2026年北京市人教版高中数学高二年级上册第3章函数性质测试卷

2026年北京市人教版高中数学高二年级上册第3章函数性质测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间(-2,1)上（）A.既有极大值又有极小值B.只有极大值C.只有极小值D.无极值解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-2,-1)和(1,2)上为正，在(-1,1)上为负，故f(x)在(-2,-1)单调递增，(-1,1)单调递减，(1,2)单调递增，因此x=-1为极大值点，x=1为极小值点，选项B正确。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3，选项C正确。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：f′(x)=2x+2a，f′(1)=0得a=-1，且f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，故x=1为极小值点，选项A正确。4.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，(0,1)单调递增，选项C正确。5.函数f(x)=e^x-x³的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=0时为1，在x=±1时为e-3<0，f(x)在x→-∞时为负，x=0时为1，x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点，选项C正确。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值为（）A.√2B.1C.√3D.2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2，选项A正确。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：f′(x)=3x²-a，f′(1)=0得a=3，且f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，故x=1为极小值点，选项A正确。8.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(0,1)上的最小值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=-x²+1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=1，f(x)在(0,1)单调递增，f(1)=1/2，选项A正确。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点，且均∈(-1,3)，选项C正确。10.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=2x-2C.y=x+1D.y=2x+2解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点为_________参考答案：1+√3/3解析：f′(x)=3x²-3，f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-∞,-1)和(1,∞)为正，在(-1,1)为负，故x=1为极小值点，x=1+√3/3∈(1,2)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________参考答案：3解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3。3.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为_________参考答案：3解析：f′(x)=3x²-a，f′(1)=0得a=3，且f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，故x=1为极小值点。4.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的单调性为_________参考答案：先减后增解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，(0,1)单调递增。5.函数f(x)=e^x-x³的零点个数为_________参考答案：2解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=0时为1，在x=±1时为e-3<0，f(x)在x→-∞时为负，x=0时为1，x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值为_________参考答案：√2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(0,1)上的最小值为_________参考答案：1/2解析：f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=-x²+1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=1，f(x)在(0,1)单调递增，f(1)=1/2。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的极值点个数为_________参考答案：2解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点，且均∈(-1,3)。9.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程为_________参考答案：y=x-1解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的最大值为_________参考答案：2解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极小值。（√）解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，且f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，故x=1为极小值点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处取得最小值。（×）解析：f(x)在x=-2时取得最小值3，x=0时f(x)=3。3.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a一定为3。（√）解析：f′(x)=3x²-a，f′(1)=0得a=3，且f′(x)在x<1时为负，x>1时为正，故x=1为极小值点。4.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上单调递增。（×）解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，(0,1)单调递增。5.函数f(x)=e^x-x³的零点个数为3个。