2027版中考数学难题速递：二元一次方程组

2027年中考数学复习难题速递之二元一次方程组（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．若关于x，y的二元一次方程组的解满足：2x+3y＝1，则关于x，y的二元一次方程组

𝑎+𝑏=�

的正整数解的组𝑎数+有𝑏（=�）

𝑎+𝑏−2�=5�

A�．�+1组𝑏−2�=5�B．2组C．3组D．无数组

2．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组

�1�+�1�=�1�=4.2�1(�−2)+3�1�=�1

的解是（）�2�+�2�=�2�=9�2(�−2)+3�2�=�2

A．B．

�=4.1�=4.1

C．�=13.5D．�=4.5

�=6.2�=6.2

3．《孙�子=算9经》是中国古代重要的数学著作，书中记�载=有3这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二

人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐

一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有x个人，y辆车，则可列方程组是（）

A．B．

3(�−2)=�3(�+2)=�

C．2�−9=�D．2�+9=�

3(�−2)=�3(�+2)=�

4．古书2中�有+一9=个�“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧2�放=，�二+人9暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之

上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里

暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，

咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（）

A．

�+9=2�

B．�+9=�

2(�+9)=�−9

C．�−9=�+9

�+9=2(�−9)

D．�−9=�+9

�−9=2(�−9)

5．“燕�几+”9即=宴�几−，9是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌

子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”

的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为

（）

第1页（共27页）

A．B．

4�=74�=7

C．�+�=8.75D．�+�=8.75

4�=74�=7

6．已知2�+�=是8关.7于5x，y的方程，x+ky＝3的一个解2�，+则�k=的8值.75为（）

�=1

A．﹣�1=−2B．1C．2D．3

7．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点

三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中a是三角形内部格点数目，

�

b是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知�点=�A（+﹣2−2，1﹣3），B（4，5），C（6，1），三

角形ABC的内部比边上多9个格点，求三角形ABC内部格点的个数为（）

A．17B．18C．19D．20

8．若关于x，y的方程组和有相同的解，则a+b的值是（）

4�+3�=113�−5�=1

A．2B�．�+﹣�1�=−2𝑎−�C�．=16D．0

9．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，

余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5

只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（）

A．B．

2�+5=�2�+5=�

C．5(�−2)=�D．5(�−2)=�

2�+5=�2�+5=�

10．我国5�古=代�数−学2名著《算法统宗》中有这样一首诗：5�“=我�问−开2店李三公，众客都来到店中，一房七客多

七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一

间客房住9人，那么就空出一间客房无人住．若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为（）

A．B．

7�−7=�7�+7=�

C．9(�−1)=�D．9(�−1)=�

7�+7=�7�−7=�

9�−1=�第2页（共9�27−页1）=�

二．填空题（共5小题）

11．关于x，y的二元一次方程组的解满足|x|＜1且y＞0，则整数a的值为．

�+�=2

12．如图所示，大长方形中放置了�6−个�形=状�、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分

面积是．

13．下列说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②若，且，则x＝﹣314；

③已知3关.14于≈x、1.7y7的二元−一�次≈方17程.7组，不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变；

�+�=1−�

④若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实�数−a�都=成3�立+，5则m的最大值是5；

＜

⑤若关于x的不等式组所有的整数解的和为﹣4，则a的取值范围是﹣8＜a＜﹣6或6＜a

＞

2�−�0

＜8．2�+1−9

其中正确说法是（填正确结论的序号）．

14．现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图

所示，则每块小矩形的宽是m．

15．我们规定：一个四位数M，若满足a+c＝b+d＝9，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数1287，

因为1+8＝2+7＝9，所以1=28�7��是�“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是；一

