第1课时　圆周角定理及其推论

29.2.3圆周角第1课时圆周角定理及其推论教师备课素材示例●情景导入在如图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？【教学与建议】教学：通过学生感兴趣的足球活动引入本课内容，激起学生的学习兴趣．建议：教师要关注学生是否理解示意图，是否理解圆周角的定义．●复习导入(1)如图①，∠AOB是圆心角，顶点在__圆心__的角叫作圆心角；(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__；(3)观察图②，发现∠ACB的顶点在圆周上，∠ACB是圆周角；eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图④))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图⑤))(4)观察图③④⑤，比较∠AOB与∠ACB的度数关系．【教学与建议】教学：通过复习圆心角的概念，导入圆周角的概念及圆周角定理．建议：在探索圆周角定理时，实践操作画出同弧上的圆周角和圆心角．命题角度1圆周角定理这类题利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解决角的度数问题．【例1】(1)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠D的度数是(D)A．70°B．55°C．35.5°D．35°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC＝40°，则∠BOC的度数为__80°__．命题角度2圆周角定理的推论1在进行角度转换时，注意“同弧”“等弧”在角度转换中的过渡作用．【例2】(1)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为(C)A．28°B．42°C．56°D．62°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，A，B，C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M.若∠BAC＝60°，∠ABC＝50°，则∠CBM＝__30°__，∠AMB＝__70°__．命题角度3圆周角定理的推论2这类题目一般情况下，直径是寻找直角的重要条件．【例3】(1)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．若∠ACO＝32°，则∠B＝__58°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(1)题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第(2)题图]))(2)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝__eq\r(2)__．高效课堂教学设计1．学习圆周角、圆周角定理及推论．2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．3．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．▲重点理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．▲难点1．运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．2．独自探索并证明圆周角定理的推论并能应用该推论解决问题．◆活动1新课导入1．(1)圆心角指顶点在__圆心__的角；(2)如图，AB，CD是⊙O的两条弦：①如果AB＝CD，那么__eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))__，__∠AOB＝∠COD__；②如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__；③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))__．◆活动2探究新知1．将圆心角的顶点进行移动，如图①.(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB.∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？图①图②(2)观察图②，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？学生完成并交流展示．2．教材P127～128探究．提出问题：(1)经过测量，图29.2－5中的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么关系？(2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？(3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个？(4)改变动点A在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现了什么？(5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结论还正确吗？(6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？图③图④(7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．顶点在__圆上__，并且两边都与圆__相交__的角叫作圆周角．2．一条弧所对的圆周角等于它所对的__圆心角__的一半．__同弧__或__等弧__所对的圆周角相等．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．◆活动4例题与练习例1教材P129例3.例2如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝eq\r(2)，AC＝1，则∠B＝__45°__．例3如图，AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝5cm.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm).练习1．教材P129～130练习第1，2，3题．2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧eq\o(BAC,\s\up8(︵))上一点，则圆周角∠BAC的度数为__50°__．(第2题图)(第3题图)3．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5cm，则BE＝__10_cm__．◆活动5课堂小结圆周角的定义、定理及推论．1．作业布置(1)教材P132～133习题29.2第3，4，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=