2027版中考数学难题速递：一元二次方程

2027年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值

问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，

因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为

x，则可列方程（）

A．2000（1+x）＝3200B．2000（1+2x）＝3200

C．2000（1+x）2＝3200D．2000（1+x2）＝3200

2．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以

2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点

B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，

点M，N的位置如图所示．有下列结论：

①当t＝2s时，△BMN的面积是28cm2；

②当t＝6s时，四边形MDCN是平行四边形；

③当4≤t≤9时，△BMN面积随t值的增大而减小．

其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是

（）

A．a﹣2c＝0B．2a﹣b＝0C．b+2c＝0D．a+2c＝0

4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．两实数根互为倒数

D．没有实数根

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5．已知实数a，b满足a2＝2a+5，b2＝2b+5，且a≠b，则下列结论正确的是（）

A．a+b＝﹣2B．ab＝5C．a2+b2＝14D．

112

2+=

6．对于一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0），下列说法：��5

①若a﹣b+c＝0，则方程一定有解；

②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

22

③若方程ax+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程cx+bx+a＝0（c≠0），必有

实数根，；

11

④若a�+1c＝�02，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；

⑤若ab﹣bc＝0，且＜，则方程ax2+bx+c＝0的两实数一定互为相反数．

�

−2

其中，正确的有几个（�）

A．2个B．3个C．4个D．5个

7．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回

到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好

都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（）

A．x2+x＝43B．x2+x+1＝43C．（x+1）2＝43D．x2+1＝43

2

8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（）

A．﹣3B．0C．1D．3

9．一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（）

A．17B．6C．33D．26

10．方程x2﹣4x+1＝0配方后的形式是（）

A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3

二．填空题（共5小题）

11．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两

个月产值的月平均增长率为x，则x的值为．

22

12．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）+k＝0与a2（x﹣h）+k＝0称为“同族二次方程”．如2

（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1

＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是．

13．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为．

14．若4x2+mx+1＝（2x+n）2，则m+n的值为．

第2页（共24页）

15．已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t，其中k为非负整数．

����

（1）若三角形为等边三角形，则t＝=．(�)+(�)

（2）下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）

①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；

②若k＝1，，c＝1，则5＜t＜11；

1

�=�+2

③若k＝1，＜2，a，b，c为三个连续正整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的有7个．

19

三．解答题（共�5小11题）

2

16．已知关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差

根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（1）下列是“差根方程”的是；（填写序号）

①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0．

（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数

为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差7根方程”．

17．如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣

BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点

B运动．设点Q的运动时间为t秒．

（1）若∠ACB＝90°，（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0．

①a＝，b＝；

②当2＜t＜3时，若S△APQ＝2，求t的值．

（2）如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D，若AQ为BC边上的中线，AP＝4BP，S

△APQ＝18，请直接写出△PQD的面积．

18．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售

第3页（共24页）

出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请

解答以下问题：

（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，用含x的式子表示y＝

（直接写出）；

（2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？

19．对于任意正实数a，b，因为，所以，所以．我们把

2

这个不等式叫做“基本(不�等−式”�)．≥0�+�−2��≥0�+�≥2���+�≥

2（1�）�当a＝b时，比较大小：a+b；

（2）当x＞0时，有最小值2��，此时x＝；

3

�+�

（3）请用你探究的结论，求＞的最小值．

2

�+�+3

(�0)

20．某连锁超市销售一种进价为40�+元1/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经

过市场调研发现，日销售量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系．

（1）根据上述信息，求出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）；

（2）超市要想每天获得2100元的销售利润，售价应定为多少元？

（3）当每日购进这种水果的总进价不超过3840元时，通过计算说明每天能否获得2500元的销售利润？

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2027年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CDBACCBACC

一．选择题（共10小题）

1．南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值

问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，

因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为

x，则可列方程（）

A．2000（1+x）＝3200B．2000（1+2x）＝3200

C．2000（1+x）2＝3200D．2000（1+x2）＝3200

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】根据淳熙三年冬至时的总资本×（1+平均年增长率）2＝淳熙五年冬至的总资本，列出方程即

可．

【解答】解：依题意得：2000（1+x）2＝3200．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键．

2．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以

2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点

B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，

点M，N的位置如图所示．有下列结论：

①当t＝2s时，△BMN的面积是28cm2；

②当t＝6s时，四边形MDCN是平行四边形；

③当4≤t≤9时，△BMN面积随t值的增大而减小．

第5页（共24页）

其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【考点】一元二次方程的应用；平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质．