第3页（共27页）

个“福禄数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个

=����

新的数M′，记F（M），G（M）＝c+4d．若与均是整数，则满

�+�'��+�(�)�(�)+��+8

足条件的=的�值��是�=．

M111913

三．解答题（共5小题）

16．学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：

信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车清员情况下，4辆A型客车载客人数相

同，3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客375人．

信息2：A型客车租车费用为1200元/辆，B型客车租车费用为1500元/辆．

信息3：学校参加实践活动的师生共有1025人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车至少

8辆．

问题解决

（1）求A，B两种型号每辆车清员时的载客人数；

（2）共有几种租车方案；

（3）设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，并求出最少总费用．

17．数学活动课上，各学习小组根据方程组的特点选择适当的方法解决下列问题：

已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2③，求m的值．其中联想组、巧

3�+4�=3①

思组给出如下做法：�+2�=1−2�②

联想组：将①③联立可得一个不含m的二元一次方程组，求出x，y的值，再求m的值；

巧思组：直接①﹣②可以更简便地求出m的值．

（1）请按照联想组的方法，求出x，y的值；

（2）请按照巧思组的思路求m的值．

18．根据以下素材，探究完成任务．

设计预订巴士优惠方案

素材一某校八年级师生600人一行前往矮寨大桥和十八洞村进行

春季研学活动．现有大巴和中巴两种车型可供选择

素材二若预订8辆大巴车和7辆中巴车会有5个空座位，预订7

辆大巴车和8辆中巴车，则有5人无座位

素材三旅游公司制定车辆租赁费用如下：大巴车租金为540元/

第4页（共27页）

辆，中巴车租金为490元/辆

问题解决

任务一探求两种车型的规格请运用适当方法，求出1辆

大巴车与1辆中巴车的载客

量．

任务二探究预定方案请你为该校选择一种最优惠

的预定方案．

19．综合与实践

【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．

【素材】如图．

①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；

②原始水面高度是26cm的高为55cm的圆柱形烧杯．

【实践操作】如图．

步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为32cm；

步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为32cm．（误差均忽略不计）

【实践探索】

第5页（共27页）

（1）放入一个小球水面升高cm；

（2）若放入大球、小球共10个，要使水面高度为50cm，求放入大球和小球的个数．

20．在运动与代谢研究中，发现人体供能主要靠碳水化合物和脂肪，身体在分解这两类物质时会消耗氧气、

生成二氧化碳并释放热量．如表为安静状态下，分解1克营养物质时实验测得的相关数据：

分解的营养物质氧气消耗量（g）二氧化碳生成量（g）释放热量（kJ）

1g碳水化合物11.518

1g脂肪3340

（1）【数据推算】小王在安静状态下，通过运动手表测得身体每分钟分解碳水化合物和脂肪的氧气消

耗总量为0.5g，二氧化碳生成总量为0.6g．求他的身体平均每分钟分解碳水化合物和脂肪各多少克？

（2）【运动规划】已知小王计划进行30分钟的有氧运动，运动方式分为跳绳和快走．跳绳每分钟释放

热量50kJ，快走每分钟释放热量20kJ．若他想通过这次运动消耗掉身体在安静状态下150分钟分解碳

水化合物和脂肪所释放的总热量（按第（1）小题的结果计算），请问他至少需要安排多少分钟进行跳

绳？

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2027年中考数学复习难题速递之二元一次方程组（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDCCAAADBB

