxdy，则f(x,y)的值为______。10.计算∬_De^xsinydxdy，其中D是由x=0，y=0，x=π，y=π/2围成的区域，则积分值为______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列各题是否正确，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”。）1.若函数f(x,y)在区域D上连续，则∬_Df(x,y)dxdy的值与区域D的形状无关。（）2.若积分区域D关于x轴对称，则∬_Dxdxdy的值为零。（）3.若函数f(x,y)在区域D上连续，且f(x,y)≥0，则∬_Df(x,y)dxdy的值一定大于零。（）4.若函数f(x,y)在区域D上连续，且∬_Df(x,y)dxdy=0，则f(x,y)在D上处处为零。（）5.将积分∬_De^(-x^2-y^2)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则积分表达式为∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}rdrdθ。（）6.若函数f(x,y)在区域D上连续，且满足f(x,y)=2+∬_D(x^2+y^2)f(x,y)dxdy，则f(x,y)的值为4。（）7.计算∬_D|y-x|dxdy，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域，则积分值为1/6。（）8.设函数f(x,y)在区域D上连续，且满足∬_Df(x,y)dxdy=1，则f(x,y)在D上的最大值一定大于1。（）9.将积分∬_Dsin(x+y)dxdy转换为极坐标形式后，其中D为圆域x^2+y^2≤1，则积分表达式为∫_0^{2π}∫_0^1sin(r(1+cosθ))rdrdθ。（）10.计算∬_De^xsinydxdy，其中D是由x=0，y=0，x=π，y=π/2围成的区域，则积分值为-1。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述二重积分的定义及其几何意义。2.简述将二重积分转换为极坐标形式的步骤。3.简述二重积分的对称性定理及其应用条件。4.简述二重积分的线性性质及其表达式。5.简述二重积分的积分区域分割定理。6.简述二重积分的估值定理及其应用。7.简述二重积分的换序定理及其应用条件。8.简述二重积分的应用，如计算面积、体积等。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请结合具体案例解答下列问题。）1.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=2x围成的区域。2.计算二重积分∬_De^(-x^2-y^2)dxdy，其中D为圆域x^2+y^2≤1。3.计算二重积分∬_D|y-x|dxdy，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域。4.计算二重积分∬_D(x+y)^2dxdy，其中D是由抛物线y=x^2和直线y=1围成的区域。5.计算二重积分∬_Dsin(x+y)dxdy，其中D为圆域x^2+y^2≤1。6.计算二重积分∬_De^xsinydxdy，其中D是由x=0，y=0，x=π，y=π/2围成的区域。7.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dxdy，其中D是由圆x^2+y^2=1和圆x^2+y^2=4围成的环形区域。8.计算二重积分∬_D(x+y)^2dxdy，其中D是由圆x^2+y^2=1和圆x^2+y^2=4围成的环形区域。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.无正确选项，需修正题目3.无正确选项，需修正题目4.A5.C6.A7.C8.无正确选项，需修正题目9.无正确选项，需修正题目10.A二、填空题1.12.1/123.∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}rdrdθ4.45.1/66.17.7/158.∫_0^{2π}∫_0^1sin(r(1+cosθ))rdrdθ9.310.1三、判断题1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.二重积分的定义：设f(x,y)是定义在平面有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割为n个小区域，在每个小区域上任取一点(x_i,y_i)，作和式S_n=Σf(x_i,y_i)Δσ_i，当各小区域的直径的最大值趋于零时，和式的极限存在，则称此极限为f(x,y)在D上的二重积分，记作∬_Df(x,y)dxdy。几何意义：当f(x,y)≥0时，∬_Df(x,y)dxdy表示以z=f(x,y)为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积。2.将二重积分转换为极坐标形式的步骤：①将积分区域D用极坐标表示；②将f(x,y)中的x,y用r,θ表示；③将dxdy转换为rdrdθ；④计算新的积分表达式。3.二重积分的对称性定理：若积分区域D关于x轴（或y轴）对称，且f(x,y)关于y（或x）轴对称，则∬_Df(x,y)dxdy=2∬_{D上半}f(x,y)dxdy（或∬_Df(x,y)dxdy=2∬_{D右半}f(x,y)dxdy）；若f(x,y)关于y（或x）轴反对称，则∬_Df(x,y)dxdy=0。4.二重积分的线性性质：①∬_D[cf(x,y)+kg(x,y)]dxdy=c∬_Df(x,y)dxdy+k∬_Dg(x,y)dxdy；②∬_Df(x,y)dxdy=∬_{D1}f(x,y)dxdy+∬_{D2}f(x,y)dxdy。5.二重积分的积分区域分割定理：设f(x,y)在区域D上可积，将D分割为D1和D2，则f(x,y)在D上的二重积分等于f(x,y)在D1和D2上的二重积分之和。6.二重积分的估值定理：设f(x,y)在区域D上可积，且m≤f(x,y)≤M，则mS(D)≤∬_Df(x,y)dxdy≤MS(D)，其中S(D)为区域D的面积。7.二重积分的换序定理：设f(x,y)在区域D上可积，将D用不等式表示为y1(x)≤y≤y2(x)，x∈[a,b]，则∬_Df(x,y)dxdy=∫_a^b∫_{y1(x)}^{y2(x)}f(x,y)dydx。8.二重积分的应用：①计算平面图形的面积：S(D)=∬_D1dxdy；②计算曲顶柱体的体积：V=∬_Df(x,y)dxdy；③计算曲面面积；④计算物理量，如质量、重心、转动惯量等。五、应用题1.解：积分区域D由抛物线y=x^2和直线y=2x围成，交点为(0,0)和(2,4)。将积分转换为先对y后对x的顺序：∬_D(x^2+y^2)dxdy=∫_0^2∫_{x^2}^{2x}(x^2+y^2)dydx=∫_0^2[x^2y+y^3/3]_{x^2}^{2x}dx=∫_0^2(2x^3+8x^3/3-x^5-x^6/3)dx=[x^4/2+16x^4/12-x^6/6-x^7/21]_0^2=64/21。2.解：将积分转换为极坐标形式：∬_De^(-x^2-y^2)dxdy=∫_0^{2π}∫_0^1e^{-r^2}rdrdθ=∫_0^{2π}[-1/2e^{-r^2}]_0^1dθ=∫_0^{2π}(1/2-1/2e^{-1})dθ=π(1-e^{-1})。3.解：积分区域D由x=0，y=0，x+y=1围成，将积分转换为先对y后对x的顺序：∬_D|y-x|dxdy=∫_0^1∫_0^x(x-y)dydx+∫_0^1∫_x^1(y-x)dydx=∫_0^1[xy-y^2/2]_0^xdx+∫_0^1[xy-y^2/2]_x^1dx=∫_0^1(x^2/2)dx+∫_0^1(x-x^2/2-x^2+x^3/2)dx=[x^3/6]_0^1+[x^2/2-x^3/6-x^3/3+x^4/8]_0^1=1/6。4.解：积分区域D由抛物线y=x^2和直线y=1围成，将积分转换为先对y后对x的顺序：∬_D(x+y)^2dxdy=∫_0^1∫_{x^2}^{1}(x^2+2xy+y^2)dydx=∫_0^1[x^2y+xy^2+y^3/3]_{x^2}^{1}dx=∫_0^1(x^2+x^2-x^5-x^6+1/3-x^6/3)dx=[x^3+x^3/2-x^6/6-x^