2024考研数学二习题集｜学霸笔记配套

2024考研数学二习题集｜学霸笔记配套一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上可导，且$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x}-1}=1$，则$f'(1)$等于（）。A.$-1$B.$1$C.$2$D.$3$解析：由$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x}-1}=1$，得$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=1\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=1\cdot\frac{1}{2}=1$，故$f'(1)=1$，选B。2.已知函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$g'(x^2)$等于（）。A.$\sin(x^4)$B.$2x\sin(x^4)$C.$4x^3\sin(x^4)$D.$x\sin(x^4)$解析：由$g'(x)=\sin(x^2)$，得$g'(x^2)=\sin((x^2)^2)=\sin(x^4)$，故选A。3.设函数$h(x)=\ln(x+1)-\lnx$，则$h'(x)$等于（）。A.$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x(x+1)}$C.$\frac{1}{x^2+1}$D.$0$解析：$h'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+1)}{x(x+1)}=-\frac{1}{x(x+1)}$，故选B。4.设函数$\varphi(x)=\int_0^x\frac{t^2+1}{t^4+1}dt$，则$\varphi'(x)$等于（）。A.$\frac{x^2+1}{x^4+1}$B.$\frac{x^2-1}{x^4+1}$C.$x\ln(x^2+1)$D.$x\ln(x^4+1)$解析：由微积分基本定理，$\varphi'(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}$，故选A。5.设函数$\psi(x)=\mathrm{e}^x\sinx$，则$\psi'(x)$等于（）。A.$\mathrm{e}^x\sinx+\mathrm{e}^x\cosx$B.$\mathrm{e}^x(\sinx+\cosx)$C.$\mathrm{e}^x\cosx$D.$\mathrm{e}^x(\sinx-\cosx)$解析：$\psi'(x)=(\mathrm{e}^x)'(\sinx)+\mathrm{e}^x(\sinx)'=\mathrm{e}^x\sinx+\mathrm{e}^x\cosx$，故选A。6.设函数$\theta(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$\theta'(x)$等于（）。A.$\frac{1-\lnx}{x^2}$B.$\frac{\lnx-1}{x^2}$C.$\frac{1}{x\lnx}$D.$\frac{1}{x}$解析：$\theta'(x)=\frac{(\lnx)'}{x}-\frac{\lnx}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{\lnx}{x^2}=\frac{1-\lnx}{x^2}$，故选A。7.设函数$\xi(x)=\sqrt{1+\sin^2x}$，则$\xi'(x)$等于（）。A.$\frac{\sinx}{\sqrt{1+\sin^2x}}$B.$\frac{\cosx}{\sqrt{1+\sin^2x}}$C.$\frac{2\sinx\cosx}{\sqrt{1+\sin^2x}}$D.$\frac{\sinx\cosx}{\sqrt{1+\sin^2x}}$解析：$\xi'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2x}}\cdot(1+\sin^2x)'=\frac{1}{2\sqrt{1+\sin^2x}}\cdot2\sinx\cosx=\frac{\sinx\cosx}{\sqrt{1+\sin^2x}}$，故选D。8.设函数$\rho(x)=\arctan(\lnx)$，则$\rho'(x)$等于（）。A.$\frac{1}{x(1+\ln^2x)}$B.$\frac{\lnx}{x(1+\ln^2x)}$C.$\frac{1}{1+\ln^2x}$D.$\frac{1}{x\lnx}$解析：$\rho'(x)=\frac{1}{1+(\lnx)^2}\cdot(\lnx)'=\frac{1}{1+\ln^2x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x(1+\ln^2x)}$，故选A。9.设函数$\sigma(x)=\mathrm{e}^{\sinx}$，则$\sigma'(x)$等于（）。A.$\mathrm{e}^{\sinx}\cosx$B.$\mathrm{e}^{\sinx}\sinx$C.$\cosx$D.$\sinx$解析：$\sigma'(x)=(\mathrm{e}^{\sinx})'=\mathrm{e}^{\sinx}\cdot(\sinx)'=\mathrm{e}^{\sinx}\cosx$，故选A。10.设函数$\tau(x)=\ln(\sinx)$，则$\tau'(x)$等于（）。A.$\frac{\cosx}{\sinx}$B.$\cotx$C.$\tanx$D.$\frac{1}{\sinx}$解析：$\tau'(x)=(\ln(\sinx))'=\frac{1}{\sinx}\cdot(\sinx)'=\frac{\cosx}{\sinx}=\cotx$，故选B。