2025-2026年考研数学一线性代数二次型与合同变换习题

2025-2026年考研数学一线性代数二次型与合同变换习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵形式为A，则矩阵A的秩为（）A.1B.2C.3D.42.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃，若其正惯性指数为2，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a<-1C.a∈(-∞,-1)∪(1,+∞)D.a∈(-1,1)3.设矩阵A=[101;020;103]，矩阵B=[110;101;011]，则矩阵A与B合同当且仅当（）A.存在可逆矩阵P使得B=PᵀAPB.存在正交矩阵P使得B=PᵀAPC.A与B的特征值完全相同D.A与B的秩相同4.若二次型f(x₁,x₂,x₃)通过正交变换x=Pz化简为f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²+3z₂²+5z₃²，则原二次型对应的矩阵A的惯性指数为（）A.(2,1,0)B.(1,2,0)C.(1,1,1)D.(0,2,1)5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在正交变换下的标准形为（）A.x₁²+2x₂²+3x₃²B.x₁²+x₂²+x₃²C.2x₁²+3x₂²+5x₃²D.x₁²+3x₂²+5x₃²6.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的特征值中至少有一个为（）A.0B.1C.2D.37.若二次型f(x₁,x₂,x₃)通过配方法化简为f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²-x₃²，则原二次型对应的矩阵A的合同标准形为（）A.[100;010;00-1]B.[100;010;001]C.[100;010;002]D.[100;010;003]8.设矩阵A=[110;101;011]，矩阵B=[100;010;002]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A的规范形为（）A.[100;010;000]B.[100;010;001]C.[100;010;00-1]D.[100;010;002]9.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的二次型符号差为（）A.1B.2C.3D.410.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在配方法下的标准形为（）A.x₁²+2x₂²+3x₃²B.x₁²+x₂²+x₃²C.2x₁²+3x₂²+5x₃²D.x₁²+3x₂²+5x₃²二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃对应的矩阵A的特征值为λ₁,λ₂,λ₃，则λ₁+λ₂+λ₃=________。2.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃，若其正惯性指数为2，则实数a的取值范围是________。3.设矩阵A=[101;020;103]，矩阵B=[110;101;011]，则矩阵A与B合同当且仅当________。4.若二次型f(x₁,x₂,x₃)通过正交变换x=Pz化简为f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²+3z₂²+5z₃²，则原二次型对应的矩阵A的惯性指数为________。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在正交变换下的标准形为________。6.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的特征值中至少有一个为________。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)通过配方法化简为f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²-x₃²，则原二次型对应的矩阵A的合同标准形为________。8.设矩阵A=[110;101;011]，矩阵B=[100;010;002]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A的规范形为________。9.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的二次型符号差为________。10.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在配方法下的标准形为________。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值均为正数，则f(x₁,x₂,x₃)正定。（）2.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的秩为3。（）3.若二次型f(x₁,x₂,x₃)通过正交变换x=Pz化简为f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²+3z₂²+5z₃²，则原二次型对应的矩阵A的特征值为2,3,5。（）4.设矩阵A=[101;020;103]，矩阵B=[110;101;011]，则矩阵A与B合同。（）5.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃，若其正惯性指数为2，则实数a的取值范围是a>1。（）6.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在正交变换下的标准形为x₁²+2x₂²+3x₃²。（）7.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的二次型符号差为2。（）8.设矩阵A=[110;101;011]，矩阵B=[100;010;002]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A的规范形为[100;010;002]。（）9.若二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A满足Aᵀ=A且A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，则f(x₁,x₂,x₃)在配方法下的标准形为x₁²+2x₂²+3x₃²。（）10.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，其对应的矩阵A的特征值中至少有一个为1。（）四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.请简述二次型的定义及其矩阵表示形式，并举例说明如何将一个二次型表示为矩阵形式。2.请解释二次型的惯性定理，并说明如何通过惯性指数判断二次型的正定性。3.请简述正交变换在二次型化简中的作用，并举例说明如何通过正交变换将一个二次型化简为标准形。4.请解释合同变换的概念，并说明合同变换与正交变换的区别。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，请：（1）写出该二次型对应的矩阵A；（2）求矩阵A的特征值；（3）判断该二次型的正定性。2.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃，若其正惯性指数为2，请求实数a的取值范围。3.设矩阵A=[110;101;011]，请：（1）求矩阵A的特征值；（2）求矩阵A的特征向量；（3）求正交矩阵P使得PᵀAP为对角矩阵。4.对于二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，请：（1）写出该二次型对应的矩阵A；（2）求矩阵A的特征值；（3）通过配方法将二次型化简为标准形。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃对应的矩阵A为：A=[111;122;123]通过行变换求秩：[111;122;123]→[111;011;012]→[111;011;001]秩为3，故选C。