一．选择题（共10小题）

1．若关于x，y的二元一次方程组的解满足：2x+3y＝1，则关于x，y的二元一次方程组

𝑎+𝑏=�

的正整数解的组𝑎数+有𝑏（=�）

𝑎+𝑏−2�=5�

A�．�+1组𝑏−2�=5�B．2组C．3组D．无数组

【考点】二元一次方程组的解．

【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．

【答案】B

【分析】将待解方程组变形后与原方程组对比，得到待解方程组中x，y满足的关系式，再求该方程的

正整数解个数即可．

【解答】解：，

𝑎+𝑏−2�=5�

𝑎+𝑏−2�=5�

可化为：，

��−2

�⋅5+�⋅5=�

��−2

令，�⋅5+�，⋅5=�

��−2

�=�=

则方程5组5的解满足2u+3v＝1，

��+��=�

代入得：��+��=�，

��−2

2⋅+3⋅=1

∴2x+3y＝115，即5，

11−2�

∵x，y为正整数，�=3

∴＞，即x＜5.5，且11﹣2x能被3整除，

11−2�

0

当x＝31时，y＝3，符合条件，

当x＝4时，y＝1，符合条件，

第7页（共27页）

其余正整数x均不满足条件，

∴正整数解共2组，

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．

2．已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组

�1�+�1�=�1�=4.2�1(�−2)+3�1�=�1

的解是（）�2�+�2�=�2�=9�2(�−2)+3�2�=�2

A．B．

�=4.1�=4.1

C．�=13.5D．�=4.5

�=6.2�=6.2

【考点�=】9二元一次方程组的解；解二元一次方程组�．=3

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】D

【分析】先把新方程组变形为：，令m＝x﹣2，n＝3y，则新方程组为

�1(�−2)+�1⋅(3�)=�1

222

.根据已知方程组�(�−2)+�的⋅解(3是�)=�，由此可得：，所以可得：x

111

�1�+�1�=�1��+��=��=4.2�=4.2

﹣�2�＝+4.2�，2�3=y＝�29，即可求出x，y的�2值�，+即�2可�=得�出2答案．�=9�=9

【解答】解：先把新方程组变形为：，

�1(�−2)+�1⋅(3�)=�1

222

令m＝x﹣2，n＝3y，则新方程组为�(�−2)+�．⋅(3�)=�

�1�+�1�=�1

∵方程组的解是�2�，+�2�=�2

�1�+�1�=�1�=4.2

∴�，2�+�2�=�2�=9

�=4.2

∴�=9，

�−2=4.2

解得3�：=9．

�=6.2

故选：D�．=3

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解的定义，解二

元一次方程组的方法是解题的关键．

3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二

人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐

一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有x个人，y辆车，则可列方程组是（）

第8页（共27页）

A．B．

3(�−2)=�3(�+2)=�

C．2�−9=�D．2�+9=�

3(�−2)=�3(�+2)=�

【考点2�】+二9元=一�次方程组的应用．2�=�+9

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】C

【分析】根据今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行；列出二元一

次方程组即可．

【解答】解：根据题意得：，

3(�−2)=�

故选：C．2�+9=�

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

4．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之

上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里

暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，

咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（）

A．

�+9=2�

B．�+9=�

2(�+9)=�−9

C．�−9=�+9

�+9=2(�−9)

D．�−9=�+9

�−9=2(�−9)

【考点�+】9由=实�际−问9题抽象出二元一次方程组．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的

九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．

∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”

∴x+9＝2（y﹣9）；

∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”

第9页（共27页）

∴x﹣9＝y+9．

联立两方程组成方程组．

�+9=2(�−9)

故选：C．�−9=�+9

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键．

5．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌

子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”

的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为

（）

A．B．

4�=74�=7

C．�+�=8.75D．�+�=8.75

4�=74�=7

【考点2�】+由�实=际8问.75题抽象出二元一次方程组．2�+�=8.75

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，由图形结合A（7，

8.75）列式即可．

【解答】解：根据题意知：横轴方向，4m＝7，

纵轴方向，m+n＝8.75，

∴方程组为．

4�=7

故选：A．�+�=8.75

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键．

第10页（共27页）

6．已知是关于x，y的方程，x+ky＝3的一个解，则k的值为（）

�=1

A．﹣�1=−2B．1C．2D．3

【考点】二元一次方程的解．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．

【解答】解：由条件可得1﹣2k＝3，

解得：k＝﹣1，

故选：A．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等

的未知数的值是解题的关键．

7．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点

三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中a是三角形内部格点数目，

�

b是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知�点=�A（+﹣2−2，1﹣3），B（4，5），C（6，1），三

角形ABC的内部比边上多9个格点，求三角形ABC内部格点的个数为（）

A．17B．18C．19D．20

【考点】二元一次方程组的应用；坐标与图形性质；一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】A

【分析】由点A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1）坐标求出AB，AC，BC，再由勾股定理逆定理

判断出△ABC是以∠B为直角的直角三角形，然后由直角三角形的面积公式求出三角形的面积，再由题

意得出方程组，解方程组即可．

【解答】解：∵A（﹣2，﹣3），B（4，5），C（6，1），

∴AB10；

22

AC=(−2−4)+(−3−5)=364+64；=

22

BC=(−2−6)+(−3−1)=280=，5

22

∴A=B2＝(410−0，6)AC+2＝(58−0，1)BC=2＝20，=5

∴AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形，

第11页（共27页）

∴S△ABCBC•AC2420，

11

==×5×5=

∴2，2

�

�+2−1=20

解得�−�=9，

�=17

∴三角�形=8ABC内部格点的个数为17，

故选：A．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、坐标与图形性质、直角三角形面积公式、格点三角形的面