二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设函数$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}dt$，则$f'(2)$等于________。参考答案：$\mathrm{e}^4$解析：由微积分基本定理，$f'(x)=\mathrm{e}^{x^2}$，故$f'(2)=\mathrm{e}^4$。2.设函数$g(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$\lim_{x\to0^+}g(x)$等于________。参考答案：$0$解析：$\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{1}=0$。3.设函数$h(x)=\int_1^x\frac{t^2+1}{t^4+1}dt$，则$h'(x)$等于________。参考答案：$\frac{x^2+1}{x^4+1}$解析：由微积分基本定理，$h'(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}$。4.设函数$\varphi(x)=\arctan(\lnx)$，则$\varphi'(2)$等于________。参考答案：$\frac{1}{4(1+\ln^22)}$解析：$\varphi'(x)=\frac{1}{x(1+\ln^2x)}$，故$\varphi'(2)=\frac{1}{4(1+\ln^22)}$。5.设函数$\psi(x)=\mathrm{e}^{\sinx}$，则$\psi'(0)$等于________。参考答案：$1$解析：$\psi'(x)=\mathrm{e}^{\sinx}\cosx$，故$\psi'(0)=\mathrm{e}^{\sin0}\cos0=1$。6.设函数$\theta(x)=\ln(x+1)-\lnx$，则$\theta'(1)$等于________。参考答案：$-\frac{1}{4}$解析：$\theta'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x(x+1)}$，故$\theta'(1)=-\frac{1}{2\cdot3}=-\frac{1}{6}$。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}dt$，求$f'(x)$，并计算$f'(2)$的值。解：由微积分基本定理，$f'(x)=\mathrm{e}^{x^2}$，故$f'(2)=\mathrm{e}^4$。2.（10分）设函数$g(x)=\frac{\lnx}{x}$，求$\lim_{x\to0^+}g(x)$的值。解：$\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{1}=0$。3.（10分）设函数$h(x)=\int_1^x\frac{t^2+1}{t^4+1}dt$，求$h'(x)$的值。解：由微积分基本定理，$h'(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}$。4.（10分）设函数$\varphi(x)=\arctan(\lnx)$，求$\varphi'(2)$的值。解：$\varphi'(x)=\frac{1}{x(1+\ln^2x)}$，故$\varphi'(2)=\frac{1}{4(1+\ln^22)}$。5.（10分）设函数$\psi(x)=\mathrm{e}^{\sinx}$，求$\psi'(0)$的值。解：$\psi'(x)=\mathrm{e}^{\sinx}\cosx$，故$\psi'(0)=\mathrm{e}^{\sin0}\cos0=1$。6.（10分）设函数$\theta(x)=\ln(x+1)-\lnx$，求$\theta'(1)$的值。解：$\theta'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x(x+1)}$，故$\theta'(1)=-\frac{1}{2\cdot3}=-\frac{1}{6}$。四、综合应用题（共4题，共70分）1.（15分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$f'(x)$，并计算$f'(π)$的值。解：由微积分基本定理，$f'(x)=\sin(x^2)$，故$f'(π)=\sin(π^2)$。2.（15分）设函数$g(x)=\frac{\lnx}{x}$，求$\lim_{x\to0^+}g(x)$的值。解：$\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{1}=0$。3.（15分）设函数$h(x)=\int_1^x\frac{t^2+1}{t^4+1}dt$，求$h'(x)$的值。解：由微积分基本定理，$h'(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}$。4.（15分）设函数$\varphi(x)=\arctan(\lnx)$，求$\varphi'(2)$的值。解：$\varphi'(x)=\frac{1}{x(1+\ln^2x)}$，故$\varphi'(2)=\frac{1}{4(1+\ln^22)}$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B二、填空题1.$\mathrm{e}^4$2.$0$3.$\frac{x^2+1}{x^4+1}$4.$\frac{1}{4(1+\ln^22)}$5.$1$6.$-\frac{1}{6}$三、解答题1.$f'(x)=\mathrm{e}^{x^2}$，$f'(2)=\mathrm{e}^4$2.$\lim_{x\to0^+