【专题】一元二次方程及应用；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．

【答案】D

【分析】①当t＝2s时，点M在AB上，求出BM，BN，可判断①；②当t＝6s时，点M在AD上，

求出DM，CN，可判断②；③当4≤t≤9时，点M在AD上，求出△BMN的面积关于t的关系式，可

判断③．

【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为，点M在AD上的运动时间为，

810

=4�=5�

点N在CB上的运动时间为16s，22

①当t＝2s时，点M在AB上，

此时BM＝2×2＝4cm，CN＝2×1＝2cm，

∴BN＝16﹣2＝14cm，

∴，所以结论①正确；

2

△𝐵�11

②�当t＝6=s时2�，�点×M��在=A2D×上4，×14=28��

此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，

∴DM＝AD﹣AM＝6cm，

∴CN＝DM，

∵AD∥BC，

∴四边形MDCN是平行四边形，所以结论②正确；

③当4≤t≤9时，点M在AD上，

∵CN＝tcm，

∴BN＝（16﹣t）cm，

∵AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥AD，

第6页（共24页）

∴，

△𝐵�11

∵﹣�4＜0，=2��×��=2×8(16−�)=−4�+64

∴△BMN面积随t值的增大而减小，所以结论③正确．

综上可知，正确结论有：①②③，共3个，所以只有选项D正确，符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是根据

题意找到关系式．

3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是

（）

A．a﹣2c＝0B．2a﹣b＝0C．b+2c＝0D．a+2c＝0

【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】先得出a≠0、方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，再得出a＝c，据此逐项判断即可．

【解答】解：由条件可知a≠0，其根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，

∵a﹣b+c＝0，

∴b＝a+c，

∴（a+c）2﹣4ac＝0，

整理得：（a﹣c）2＝0，

∴a＝c，

∴b＝a+a＝2a，即2a﹣b＝0，则选项B正确；

假设a﹣2c＝0成立，则a﹣2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项A错误；

假设b+2c＝0成立，则2a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项C错误；

假设a+2c＝0成立，则a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项D错误．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．

4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

第7页（共24页）

C．两实数根互为倒数

D．没有实数根

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】根据根的判别式及根与系数的关系逐项分析判断即可．

【解答】解：∵a＝1，b＝k，c＝﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4，

∵对任意实数k，都有k2≥0，

∴Δ＝k2+4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误；

∵方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误．

�

=−1

故选：A．�

【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．

5．已知实数a，b满足a2＝2a+5，b2＝2b+5，且a≠b，则下列结论正确的是（）

A．a+b＝﹣2B．ab＝5C．a2+b2＝14D．

112

+=

【考点】根与系数的关系．��5

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】根据题意可知，实数a，b满足x2﹣2x﹣5＝0，根据根与系数的关系得到a+b＝2、ab＝﹣5，

据此逐项判断即可．

【解答】解：设实数a，b满足x2﹣2x﹣5＝0，

由根与系数关系得：、ab＝﹣5，

−2

故A、B选项错误；�+�=−1=2

a2+b2＝2a+5+2b+5＝2（a+b）+10＝2×2+10＝14，

故C选项正确；

，

11�+�222

+===−≠

�故D�选项错��误．−555

第8页（共24页）

故选：C．

【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．

6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：

①若a﹣b+c＝0，则方程一定有解；

②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

22

③若方程ax+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，则方程cx+bx+a＝0（c≠0），必有

