2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛一试（含答案）

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试(A卷)一、填空题：本大题共8小题，每题8分，满分64分.1.平面向量x.y,z满足∣x∣=1,∣y∣=2,∣z∣=3,2.设等差数列·an的公差d≠0.若a₁,2a₂,4a₄,ta₈成等差数列，则实数t=3.在△ABC中,已知tanA-cotB=9,tanB-cotA=13;则tanC=.4.对于k=0,1,2,…,定义集合Ak=20+k26+2k5.在平面直角坐标系中，双曲线Γ:x2a6.若复数z满足||z|+z|+z=i,则z=.?7.设[x]表示不超过实数x的最大整数，定义x=x−x.当m,n都是不超过30的正整数时，8.从一个正方体的12条棱中随机选取6条，将它们染成红色，则事件“该正方体的6个面中，至少有一个面恰含2条红色棱”发生的概率是?二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)求最小的实数C，使得存在实数x及正实数y，满足{10.(本题满分20分).在一个底面半径为1，高为4的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内部有两个半径为1的铁球.设容器内还有若干个大小相同的小铜球与容器的内表面及上述两个铁球都相切.求小铜球个数的最大可能值.11.(本题满分20.分)称满足下述条件(i)和(ii)的实数列a1(i)对任意k=1,2,…,m-1,都有∣(ii)存在正整数i1,i2记m₀为使得m-有趣数列存在的最小正整数m.求m₀的值，并确定不同的m₀-有趣数列的个数.2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2026年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分标准一、填空题：本大题共8题，每题8分，满分64分.1.平面向量x,y,z满足|x|=1,|y|=2,|z|=3,且:x⋅y=x⋅z=2,则y⋅z2.设等差数列{an}的公差d≠0.若a₁,2a₂,4a₄,ta₈成等差数列，则实数t=26.解.由条件知，a1=2×2a2−4a3.在△ABC中,已知tanA-cotB=9,tanB-cotA=13,则tanCtan=4.对于k=0,1,2,…,定义集合Ak={20+k,26+2k},并记Sk解.当n≤4时,Sn中没有完全平方数;当5≤n≤18时,Sn中有25,36这两个完全平方数;当n=19时,Sn中有25,36,64这三个完全平方数.故最小的n为19.5.在平面直角坐标系中，双曲线Γ:x2a解.由Γ经过点P(1,0)知a=1,再由Γ经过点Q(7,12)知49−144b2=1,因此l₁，l₂之间的距离为点P到直线l₂的距离，即∣3×1−0−9∣6.若复数z满足||z|+z|+z=i,则z解.比较等式两边的虚部,可设z=a+i(a∈R).于是∣z∣=aa且a<0.平方得a2+1+a2+1=a2,又a<0,所以a=−447.设[x]表示不超过实数x的最大整数，定义x=x−x.当m,n都是不超过30的正整数时，解.不妨设m≤n.若n>2m,则将n换为n-m之后nm不变，m当n=m时所得为0,当n=2m时所得为12，均不是最大值，故可设m<n<2m，此时mn+nm=m若m≥16,则nm≤3016;若m≤15,则nm≤2m8.从一个正方体的12条棱中，随机选取6条，将它们染成红色，则事件“该正方体的6个面中，至少有一个面恰含2条红色棱”发生的概率是227解.考虑不存在这样的面的情况.将非红色的6条棱染为蓝色.若一个面红色棱多于蓝色棱，则称为红色面，否则称为蓝色面.若红色面至少3个，设R₁，R₂，R₃是红色面，则这三个面必定共顶点，否则可不妨设R₁,R₂相邻,R₂,R₃相邻,但R₁,R₃不相邻,这样红色棱至少有3×3-2=7条,矛盾.若3个红色面R₁，R₂，R₃共顶点u，计算红色棱数可知以u为端点的三条棱均为红色棱，且每个R₂恰3条红色棱，u的对顶点v处3条棱均为蓝色，从而另外3个面均为蓝色面.若至少有三个蓝色面，分析可得类似结论.故恰有三个红色面和三个蓝色面，红色面共顶点u，蓝色面共顶点v，v是u的对顶点，以u为端点的三条棱均为红色，以v为端点的三条棱均为蓝色，每个红色面恰有3条红色棱，每个蓝色面恰有3条蓝色棱.这样剩下的6条棱构成一个6-圈，只能相间地染为红色和蓝色.所以选取u，v有4种方法，确定红色的三个面以及蓝色的三个面有2种方法，剩下6条边染色有2种方法.因此存在一个面恰有两条红色棱的概率为1−二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写初文字说明，证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)求最小的实数C，使得存在实数x及正实数y，满足{解.首先，log2y因此，对于满足条件的C及x，y，有5由基本不等式知C≥2等号成立要求2x=2⋅2−x,即x=12,□10.(本题满分20分)在一个底面半径为1，高为4的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内部有两个半径为1的铁球.设容器内还有若干个大小相同的小铜球与容器内表面及上述两个铁球都相切.求小铜球个数的最大可能值.解.设圆柱的中心为点O，轴线为l，两个半径为1的铁球的球心为A，B.由于A，B到圆柱表面每点的距离≥1,以及AB≥2,因此A,B在轴线l上,且AO=BO=1.设小铜球的半径为r，考虑过轴线与某个小铜球球心C的截面，由相切可知AC=1+r,BC=1+r,以及C到轴线l的距离=1-r，可得12+1−r这样每个小铜球的球心C满足OC=1−r=3现在我们找最大的正整数n使得n·2θ≤2π.由于0<θ<π6,即0<3θ<π2,另一方面，θ>sinθ□注.也可以利用函数fx=sinxx在区间0π2递减，得到sinπ611.(本题满分20分)称满足下述条件(i)和(ii)的实数列a₁,a₂,…,am(m≥10)是一个m-有趣数列：(i)对任意k=1,2,…,m-1,都有∣(ii)存在正整数i₁,i₂,…,i10(i1记m₀为使得m-有趣数列存在的最小正整数m.求m₀的值，并确定不同的m₀-有趣数列的个数.解.设a₁,a₂,…,am为一个m-有趣数列.根据(ii),有结合比例性质知ai3对t=1,2,…,9,有ait+1设q=不妨设|q|>1(否则改为考虑am,a对t=1,2,…,9,有ait+1−aitai2m≥i显然,512-有趣数列存在(例如1,2,3,…,512),故m0=512..当上述不等式取等号时，|s|=