（×）解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=0时为1，在x=±1时为e-3<0，f(x)在x→-∞时为负，x=0时为1，x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值为1。（×）解析：f(x)在(0,π/2)上最大值为√2，f(π/2)=1，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(0,1)上单调递减。（×）解析：f′(x)=-(x²-1)/(x²+1)²，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)单调递增。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的极值点个数为3个。（×）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，故极值点为2个。9.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程为y=2x-2。（×）解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的最大值为3。（×）解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点有哪些？参考答案：x=1±√3/3解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。2.函数f(x)=x/(x²+1)的单调区间是什么？参考答案：(-∞,-1)单调递减，(-1,1)单调递增，(1,∞)单调递减解析：f′(x)=-(x²-1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-∞,-1)和(1,∞)为负，在(-1,1)为正，故单调区间如上。3.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值是多少？参考答案：√2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2。4.函数f(x)=e^x-x³的零点个数是多少？参考答案：2解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=0时为1，在x=±1时为e-3<0，f(x)在x→-∞时为负，x=0时为1，x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。5.函数f(x)=x²ln(x)在x=1处的切线方程是什么？参考答案：y=x-1解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(-1,3)上的最大值是多少？参考答案：2解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？参考答案：3解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3。8.函数f(x)=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的单调性是什么？参考答案：先减后增解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，(0,1)单调递增。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求其单调区间和极值点。参考答案：单调区间：(-∞,1-√3/3)单调递增，(1-√3/3,1+√3/3)单调递减，(1+√3/3,∞)单调递增；极值点：x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故单调区间和极值点如上。2.已知函数f(x)=x/(x²+1)，求其单调区间和最值。参考答案：单调区间：(-∞,-1)单调递减，(-1,1)单调递增，(1,∞)单调递减；最大值：f(1)=1/2；最小值：f(-1)=-1/2。解析：f′(x)=-(x²-1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-∞,-1)和(1,∞)为负，在(-1,1)为正，故单调区间如上；f(x)在x=1时取得最大值1/2，在x=-1时取得最小值-1/2。3.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，求其在区间(0,π/2)上的最大值和最小值。参考答案：最大值：√2；最小值：√3/2。解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2，最小值为√3/2。4.已知函数f(x)=e^x-x³，求其单调区间和零点个数。参考答案：单调区间：(-∞,1)单调递减，(1,∞)单调递增；零点个数：2个。解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=1时为e-3<0，在x→-∞时为负，在x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。5.已知函数f(x)=x²ln(x)，求其在x=1处的切线方程。参考答案：y=x-1解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。6.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求其在区间(-1,3)上的最大值和最小值。参考答案：最大值：2；最小值：-5。解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2，最小值为-5。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求其最小值和取得最小值时的x值。参考答案：最小值：3；取得最小值时的x值：x∈[-2,1]。解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3，取得最小值时的x值范围为-2≤x≤1。8.已知函数f(x)=ln(x²+1)，求其在区间(-1,1)上的单调性。参考答案：单调递减区间：(-1,0)；单调递增区间：(0,1)。解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故单调性如上。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数极值点的判定方法。参考答案：极值点的判定方法：①求导数f′(x)，令f′(x)=0得驻点；②判断驻点两侧导数符号，若符号相反则为极值点，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；③二阶导数检验法，若f′(x)=0且f′′(x)≠0，则f′′(x)>0为极小值点，f′′(x)<0为极大值点。2.论述函数单调性的判定方法。参考答案：函数单调性的判定方法：①求导数f′(x)，若f′(x)>0，则函数单调递增；若f′(x)<0，则函数单调递减；②若f′(x)在区间内恒大于0或恒小于0，则函数在该区间单调；③若f′(x)在区间内为零，则需进一步分析。3.论述函数最值的求法。