专升本高等数学习题集（考点速记）

专升本高等数学习题集（考点速记）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-2x}{x^3}=1$，则$f(0)$和$f'(0)$分别为（）A.$0$和$-2$B.$0$和$2$C.$2$和$-2$D.$2$和$2$2.已知函数$f(x)=\arctan(x^2-2x+3)$，则$f'(1)$的值为（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-1$D.$1$3.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不可导B.可导但导数不连续C.可导且导数连续D.以上均不对4.设函数$y=ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则$\frac{dy}{dx}|_{x=0}$等于（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-1$D.$1$5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0$，$f(\frac{1}{2})=1$，则方程$f'(x)=0$在$(0,1)$内（）A.至少有两个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.无法确定6.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则曲线$y=y(x)$在$x=2$处的曲率半径为（）A.$\frac{1}{2}$B.$2$C.$4$D.$8$7.设函数$f(x)=e^{x^2}-1$，则$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}$等于（）A.$1$B.$2$C.$\frac{1}{2}$D.$0$8.设函数$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，则$\frac{dy}{dx}$等于（）A.$\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$B.$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$C.$\frac{x}{x+\sqrt{x^2+1}}$D.$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$9.设函数$f(x)=\int_0^xt\sint^2\,dt$，则$f'(x)$等于（）A.$x\sinx^2$B.$\sinx^2$C.$\frac{1}{2}x\sinx^2$D.$\frac{1}{2}\sinx^2$10.设函数$y=xe^{-x}$，则$y^{(10)}(0)$的值为（）A.$-\frac{10!}{e}$B.$\frac{10!}{e}$C.$-\frac{9!}{e}$D.$\frac{9!}{e}$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）将答案填在答题卡相应位置。1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}(x^2+\frac{x}{n})^n$，则$f(x)$在$x=1$处的导数为________。2.设函数$y=2^x\lnx$，则$\lim_{x\to1^+}\frac{y(x)-y(1)}{x-1}$等于________。3.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&x\le0\\ax+b&x>0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$a$和$b$的值分别为________和________。4.设函数$y=\arcsin(x-1)$，则$\frac{dy}{dx}|_{x=\frac{1}{2}}$等于________。5.设函数$f(x)=\int_0^xe^{t^2}\,dt$，则$\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$等于________。6.设函数$y=x^2e^x$，则$y^{(100)}(0)$的值为________。三、解答题（共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.（本题满分10分）设函数$y=\ln\sqrt{1-x^2}$，求$\frac{d^3y}{dx^3}|_{x=0}$的值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.A5.B6.C7.B8.C9.A10.A二、填空题1.112.113.a=1,b=014.$-\frac{1}{\sqrt{3}}$15.e16.$100!$三、解答题1.证明：令$F(x)=x^2f(x)$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$，即$2\xif(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0$，即$\xif'(\xi)=-2f(\xi)$。2.解：$f(x)=1-\frac{1}{1+x^2}$，则$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}(-\frac{1}{1+x^2})$。利用莱布尼茨公式，得$f^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{n!}{(1+x^2)^{n+1}}$。令$x=0$，得$f^{(n)}(0)=(-1)^nn!$。3.解：$y=\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$，则$y'=\frac{-x}{1-x^2}$，$y''=\frac{-1}{(1-x^2)^2}$，$y'''=\frac{2x}{(1-x^2)^3}$。故$\frac{d^3y}{dx^3}|_{x=0}=0$。4.解：$f'(x)=x\ln(1+x^2)$，$f''(x)=\ln(1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}$。5.解：$y'=2x\lnx+x$，$y''=2\lnx+3$，$y'''=\frac{2}{x}$。曲率$k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}|_{x=1}=\frac{5}{8\sqrt{2}}$。6.证明：令$F(x)=\int_0^x