南京师范大学《数学分析》期末试题与答案

南京师范大学《数学分析》期末试题与答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设数列{a_n}定义如下：a_1=1,且对于所有n≥1,a_{n+1}=√(a_n+2)。证明数列{a_n}收敛，并求其极限。二、设函数f(x)在区间(a,b)上连续，且对于任意x,y∈(a,b)，有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|^α，其中L>0且α∈(0,1)。证明f(x)在(a,b)上一致连续。三、计算极限：lim(x→0)(e^x-cosx)/(x^3+xtanx)。四、设函数f(x)=x^3-3x+2。(1)求函数f(x)的所有驻点；(2)判断这些驻点是极大值点、极小值点还是拐点。五、计算不定积分：∫(x^2+1)/(x^4+x^2)dx。六、计算定积分：∫[0,π/2]xsinxdx。七、讨论级数∑(n=1to∞)((-1)^(n+1)*n)/(n^2+1)的收敛性（绝对收敛、条件收敛或发散）。八、求幂级数∑(n=0to∞)(x^2-1)^n/(2^n*n!)的收敛半径和收敛域。九、设函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y。(1)求函数f(x,y)在点(1,-2)处的梯度；(2)函数f(x,y)在点(1,-2)处沿向量v=(1,1)的方向导数。十、设函数f(x,y)在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上连续，且满足∫∫_Df(x,y)dA=1。证明：存在点(x_0,y_0)∈D，使得f(x_0,y_0)=1。试卷答案一、证明：由a_{n+1}=√(a_n+2)，易知a_n≥0。故a_{n+1}≥√2。因此数列{a_n}有下界√2。又a_{n+1}-a_n=√(a_n+2)-a_n=(a_n+2-a_n√(a_n+2))/√(a_n+2)=(a_n-2)/(√(a_n+2)+a_n)≤0(当a_n≥2时)。由于a_1=1，设a_k<2，则a_{k+1}=√(a_k+2)<√4=2。由数学归纳法，a_n<2对所有n≥1成立。因此a_{n+1}-a_n≤0，数列{a_n}单调递减。由单调有界准则，数列{a_n}收敛。设极限为L。由a_{n+1}=√(a_n+2)，两边取极限得L=√(L+2)。解得L^2-L-2=0，即(L-2)(L+1)=0。由于a_n≥√2，L≥√2。故L=2。即数列极限为2。二、证明：取任意x_0∈(a,b)，考虑函数g(t)=f(t)-f(x_0)在[x_0,x]或[x,x_0]上的增量。对任意x∈(a,b)，有|f(x)-f(x_0)|≤L|x-x_0|^α。由于α∈(0,1)，当x≠x_0时，0<|x-x_0|^α<|x-x_0|。因此|f(x)-f(x_0)|<L|x-x_0|。这表明函数f(x)在点x_0处连续，且对于任意x∈(a,b)，有|f(x)-f(x_0)|<L|x-x_0|。由x_0的任意性，f(x)在(a,b)上一致连续。三、解：原式=lim(x→0)(e^x-1+1-cosx)/(x^3+xtanx)=lim(x→0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)/(x^2+tanx+1)=(lim(x→0)(e^x-1)/x+lim(x→0)(1-cosx)/x)/(lim(x→0)x^2+lim(x→0)tanx+lim(x→0)1)=(1+1/2)/(0+0+1)=3/2。四、解：(1)求导f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得驻点x=-1,x=1。(2)求二阶导f''(x)=6x。当x=-1时，f''(-1)=-6<0，故x=-1为极大值点。当x=1时，f''(1)=6>0，故x=1为极小值点。驻点x=-1,x=1不是拐点，因为二阶导在这两点处非零。五、解：原式=∫(x^2/(x^4+x^2)+1/(x^4+x^2))dx=∫(x^2/(x^2(x^2+1))+1/(x^2(x^2+1)))dx=∫(1/(x^2+1)+1/x^2-1/(x^2+1))/x^2dx=∫(1/x^2-1/(x^2+1))/x^2dx=∫(1/x^2-1/(x^2(x^2+1)))dx=∫(1/x^2-1/x^2+1/(x^2+1))dx=∫(-1/x^2+1/(x^2+1))dx=∫(-x^(-2)+1/(x^2+1))dx=∫(-d(x^(-1)))+∫(1/(x^2+1))dx=x^(-1)+arctan(x)+C=1/x+arctan(x)+C。六、解：原式=∫[0,π/2]xd(-cosx)=[x(-cosx)]_[0,π/2]-∫[0,π/2](-cosx)dx=(π/2*(-cos(π/2))-0*(-cos(0)))+∫[0,π/2]cosxdx=(π/2*0-0*1)+[sinx]_[0,π/2]=0+(sin(π/2)-sin(0))=0+(1-0)=1。七、解：考虑绝对值级数∑|(-1)^(n+1)*n/(n^2+1)|=∑n/(n^2+1)。使用比较判别法，因为n/(n^2+1)<n/n^2=1/n。而级数∑1/n发散，故∑|(-1)^(n+1)*n/(n^2+1)|发散。因此原级数非绝对收敛。考虑原级数∑((-1)^(n+1)*n)/(n^2+1)。使用交错级数判别法(Leibniz判别法)：(1)通项绝对值b_n=n/(n^2+1)≥0。(2)检查b_n是否单调递减。考虑函数f(x)=x/(x^2+1)，其导数f'(x)=(1*(x^2+1)-x*2x)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。当x>1时，f'(x)<0。因此对于n≥1，b_n=n/(n^2+1)单调递减。(3)lim(n→∞)b_n=lim(n→∞)n/(n^2+1)=lim(n→∞)1/(n+1/n)=0。由交错级数判别法，级数∑((-1)^(n+1)*n)/(n^2+1)收敛。故原级数条件收敛。八、解：设a_n=(x^2-1)^n/(2^n*n!)。收敛半径R由公式R=1/lim(n→∞)|a_(n+1)/a_n|计算。|a_(n+1)/a_n|=|(x^2-1)^(n+1)/(2^(n+1)*(n+1)!)*(2^n*n!)/((x^2-1)^n)|=|(x^2-1)/(2*(n+1))|。lim(n→∞)|a_(n+1)/a_n|=lim(n→∞)|(x^2-1)/(2*(n+1))|=0/∞=0。因此收敛半径R=1/0=∞。收敛半径为∞，意味着幂级数在全体实数域R上收敛。收敛域为(-∞,+∞)。九、解：(1)求梯度∇f(x,y)=(∂f/∂x,∂f/∂y)=(2x-2,4-2y)。在点(1,-2)处，梯度∇f(1,-2)=(2*1-2,4-2*(-2))=(0,8)=(0,8)。(2)沿向量v=(1,1)的方向导数。向量v的模|v|=√(1^2+1^2)=√2。方向向量为v/|v|=(1/√2,1/√2)。方向导数为D_vf(1,-2)=∇f(1,-2)·(v/|v|)=(0,8)·(1/√2,1/√2)=0*(1/√2)+8*(1/√2)=8/√2=4√2。十、证明：令F(x,y)=f(x,y)-1。则F(x,y)在区域D上连续。由积分中值定理，存在点(x_0,y_0)∈D，使得∫∫_DF(x,y)dA=F(x