实数根，；

11

④若a�+1c＝�02，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根；

⑤若ab﹣bc＝0，且＜，则方程ax2+bx+c＝0的两实数一定互为相反数．

�

−2

其中，正确的有几个（�）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，对所给说法依次进行判断即可．

【解答】解：由题知，

因为a﹣b+c＝0，

所以x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解，

则此方程一定有解，

故①正确；

因为c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，

则ac2+bc+c＝0，

所以c（ac+b+1）＝0，

所以c＝0或ac+b+1＝0，

故②错误；

2

因为若方程ax+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2，且满足x1≠x2≠0，

则方程两边都除以x2得，

，

121

�(�)+�⋅�+�=0

第9页（共24页）

所以方程cx2+bx+a＝0（c≠0）必有实数根，；

11

故③正确；�1�2

因为a+c＝0，

则c＝﹣a，

所以由方程ax2+bx+c＝0得，

Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，

所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，

故④正确；

因为ab﹣bc＝0，

则b（a﹣c）＝0，

所以b＝0或a﹣c＝0．

又因为＜，

�

−2

所以a﹣�c≠0，

则b＝0．

由方程ax2+bx+c＝0得，

Δ＝b2﹣4ac＞0，

所以此方程有两个不相等的实数根．

令该方程的两个实数根为m和n，

则m+n，

�

所以方程=−a�x2=+b0x+c＝0的两实数一定互为相反数，

故⑤正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判

别式及根与系数的关系是解题的关键．

7．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回

到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好

都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（）

A．x2+x＝43B．x2+x+1＝43C．（x+1）2＝43D．x2+1＝43

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

第10页（共24页）

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和x2名组员，总和为43，由此列出方程．

【解答】解：小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，

根据题意可知做实验的学生人数为（1+x+x2）名，

而全班有43名学生，则x2+x+1＝43，

故选：B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．

2

8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（）

A．﹣3B．0C．1D．3

【考点】根与系数的关系．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】可利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m，再因式分解求解方程得到另

一根，所用方法均为初中数学解一元二次方程的基础方法．

【解答】解：将x＝1代入方程得12+2×1﹣m＝0，

解得m＝3，

∴原方程为x2+2x﹣3＝0，

对方程左边因式分解得（x﹣1）（x+3）＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣3．

∴x2的值为﹣3．

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．

9．一元二次方程x2+5x﹣4＝0的两个实数根为m和n，则代数式m2+n2的值为（）

A．17B．6C．33D．26

【考点】根与系数的关系；代数式求值．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形计算代数式的值．

第11页（共24页）

【解答】解：由根与系数的关系得，，

5−4

又∵（m+n）2﹣2mn，�+�=−1=−5��=1=−4

∴m2+n2＝（﹣5）2﹣2×（﹣4）＝25+8＝33．

故选：C．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握

以上知识点．

10．方程x2﹣4x+1＝0配方后的形式是（）

A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3

【考点】解一元二次方程﹣配方法．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．

【解答】解：x2﹣4x+1＝0，

x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣4x+4＝﹣1+4

（x﹣2）2＝3．

故选：C．

【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法的一般步骤是解题的关键．

二．填空题（共5小题）

11．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两

个月产值的月平均增长率为x，则x的值为20%．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】20%．

【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为50（1+x）万元，三月份

的产值为50（1+x）2，进而列出方程求解即可．

【解答】解：设这两个月产值的月平均增长率为x，

根据题意列一元二次方程得，50（1+x）2＝72，

整理得，50x2+100x﹣22＝0，

第12页（共24页）

解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），

答：x值为20%，

故答案为：20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．

22

12．新定义：关于x的一元二次方程a1（x﹣h）+k＝0与a2（x﹣h）+k＝0称为“同族二次方程”．如2

（x﹣3）2+2＝0与3（x﹣3）2+2＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1

＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式a﹣b的值是15．

【考点】一元二次方程的定义；单项式乘多项式．

【专题】新定义；创新意识．

【答案】15．

【分析】根据“同族二次方程”的定义得到（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，进而可得

方程组，解方程组即可得到答案．

−2(�+2)=�−4

【解答】解�：+∵2+2（1x=﹣81）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，

∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，

∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+2+1，

∴，

−2(�+2)=�−4

解得�+2+1，=8

�=5

∴a﹣�b＝=−5﹣10（﹣10）＝5+10＝15．

故答案为：15．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解

题关键是列出二元一次方程组．

13．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为．

28

【考点】配方法的应用．−4≤6−5��≤3

【专题】配方法；运算能力．

【答案】．

28

【分析】利−4用≤完6全−平5�方�的≤非3负性，结合已知等式推导ab的取值范围，再根据不等式的性质求出代数式

6﹣5ab的范围．

【解答】解：∵任意实数a，b满足（a﹣b）2≥0，展开得a2﹣2ab+b2≥0，

第13页（共24页）

整理得a2+b2≥2ab，

将已知a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥2ab，

解得ab≤2；

又∵（a+b）2≥0，展开得a2+2ab+b2≥0，整理得a2+b2≥﹣2ab，

将a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥﹣2ab，移项合并得3ab≥﹣2，

解得；

2

��≥−

综上可得3，

2

−≤��≤2

3，

10

−10≤−5��≤

3，

10

6−10≤6−5��≤6+

即．3

28

−4≤6−5��≤

故答案为：3．

28

【点评】本题−4考≤查6配−方5�法�的≤应3用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

14．若4x2+mx+1＝（2x+n）2，则m+n的值为±5．

【考点】配方法的应用；因式分解﹣运用公式法．

【专题】配方法；运算能力．

【答案】±5．

【分析】先把完全平方公式展开，列方程求解．

【解答】解：∵4x2+mx+1＝（2x+n）2＝4x2+4nx+n2，

∴m＝4n，n2＝1，

∴n＝1，m＝4或n＝﹣1，m＝﹣4，

∴m+n＝5或﹣5，

故答案为：±5．

【点评】本题考查了配方法份应用，掌握完全平方公式是解题的关键．

15．已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t，其中k为非负整数．

����

（1）若三角形为等边三角形，则t＝2．=(�)+(�)

