2.5.2 圆与圆的位置关系 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系教学设计一、教学目标1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题.二、教学重难点1.教学重点圆与圆的位置关系. 2.教学难点圆的方程的应用.三、教学过程（一）新课导入思考：圆与圆有哪些位置关系？（学生自由发言，教师总结）（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.上节课学习了运用直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的方法，类比这种方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？先来看例1.（二）探索新知例1已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组①-②，得由③，得.把上式代入①，并整理，得.④方程④的根的判别式，所以，方程④有两个不相等的实数根.把分别代入方程③，得到.因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.圆与圆的连心线的长为.圆与圆的两半径之和，两半径长之差.因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B.问题在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么？能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当时，两圆是什么位置关系？（学生分组讨论，每组选出代表回答，教师引导、讲解）当时，方程组只有一组解，此时两圆相切，但不能确定两圆是内切还是外切.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切.当时，方程组没有解，此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离.例2已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得.设点M的坐标为，由，得，化简，得，即.所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，又，所以点M的轨迹与圆O相交.（三）课堂练习1.圆和圆的位置关系是()A.相切 B.内含 C.相交 D.外离答案：B解析：因为两圆的圆心距，所以两圆内含.故选B.2.已知圆与圆外切，为正实数，则的最大值为()A. B. C. D.答案：B解析：因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以，所以，所以，即当时，取得最大值，最大值为.故选B.3.若圆与圆相交，则实数的取值范围是___________.答案：解析：两圆的方程可分别化为，两圆的圆心距，由题意可知，解得.4.已知是圆与圆的公共点，则的面积为____________.答案：解析：由题意，可知圆的圆心坐标为，半径为.联立，可得直线的方程为，所以到直线的距离为，线段的长度为，所以的面积为.5.已知圆和圆.（1）当时，判断圆和圆的位置关系.（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆的方程为，圆心为，半径为，两圆的圆心距，又，所以，所以圆和圆相交.（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.假设存在实数，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解.故不存在实数，使得圆和圆内含.（四）小结作业小结：1.圆与圆的位置关系；2.圆的方程