积公式等知识，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关

键．

8．若关于x，y的方程组和有相同的解，则a+b的值是（）

4�+3�=113�−5�=1

A．2B�．�+﹣�1�=−2𝑎−�C�．=16D．0

【考点】二元一次方程组的解．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】D

【分析】根据两个方程组有相同解，说明该解满足所有方程，先联立不含参数a，b的方程求出x，y，

再代入含参数的方程求出a，b，即可计算a+b的值．

【解答】解：∵两个方程组有相同的解，

∴该解满足所有方程，

先联立不含a，b的方程得，

4�+3�=11①

由①×5+②×3解得x＝2，3�−5�=1②

把x＝2代入①解得y＝1，

根据题意得，

2�+�=−2③

由④得a＝22b�﹣−6，�=代6入④③得2（2b﹣6）+b＝﹣2，

整理得5b＝10，

解得b＝2，

把b＝2代入a＝2b﹣6，

得a＝﹣2，

∴a+b＝﹣2+2＝0．

故选：D．

第12页（共27页）

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键．

9．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，

余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5

只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（）

A．B．

2�+5=�2�+5=�

C．5(�−2)=�D．5(�−2)=�

2�+5=�2�+5=�

【考点5�】=由�实−际2问题抽象出二元一次方程组．5�=�−2

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．

【答案】B

【分析】本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种栖息情况，分别找出乌鸦总数的等量

关系即可列出方程组．

【解答】解：设有树x棵，乌鸦y只．

∴．

2�+5=�

故选5(：�B−．2)=�

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程

组是关键．

10．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多

七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一

间客房住9人，那么就空出一间客房无人住．若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为（）

A．B．

7�−7=�7�+7=�

C．9(�−1)=�D．9(�−1)=�

7�+7=�7�−7=�

【考点9�】−由1实=际�问题抽象出二元一次方程组；数学9常�识−．1=�

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程组，然后即可判断哪个选项符合题意．

7�+7=�

【解答】解：由题意可得，9(�−1)=�

，

7�+7=�

9(�−1)=�

第13页（共27页）

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

二．填空题（共5小题）

11．关于x，y的二元一次方程组的解满足|x|＜1且y＞0，则整数a的值为﹣1或﹣2或﹣3．

�+�=2

【考点】二元一次方程组的解�；−绝�对=值�．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】﹣1或﹣2或﹣3．

【分析】先解二元一次方程组，得到用a表示的x和y，再根据|x|＜1和y＞0列出关于a的不等式，解

不等式得到a的取值范围，找出范围内的整数即可．

【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解满足|x|＜1且y＞0，

�+�=2

解方程组�−�=�

�+�=2

两式相加，�得−�2x=＝�a+2，解得．

�+2

�=

两式相减，得2y＝2﹣a，解得2．

2−�

�=

由|x|＜1，得＜，2

�+2

||1

根据绝对值的意2义，得＜＜，

�+2

不等式三边同乘2，得﹣−12＜a+22＜2，1

解得﹣4＜a＜0

由y＞0，得＞，

2−�

0

不等式两边同2乘2，得2﹣a＞0，

解得a＜2．

取两个解集的公共部分，得﹣4＜a＜0，

则﹣4＜a＜0中的整数为﹣3，﹣2，﹣1．

故答案为：﹣1或﹣2或﹣3．

【点评】本题考查二元一次方程的解，正确进行计算是解题关键．

12．如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分

面积是24cm2．

第14页（共27页）

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．

【答案】24cm2．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中的数量关系，列出二元一次方程组，解方程组，

即可解决问题．

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

由题意得：，

�+3�=12

解得：�，+�−2�=4

�=6

∴图中阴�影=部2分面积＝12×（4+2×2）﹣6×6×2＝96﹣72＝24（cm2），

故答案为：24cm2．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

13．下列说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②若，且，则x＝﹣314；

③已知3关.14于≈x、1.7y7的二元−一�次≈方17程.7组，不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变；