（2）下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）

①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；

第14页（共24页）

②若k＝1，，c＝1，则5＜t＜11；

1

�=�+2

③若k＝1，＜2，a，b，c为三个连续正整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的有7个．

19

【考点】一元�二次11方程的应用；三角形三边关系；等边三角形的性质；勾股定理．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】（1）2；

（2）①②③．

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得a＝b＝c，据此求解即可；

（2）当k＝2，t＝1时，可证明a2+b2＝c2，由勾股定理的逆定理可判断①；当k＝1，，c

1

�=�+2

＞＞2

＝1时，根据三角形三边关系可得，进而得到，求出2＜b＜6；求出，

＞1＞

�+��2�+2+1�3

1�=2�+2

�+���+1�+2

据此求出t的取值范围即可判断②；当k＝1时，则，则2可得到＜；根据题意不妨设c

�+�19

�=�+��

＝n+2，则剩下两个数分别为n，n+1（n为正整数），则可�得＜＜11，解不等式

19

组求出整数n即可判断③．�+2�+�+111(�+2)

【解答】解：（1）已知，a、b，c是△ABC的三条边长，且t，其中k为非负整数．

����

由题意可得：a＝b＝c，=(�)+(�)

∴

����

＝1�k=+1(k�)+(�)

＝1+1

＝2；

（2）①当k＝2，t＝1时，

∵，

����

�=()+()

∴��，

�2�2

()+()=1

∴��，

22

��

2+22=21

∴a�+b＝�c，

∴△ABC为直角三角形，故①正确；

②当k＝1，，c＝1时，

1

�=2�+2

第15页（共24页）

＞

∵，

＞

�+��

�+��＞

∴，

1＞

2�+2+1�

1

∴2＜�+b＜16；2�+2

∵，

����

�=()+()

∴��；

1

2�+2�3

∴t�随=b1的增+大1而=增2大�+，2

当b＝2时，t＝5，

当b＝6时，t＝11，

∴5＜t＜11，故②正确；

③当k＝1时，则，

�����+�

�=()+()=

∵＜，���

19

�

∴1＜1，

�+�19

∴�＜11；

19

∵a�、+b�、c1是1�三个相邻的正整数，a＜b＜c，

∴不妨设c＝n+2，则剩下两个数分别为n，n+1（n为正整数），

∵＜＜，

19

��+��

∴＜11＜，

19

解得�+12＜n＜�+9，�+111(�+2)

∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7、8共7个，

∴符合题意的a、b、c的取值一共有7组，

∴满足条件的△ABC的个数为7，故③正确；

故答案为：①②③．

【点评】本题考查一元二次方程，正确进行计算是解题关键．

三．解答题（共5小题）

2

16．已知关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差

第16页（共24页）

根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（1）下列是“差根方程”的是①；（填写序号）

①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0．

（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

（3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数

为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差7根方程”．

【考点】根与系数的关系；勾股定理；一元二次方程的一般形式；根的判别式．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】（1）①；