2.C解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃对应的矩阵A为：A=[112;11a;2a0]特征多项式为：|λI-A|=|λ-1-1-2;-1λ-1-a;-2-aλ|=(λ-1)[(λ-1)λ-a]-(-1)[-λ²-2a]-(-2)[-aλ-2]=(λ-1)(λ²-λ-a)+λ²+2a+2aλ+4=λ³-2λ²-aλ+4正惯性指数为2，则特征值中有2个正数，1个负数，故需判别式Δ>0且a<0，解得a∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，但需a<0，故选C。3.A解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，故选A。其他选项均不正确。4.A解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)通过正交变换x=Pz化简为f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²+3z₂²+5z₃²，则原二次型对应的矩阵A的特征值为2,3,5，惯性指数为(2,1,0)，故选A。5.A解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，正惯性指数为3，负惯性指数为0，零惯性指数为0，故标准形为x₁²+2x₂²+3x₃²，故选A。6.B解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A为：A=[111;122;123]通过行变换求秩：[111;122;123]→[111;011;012]→[111;011;001]秩为3，故至少有一个特征值不为0，又因为特征值之和为6，故至少有一个特征值为1，故选B。7.A解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)通过配方法化简为f(x₁,x₂,x₃)=(x₁+x₂)²+(x₂-x₃)²-x₃²，对应的矩阵A的合同标准形为[100;010;00-1]，故选A。8.B解析：矩阵A=[110;101;011]，矩阵B=[100;010;002]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A的规范形为[100;010;000]，故选B。9.B解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，正惯性指数为2，负惯性指数为1，零惯性指数为0，故符号差为2-1=1，故选B。10.A解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，在配方法下的标准形为x₁²+2x₂²+3x₃²，故选A。二、填空题1.6解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A为：A=[111;122;123]特征值之和为λ₁+λ₂+λ₃=tr(A)=1+2+3=6。2.a∈(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：同单选题第2题解析。3.存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP。4.(2,1,0)解析：同单选题第4题解析。5.x₁²+2x₂²+3x₃²解析：同单选题第5题解析。6.1解析：同单选题第6题解析。7.[100;010;00-1]解析：同单选题第7题解析。8.[100;010;000]解析：矩阵A=[110;101;011]，特征值为1,1,-1，故规范形为[100;010;000]。9.1解析：同单选题第9题解析。10.x₁²+2x₂²+3x₃²解析：同单选题第10题解析。三、判断题1.√解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A的特征值均为正数，根据惯性定理，正惯性指数为3，故f(x₁,x₂,x₃)正定。2.√解析：同单选题第1题解析。3.×解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)通过正交变换x=Pz化简为f(z₁,z₂,z₃)=2z₁²+3z₂²+5z₃²，原二次型对应的矩阵A的特征值为1,2,3，故该说法错误。4.×解析：矩阵A=[110;101;011]，矩阵B=[100;010;002]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A与B合同，但矩阵A的特征值为1,1,-1，矩阵B的特征值为1,1,2，特征值不同，故不合同。5.×解析：同单选题第2题解析，需a<0，故a>1不正确。6.√解析：同单选题第5题解析。7.√解析：同单选题第9题解析。8.×解析：矩阵A=[110;101;011]，若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则矩阵A的规范形为[100;010;000]，故该说法错误。9.√解析：同单选题第10题解析。10.√解析：同单选题第6题解析。四、简答题1.解：二次型的定义是关于n个变量x₁,x₂,...,xn的二次齐次多项式，其一般形式为f(x₁,x₂,...,xn)=ΣΣaᵢⱼxᵢxⱼ（i≤j），其中aᵢⱼ为实数，对称性要求aᵢⱼ=aⱼᵢ。二次型的矩阵表示形式为f(x)=xᵀAx，其中x为列向量，A为对称矩阵。例如，二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，对应的矩阵A为：A=[111;122;123]故f(x)=[x₁x₂x₃][111;122;123][x₁;x₂;x₃]。2.解：二次型的惯性定理是指：（1）任何实二次型f(x)都可以通过正交变换x=Pz化简为标准形f(z)=λ₁z₁²+λ₂z₂²+...+λₙzₙ²；（2）标准形中正惯性指数（正系数个数）、负惯性指数（负系数个数）和零惯性指数（系数为0的个数）是唯一确定的，与化简方法无关。惯性指数（正惯性指数-负惯性指数）可以判断二次型的正定性：若惯性指数为n，则f(x)正定；若惯性指数为0，则f(x)半正定；若惯性指数为-n，则f(x)负定。3.解：正交变换在二次型化简中的作用是保持二次型的几何性质，即保持距离和角度不变。例如，二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃，对应的矩阵A为：A=[111;122;123]求特征值：|λI-A|=|λ-1-1-1;-1λ-2-2;-1-2λ-3|=(λ-1)[(λ-2)(λ-3)-4]-(-1)[-λ²-2λ-2]-(-1)[-λ-2]=(λ-1)(λ²-5λ+2)+λ²+2λ+2+λ+2=λ³-6λ²+9λ+4解得λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3，对应的特征向量为：λ₁=1时，[011]ᵀ；λ₂=2时，[-101]ᵀ；λ₃=3时，[-1-11]ᵀ，正交化后为：[011]ᵀ；[101]ᵀ；[110]ᵀ，单位化后为：[01/√21/√2]ᵀ；[1/√201/√2]ᵀ；[1/√21/√20]ᵀ，构造正交矩阵P：P=[01/√21/√2;1/√201/√2;1/√21/√20]，则PᵀAP=[100;020;003]，故f(x)=xᵀAx化简为f(z)=z₁²+2z₂²+3z₃²。4.解：合同变换的概念是：若存在可逆矩阵P使得B=PᵀAP，则称矩阵A与B合同。合同变换与正交变换的区别：（1）正交变换要求P为正交矩阵（PᵀP=I），保持向量长度和角度不变；（2）合同变换要求P为可逆矩阵，不保持向量长度和角度，但保持二次型的几何性质。五、应用题1.解：（1）二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃对应的矩阵A为：A=[111;122;123]（2）求矩阵A的特征值：|λI-A|=|λ-1-1-1;-1λ-2-2;-1-2λ-3|=(λ-1)[(λ-2)(λ-3)-4]-(-1)[-λ²-2λ-2]-(-1)[-λ-2]=(λ-1)(λ²-5λ+2)+λ²+2λ+2+λ+2=λ³-6λ²+9λ+4解得λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3（3）判断正定性：特征值均为正数，故f(x₁,x₂,x₃)正定。2.解：二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃对应的矩阵A为：A=[112;11a;2a0]特征多项式为：|λI-A|=|λ-1-1-2;-1λ-1-a