�+�=1−�

④若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实�数−a�都=成3�立+，5则m的最大值是5；

＜

⑤若关于x的不等式组所有的整数解的和为﹣4，则a的取值范围是﹣8＜a＜﹣6或6＜a

＞

2�−�0

＜8．2�+1−9

其中正确说法是②③④（填正确结论的序号）．

【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；

平行公理及推论．

【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．

第15页（共27页）

【答案】②③④．

【分析】根据平行线的性质，二次根式的性质，二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解集逐项进

行判断即可．

【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①不正确；

②∵，

∴3.14≈1.7710≈17.7，而，

∴﹣3x1＝43=14，3.14×100=3.14×100=3.14×−�≈17.7

即x＝﹣314

因此②正确；

③关于x、y的二元一次方程组的解为，

�+�=1−��=�+3

所以2x+y＝2a+6﹣2a﹣2＝4，�−�=3�+5�=−2�−2

即不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变，其值为4，

因此③正确；

④当﹣4≤a≤1时，|a﹣1|+|a+4|的最小值为|﹣4﹣1|＝5，

当a＜﹣4或a＞1时，|a﹣1|+|a+4|的值大于5，

即若不等式|a﹣1|+|a+4|≥m对一切实数a都成立，则m的最大值是5，

因此④正确；

⑤不等式2x﹣a＜0的解集为x＜，不等式2x+1＞﹣9的解集为x＞﹣5，

�

＜2

由于关于x的不等式组所有的整数解的和为﹣4，

＞

2�−�0

2�+1−9

所以﹣4＜3，或3＜4，

��

解得﹣8＜a2≤≤﹣−6或6＜a≤28≤，

因此⑤不正确；

综上所述，正确的结论有②③④，

故答案为：②③④．

【点评】本题考查平行线的性质，二次根式的性质，二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解集，

掌握平行线的性质，二次根式的性质与化简方法，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解集的

定义以及解法是正确解答的关键．

14．现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图

第16页（共27页）

所示，则每块小矩形的宽是10m．

【考点】二元一次方程组的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】10．

【分析】首先根据大长方形的长和宽分别为60m和45m列出二元一次方程组，然后解方程组即可．

【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，

由题意列二元一次方程组得，

，

2�+�=60

解�得+2�=45，

�=25

所以每�块=小10矩形的宽是10m，

故答案为：10．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．

15．我们规定：一个四位数M，若满足a+c＝b+d＝9，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数1287，

因为1+8＝2+7＝9，所以1=28�7�是��“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是1089；一个“福

禄数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数

=����

M′，记F（M），G（M）＝c+4d．若与均是整数，则满足条件的

�+�'��+�(�)�(�)+��+8

的=值�是���．=

M3564111913

【考点】二元一次方程的应用；因式分解的应用．

【专题】整式；推理能力．

【答案】1089；3564．

【分析】根据“福禄数”的定义进行求解即可；先推导出F（M）＝909﹣81c+81d，再分别求出

��+�(�)

=

19

第17页（共27页）

，，再根据与均是整数，列

4−9�+3��(�)+��+87−6�+4���+�(�)�(�)+��+8

出5+符合条件的方程组，解方程=组70即−可5．�+6�+

1913131913

【解答】解：根据题意：当a＝1，c＝8，b＝0，d＝9时，这个“福禄数”最小，即最小的“福禄数”

是1089；

，

�=����=1000�+100�+10�+�，

∴�'=����=1000�+100�+10�+�

�+�'

�(�)=11

1000�+100�+10�+�+1000�+100�+10�+�

=11

1001�+1001�+110�+110�

＝=91a+91d+10b1+110c，

∵a+c＝b+d＝9，

∴a＝9﹣c，b＝9﹣d，

∴F（M）＝91a+91d+10b+10c

＝91（9﹣c）+91d+10（9﹣d）+10c

＝819﹣91c+91d+90﹣10d+10c

＝909﹣8lc+81d，

∵G（M）＝c+4d，

∴

��+�(�)