参考答案：函数最值的求法：①求导数f′(x)，令f′(x)=0得驻点；②计算驻点处的函数值；③计算区间端点处的函数值；④比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。4.论述函数零点存在性定理的应用条件。参考答案：函数零点存在性定理的应用条件：①函数在闭区间[a,b]上连续；②f(a)•f(b)<0，即函数在区间两端点处取值异号；③则函数在(a,b)内至少存在一个零点。5.论述函数极值与最值的关系。参考答案：函数极值与最值的关系：极值是局部性质，最值是全局性质；极值点可能在区间内部，也可能在端点；最值一定是极值或端点值；极值不一定是最值，但最值一定是极值或端点值。6.论述函数单调性与导数的关系。参考答案：函数单调性与导数的关系：若f′(x)>0，则函数单调递增；若f′(x)<0，则函数单调递减；若f′(x)在区间内恒大于0或恒小于0，则函数在该区间单调；若f′(x)在区间内为零，则需进一步分析。7.论述函数极值点的必要条件和充分条件。参考答案：必要条件：若函数在x=c处取得极值，则f′(c)=0；充分条件：①f′(x)=0且f′′(x)≠0，则f′′(x)>0为极小值点，f′′(x)<0为极大值点；②f′(x)=0且f′′(x)=0，需进一步分析高阶导数。8.论述函数最值的应用场景。参考答案：函数最值的应用场景：①求最大利润、最小成本；②求最优解，如最短路径、最大容积；③求最大高度、最小宽度等工程问题；④经济学中的最优定价、最优投资等。9.论述函数零点存在性定理的局限性。参考答案：函数零点存在性定理的局限性：①仅保证零点存在，不保证零点个数；②不保证零点唯一；③不保证零点精确位置；④需满足连续性条件，不连续函数可能无零点。10.论述函数单调性与极值的关系。参考答案：函数单调性与极值的关系：单调递增区间与单调递减区间的分界点可能是极值点；极值点两侧单调性相反；极值点可能是单调区间的端点；极值点不一定是单调区间的最高点或最低点。11.论述函数极值与最值的关系。参考答案：函数极值与最值的关系：极值是局部性质，最值是全局性质；极值点可能在区间内部，也可能在端点；最值一定是极值或端点值；极值不一定是最值，但最值一定是极值或端点值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.C5.C6.A7.A8.A9.C10.A二、填空题1.1+√3/32.33.34.先减后增5.26.√27.1/28.29.y=x-110.2三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.×7.×8.×9.×10.×四、简答题1.参考答案：x=1±√3/3；解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。2.参考答案：(-∞,-1)单调递减，(-1,1)单调递增，(1,∞)单调递减；解析：f′(x)=-(x²-1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-∞,-1)和(1,∞)为负，在(-1,1)为正，故单调区间如上。3.参考答案：√2；解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2。4.参考答案：2；解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=0时为1，在x=±1时为e-3<0，f(x)在x→-∞时为负，x=0时为1，x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。5.参考答案：y=x-1；解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。6.参考答案：2；解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2。7.参考答案：3；解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3。8.参考答案：先减后增；解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，(0,1)单调递增。五、应用题1.参考答案：单调区间：(-∞,1-√3/3)单调递增，(1-√3/3,1+√3/3)单调递减，(1+√3/3,∞)单调递增；极值点：x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点；解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,∞)为正，在(1-√3/3,1+√3/3)为负，故单调区间和极值点如上。2.参考答案：单调区间：(-∞,-1)单调递减，(-1,1)单调递增，(1,∞)单调递减；最大值：f(1)=1/2；最小值：f(-1)=-1/2；解析：f′(x)=-(x²-1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=±1，f′(x)在(-∞,-1)和(1,∞)为负，在(-1,1)为正，故单调区间如上；f(x)在x=1时取得最大值1/2，在x=-1时取得最小值-1/2。3.参考答案：最大值：√2；最小值：√3/2；解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，f(x)在(0,π/6)单调递增，(π/6,5π/12)单调递减，(5π/12,π/2)单调递增，f(π/6)=√3/2，f(5π/12)=√2/2，f(π/2)=1，故最大值为√2，最小值为√3/2。4.参考答案：单调区间：(-∞,1)单调递减，(1,∞)单调递增；零点个数：2个；解析：f′(x)=e^x-3x²，f′(x)在x=1时为e-3<0，在x→-∞时为负，在x→+∞时为正，由零点定理存在x₁∈(-∞,-1)，x₂∈(0,1)，且f(x)在(-∞,-1)单调递减，(0,1)单调递减，故只有两个零点。5.参考答案：y=x-1；解析：f′(x)=2xln(x)+x，f′(1)=1，f(1)=0，故切线方程为y=x-1。6.参考答案：最大值：2；最小值：-5；解析：f(x)在x=-1时为-5，x=1时为0，x=3时为0，且f′(x)在x=1±√3/3处取得极值，f(1±√3/3)=2-2√3/3>0，故最大值为2，最小值为-5。7.参考答案：最小值：3；取得最小值时的x值：x∈[-2,1]；解析：f(x)分段为：x<-2时f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时f(x)=3；x>1时f(x)=2x+1，故最小值为3，取得最小值时的x值范围为-2≤x≤1。8.参考答案：单调递减区间：(-1,0)；单调递增区间：(0,1)；解析：f′(x)=2x/(x²+1)，在(-1,0)上f′(x)<0，在(0,1)上f′(x)>0，故单调性如上。六、论述题1.参考答案：极值点的判定方法：①求导数f′(x)，令f′(x)=0得驻点；②判断驻点两侧导数符号，若符号相反则为极值点，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点；③二阶导数检验法，若f′(x)=0且f′′(x)≠0，则f′′(x)>0为极小值点，f′′(x)<0为极大值点。2.参考答案：函数单调性的判定方法：①求导数f′(x)，若f′(x)>0，则函数单调递增；若f′(x)<0，则函数单调递减；②若f′(x)在区间内恒大于0或恒小于0，则函数在该区间单调；③若f′(x)在区间