【《倒立摆系统及其数学模型分析案例》4100字】

倒立摆系统及其数学模型分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u14233倒立摆系统及其数学模型分析案例 155881.1系统组成 2154031.1.1倒立摆的组成 277421.1.2电控箱 3287201.1.3其它部件图 3275291.1.4倒立摆特性 3227491.2模型的建立 466421.2.1微分方程的推导 415261.2.2传递函数 653361.2.3状态空间结构方程 734121.2.4实际系统模型 968201.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真 1071271.3根据极点配置法确定反馈系数 11134471.4LQR控制器的设计 1437231.4.1建立模型及分析 14269971.4.2稳定性分析 15241341.4.3倒立摆能控性能分析 16281161.4.4系统调试和结果分析 161.1系统组成倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC机组成的控制平台等三大部分。系统组成框图如图1.1。图1.1倒立摆系统框图1.1.1倒立摆的组成小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移），如图1.2。图1.2小车—并联倒立摆的模型示意图1.1.2电控箱电控箱内安装有如下主要部件：交流伺服驱动器I/O接口板开关电源开关、指示灯等电气元件1.1.3其它部件图①电机倒立摆使用的电机是由日本松下公司提供的小型小惯量电机（MSMA系列，200W）。电机配有专门的驱动器。②编码器倒立摆系统使用的是光电编码器，其工作原理是：利用一块特制的光栅板作为位移检测元件，光栅板上方格之间的距离为0.5mm左右。编码器内部有一个发光元件和两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在编码器下面的光栅板上，再反射回编码器器内。当在光栅板上转动编码器时，由于光栅板上明暗相间的条纹反射光有强弱变化，编码器内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进行计数即可测出移动的距离。③控制卡倒立摆还使用了由固高提供的控制卡，型号是GT-400-SV卡。SV卡的特点是输出类型可以是模拟量或者是脉冲量，它还采用了PID滤波器，外加速度和加速度前馈。通过调节，设置合适的参数，可提高控制系统的速度和精度。1.1.4倒立摆特性虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：①非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。②不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。③耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。④开环不稳定性倒立摆的稳定状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。⑤约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出现小车的撞边现象。1.2模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。1.2.1微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1.4所示我们不妨做以下假设：M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、I摆杆惯、F加在小车上的力、x小车位置、φ摆杆与垂直向上方向的夹角、θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向：图1.5是系统中小车和摆杆的受力分析图。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1.1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1.2）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：a（1.3）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：即：（1.4）力矩平衡方程如下：（1.5）方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（1.6）设（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：。用u代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：（1.7）1.2.2传递函数对方程组（1.7）进行拉普拉斯变换，得到（1.8）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组（1.8）的第一个方程，可以得到：（1.9）把上式代入方程组（1.8）的第二个方程，得到：（1.10）整理后得到传递函数： （1.11）其中：1.2.3状态空间结构方程系统状态空间方程为 （1.12）方程组（1.12）对解代数方程，得到解如下： （1.13）整理后得到系统状态空间方程：（1.14）（1.15）由公式（1.7）的第一个方程为： （1.16）对于质量均匀分布的摆杆有： （1.17）于是可以得到： （1.18）化简得到：（1.19）设，则有：（1.20）实际的系统模型如下：M小车质量0.5Kgm摆杆质量0.2Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.006kg*m*mT采样频率0.005秒注意：在进行实际系统的MATLAB仿真时，我们将采样频率改为实际系统的采样频率。我们的在实际操作中自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则的改用实际参数进行实验。1.2.4实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数：（1.21）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：（1.22）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：（1.23）以外界作用力作为输入的系统状态方程：（1.24）以小车加速度作为输入的系统状态方程：（1.25）需要说明的是，在固高科技所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入，如果、用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。1.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真仿真程序如图1.6所示图1.6可得仿真曲线和结果如图1.7和1.8所示图1.7系统数学模型仿真曲线图1.8系统仿真系数1.3根据极点配置法确定反馈系数系统方程为假定倒立摆杆/小车系统的参数如下：摆干的质量m=0.07kg长度2l=0.4m转动惯量小车的质量M=1.32kg重力加速度g=10m/得到系统矩阵A和输入矩阵B为矩阵A的特征值是方程的根：因此，该系统的特征根分别为特征根之一的实部是正值，所以该系统是不稳定的，由此可知：时，倒立摆系统是不稳定的系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，即达到稳定状态。在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的系统的特征根，以矩阵的特征值给出。系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的左半平面。矩阵特征值是方程式的根：这是s的四次代数方程式，可表示为适当选择反馈系数系数的特征值可以取得所希望的值。把四个特征根设为四次代数方程式的根，则有比较两式有下列联立方程式根据给出的实数和公轭复数的，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数利用方程式可列出关于的方程组：求解后得即施加在小车水平方向的控制力u：上述给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量都可稳定在零的状态。这就意味着即使在初始状态或因存在外扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值，一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。1.4LQR控制器的设计1.4.1建立模型及分析在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设，为足够小的角度，即可近似处理得：，，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个方程如下：取状态变量：即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态方程为：将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：这里设：将参数带入有：四个状态量，，，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。1.4.2稳定性分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析，小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线如下图所示：图1.9小车位移和摆杆角度阶跃响应曲线由图可以看出，小车位移和摆杆角度都是发散的，所以倒立摆系统不稳定。1.4.3倒立摆能控性能分析系统能控性是控制器设计的前提，由能控性矩阵M，利用MATLAB可得出Rank(M)=4,所以系统完全可控。1.4.4系统调试和结果分析根据方案设计结果，取Q11=1，Q33=1时，可得K=[-1-1.785525.4224.6849]。此时系统的响应曲线如下图：图1.10