（2）；

1

（3）�=±2．

2

【分析�】−（11）3�根+据3所=给0“差根方程”的定义进行判断即可；

（2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可；

（3）根据所给“差根方程”的定义及一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．

【解答】解：（1）解方程①得，

x1＝0，x2＝1．

因为|1﹣0|＝1，

所以方程①符合题意；

解方程②得，

x1＝﹣1，x2＝5．

因为|﹣1﹣5|＝6≠1，

所以方程②不符合题意，

故答案为：①；

（2）由x2+2ax＝0得，

x1＝0，x2＝﹣2a．

因为此方程为“差根方程”，

所以|﹣2a﹣0|＝1，

解得；

1

（3）�令=±AB2＝m，AC＝n，

第17页（共24页）

则m2+n2＝BC2＝7．

又因为|m﹣n|＝1，

则（m﹣n）2＝1，

所以m2+n2﹣2mn＝1，

则mn＝3．

因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13，

所以m+n（舍负），

所以这个“=差1根3方程”为．

2

【点评】本题主要考查了根�与−系1数3�的+关3系=、0一元二次方程的一般形式、根的判别式及勾股定理，理解所

给定义及熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

17．如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣

BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点

B运动．设点Q的运动时间为t秒．

（1）若∠ACB＝90°，（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0．

①a＝6，b＝8；

②当2＜t＜3时，若S△APQ＝2，求t的值．

（2）如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D，若AQ为BC边上的中线，AP＝4BP，S

△APQ＝18，请直接写出△PQD的面积．

【考点】一元二次方程的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

【专题】一元二次方程及应用；运算能力．

【答案】（1）①6，8；②或；

517

（2）2．�=2�=6

【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定P，Q的位置，根据三角形的面积公式，列出方程

进行求解即可；

第18页（共24页）

（2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可．

【解答】解：（1）①∵（a﹣6）2+|3a﹣2b﹣2|＝0，

∴根据非负数的性质得，a﹣6＝0，3a﹣2b﹣2＝0，

解得a＝6，b＝8，

故答案为：6，8；

②∵a＝6，b＝8，点P从点A出发，沿折线AC﹣CB﹣BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，

∴点P运动到点C所需时间为8÷4＝2（秒），运动到点B所需时间为（6+8）÷4＝14÷4＝3.5（秒），

∴当2＜t＜3，此时点P在边BC上，

∴CP＝4t﹣8，

∵点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动，

∴CQ＝t，

∴PQ＝|4t﹣8﹣t|＝|3t﹣8|，

∵∠ACB＝90°，S△APQ＝2，

∴根据三角形的面积公式得，，

11

𝑃⋅𝐴=|3�−8|×8=2

解得或，22

517

�=�=

所以t的2值为6或；

517

�=�=

（2）∵AP＝4BP，2S△APQ＝618，

∴，

1

�△�𝑃=�△�𝑃=4.5

∴S△ABQ＝148+4.5＝22.5，

∵AQ为BC边上的中线，

∴S△ACQ＝S△ABQ＝22.5，S△ABC＝2S△ABQ＝45，S△BCP＝2S△BPQ＝9，

∴S△ACP＝S△ABC﹣S△BCP＝45﹣9＝36，

设△PQD的面积为x，则S△APD＝S△APQ﹣S△PDQ＝18﹣x，

∴S△ACD＝S△APC﹣S△PDA＝36﹣18+x＝18+x，

∵，

�△𝐴��△�����

==

∴�△𝐴��△��，�𝑃

18+�18−�

=

解得22x.5＝2，18

∴△PQD的面积为2．

第19页（共24页）

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，非负数的性质，关键是根据题意找到关系式．

18．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售

出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请

解答以下问题：

（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，用含x的式子表示y＝﹣10x2+1400x

﹣40000（直接写出）；

（2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？

【考点】一元二次方程的应用；列代数式．

【专题】整式；一元二次方程及应用；应用意识．

【答案】（1）﹣10x2+1400x﹣40000；

（2）销售单价应为每千克60元．

【分析】（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，则每千克的销售利润为（x﹣

40）元，月销售量为（1000﹣10x）千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可用含

x的代数式表示出y的值；

（2）根据月销售利润为8000元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽快减少

库存，即可确定结论．

【解答】解：（1）设销售单价为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，则每千克的销售利润为（x

﹣40）元，月销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）千克，

根据题意得：y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000．

故答案为：﹣10x2+1400x﹣40000；

（2）根据题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，

整理得：x2﹣140x+4800＝0，

解得：x1＝60，x2＝80，

又∵要尽快减少库存，

∴x＝60．

答：销售单价应为每千克60元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，

用含x的代数式表示出y的值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

19．对于任意正实数a，b，因为，所以，所以．我们把

2

这个不等式叫做“基本(不�等−式”�)．≥0�+�−2��≥0�+�≥2���+�≥

2��第20页（共24页）

（1）当a＝b时，比较大小：a+b＝；

（2）当x＞0时，有最小值22，�此�时x＝；

3

�+�33

（3）请用你探究的结论，求＞的最小值．

2

�+�+3

(�0)

【考点】配方法的应用；非负数�+的1性质：偶次方．

【专题】配方法；运算能力．

【答案】（1）＝；

（2），；

（3）231．3

【分析】3（−1）将a＝b代入“基本不等式”判断即可；

（2）根据“基本不等式”和（1）的结论作答即可；

（3）对原分式进行变形，得出，利用公式求最