19

10�+�+�+4�

=19

10(9−�)+(9−�)+�+4�

=19

90−10�+9−�+�+4�

=19

99−9�+3�

=19

95+4−9�+3�

=

19，

4−9�+3�

=5+19

�(�)+��+8

13

第18页（共27页）

909−81�+81�+10�+�+8

=13

917−71�+82�

=13

910−65�+78�+7−6�+4�

=

13，

7−6�+4�

=70−5�+6�+

∵与13均是整数，

��+�(�)�(�)+��+8

∴10为整13数，为整数，

4−9�+3�7−6�+4�

5+70−5�+6�+

∴19为整数，为整数，13

4−9�+3�7−6�+4�

根据题1意9得：0≤c≤8，01≤3d≤9，

∴﹣68≤4﹣9c+3d≤31，﹣41≤7﹣6c+4d≤43，

∴4﹣9c+3d＝﹣57或﹣38或﹣19或0或19，7﹣6c+4d＝﹣39或﹣26或﹣13或0或13或26或39，

设x＝4﹣9c+3d，y＝7﹣6c+4d，

∴3d﹣9c＝x﹣4，4d﹣6c＝y﹣7，

∴，，

�−4�−7

∵c�、−d3为�=整数3，2�−3�=2

∴d﹣3c为整数，2d﹣3c为整数，

∴为整数，为整数，

�−4�−7

∴x﹣34能被3整除2，y﹣7能被2整除，

∴4﹣9c+3d＝﹣38或19，

7﹣6c+4d＝﹣39或﹣13或13或39，

当时，解得，不符合题意舍去；

5

4−9�+3�=−38�=3

当7−6�+4�=−39时，解得�=−，9

4−9�+3�=−38�=6

∴a7＝−9﹣6�6+＝43�，=b−＝193﹣4＝5，�=4

∴M＝3564；

当时，解得，不符合题意舍去；

31

4−9�+3�=−38�=3

当7−6�+4�=13时，解得�=17，不符合题意舍去；

44

4−9�+3�=−38�=3

7−6�+4�=39�=30

第19页（共27页）

当时，解得，不符合题意舍去；

4−9�+3�=19�=−11

当7−6�+4�=−39时，解得�=−28，不符合题意舍去；

20

4−9�+3�=19�=−3

当7−6�+4�=−1时3，解得�=−，15不符合题意舍去；

7

4−9�+3�=19�=−3

当7−6�+4�=13时，解得�=−2，不符合题意舍去；

4−9�+3�=19�=2

综上7，−M6�＝+3456�4=．39�=11

故答案为：1089；3564．

【点评】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的应用，掌握综合知识是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下：

信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车清员情况下，4辆A型客车载客人数相

同，3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客375人．

信息2：A型客车租车费用为1200元/辆，B型客车租车费用为1500元/辆．

信息3：学校参加实践活动的师生共有1025人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车至少

8辆．

问题解决

（1）求A，B两种型号每辆车清员时的载客人数；

（2）共有几种租车方案；

（3）设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，并求出最少总费用．

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；有理数的混合运算．

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．

【答案】（1）每辆A型客车满员时载客45人，每辆B型客车满员时载客60人；

（2）共有4种租车方案；

（3）当租用11辆A型客车，9辆B型客车时，租车总费用最少，最少总费用为26700元．

【分析】（1）设每辆A型客车满员时载客x人，每辆B型客车满员时载客y人，根据“在每辆车清员

情况下，4辆A型客车载客人数与3辆B型客车载客人数相同，3辆A型客车和4辆B型客车共载客

375人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设租用m辆A型客车，则租用（20﹣m）辆B型客车，根据租用的20辆客车的总载客量不少于

1025人且租用A型客车至少8辆，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结

第20页（共27页）

合m为整数，可得出共有4种租车方案；

（3）利用总租金＝每辆A型客车的租金×租用A型客车的辆数+每辆B型客车的租金×租用B型客车

的辆数，可求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．

【解答】解：（1）设每辆A型客车满员时载客x人，每辆B型客车满员时载客y人，

根据题意得：，

4�=3�

解得：．3�+4�=375

