2027版中考数学难题速递：无理数与实数

2027年中考数学复习难题速递之无理数与实数（2026年7月）

一．选择题（共5小题）

1．如表记录了一些数的平方：

x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917

y256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在16.7～16.8的整数有3个；小丽得到的结论是：

的整数部分为11．以下判断正确的是（）28−

A2．8只8有小美的结论正确B．只有小丽的结论正确

C．两人的结论都正确D．两人的结论都不正确

2．我们发现：，，，…，

6+3=36+6+3=36+6+6+3=36+6+6+⋯+6+6+3=

，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一

3�+�+�+⋯+�+�+�=�

组“完美方根数对”．如上面（6，3）是一组“完美方根数对”．下面3个结论：

①（12，4）是“完美方根数对”；

②数对（28，m）不可能是“完美方根数对”；

③若x+y＜1000，且（x，y）是“完美方根数对”，则满足条件的（x，y）共有30组；

其中正确的结论有（）个．

A．0B．1C．2D．3

3．对于无理数T，若整数a，b满足a＜T＜b，且a是小于T的最大整数，b是大于T的最小整数，则称

（a，b）为无理数T的“相邻区间”．例如：＜＜，称（1，2）为的“相邻区间”．已知（m，

n）为某无理数的“相邻区间”，整数m，n满1足2＜2＜，且2是关于x，y的二元一次

�=�

方程mx﹣ny＝c的一组解，则整数c的值是（4）�+�15�=�

A．1或36B．2或35C．1或37D．2或36

4．估计的值应在（）

A．6(和3724之+间48)÷B6．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间

5．有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（）

1

2

第1页（共32页）

A．aB．bC．cD．d

二．填空题（共5小题）

6．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数

1

���(�+�)×=����

为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．2把一个“半和数”n的任意

1

一个数位上的数字去掉，得到三个两(位3+数1，)这×2三=个2两位数之和记为F（n）．若n是最大的“半和数”，

则F（n）的值为；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所

�(�)

有符合条件的m的最大值与最小值的差为．3+�+�−�

7．小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：

A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1；

B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数．

例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2．

（1）实数100先经过一个B变换得到7−的1数，再经过一次A变换得到的数是；

（2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b．若a＝b，则所有满

足条件的x的值之和为．

8．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，

11223344

1−=2−=23−=34−=4⋯

若（a，b为2正整2数），则5a+b＝510．101717

��

9．根�据−你62发6=现�的62规6律填空：已知，14.42，若，则

333

．3≈1.4423000≈0.000456≈0.07696

3

10．观45察6≈数表：

第1行：，2，；

第2行：2，6，；

第3行：22，4，102；3

…1432

根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是．

三．解答题（共10小题）

11．若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“求差法”比较两个数

或两个代数式的大小．

例如：比较与2的大小．

15−2

第2页（共32页）

∵＜＜，

∴＜91＜5．16

∴3154＜．

∴15−2＜−2．=15−40

请根1据5−上2述方2法解答下列问题：

（1）比较与﹣4的大小；

（2）有两块2−正方3形5的玻璃，第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比

2m多出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：1.72

＝2.89，1.752＝3.0625，2.22＝4.84，2.252＝5.0625）

12．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我

们不可能全部写出来，于是小明用2来表示的小数部分，因为的整数部分是12，用这个数减

去其整数部分，差就是小数部分．又2例−如1：因为2＜＜，即＜2＜，所以的整数部分为2，

小数部分为．请解答：4792737

（1）请求出7−的2整数部分和小数部分；

（2）某正数的1两5个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分，求

2a﹣b+c的算术平方根．27

13．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，

我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式．

【初步感知】

（1）观察图①，用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个图形，利用

图形可以推导出的乘法公式是．

（2）在（1）中公式里，若a2+b2＝97，ab＝36（a＞0，b＞0），求a+b的值．

【类比探究】

（3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值．小度的想法是设a＝5﹣x，b＝x

﹣1，那么求出a2+b2的值即可．请你按小度的思路完成解答．

【拓展应用】

（4）如图②，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED

和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102m2，AC＝18m，

求种草区域的面积和．

第3页（共32页）

14．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．

已知，则，；

已知1=1，则100=10，10000=100；

已知9=3，则900=30，90000=300；

333

已知1=1，则1000=10，1000000=100．

333

（1）根8据=小2明的发80现00，=请2填0空：8000000=200

若，那么；若，那么．

33

（2）�=现2有.5一个长方1形00，�其=长和宽分别用x，y�来=−表1示.2，且满足1000000�=．

3

①求该长方形的周长C；�+�−8=4

②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C'，请利用（1）中所得规律，求出的值．

15．（1）已知正实数m的两个不同平方根是2a+6和9﹣5a，10a+3b﹣2的立方根是3，求�'

的平方根．�−3�−�+1

（2）如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D'对应，若∠1＝2∠2，求∠AEF

的度数．

16．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说

明．

【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x．

第4页（共32页）

①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此

时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式x（10

﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是，从而可得x（10﹣x）＜25；

②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25；

③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10

﹣x）＝25；

综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25．

【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（请在答题卷指定位置内画出

拼图，标上相应的数据）

17．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以通过拼图加以说

明．

【方法理解】已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是x，则另一边长是10﹣x．

①当0＜x＜5时，将4块如图1的长方形按图2的方式拼出一个大正方形和一个阴影的小正方形，此

时大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据面积关系，所以代数式x（10

﹣x），25，（5﹣x）2满足的等量关系是，从而可得x（10﹣x）＜25；

②当5＜x＜10时，类似上述过程进行拼图，同理可得x（10﹣x）＜25；

③当阴影小正方形的面积为0时，得到图3，此时该长方形变成边长为5的正方形，即x＝5时，x（10

﹣x）＝25；

第5页（共32页）

综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25．

【类比迁移】当﹣10＜m＜8时，求代数式（8﹣m）（10+m）的最大值．（要求画出拼图，标上相应的

数据）

18．观察下列等式：

第1个等式：；

1111

1+2+2=1+−

第2个等式：1212；

1111

1+2+2=1+−

第3个等式：2323；

1111

1+2+2=1+−

第4个等式：3434；…

1111

22

按照以上规律，1解+决4下+列5问=题1：+4−5

（1）写出第7个等式：；

（2）写出第n个等式：；（用含n的等式表示）

（3）根据上面的结论计算：

．

11111111

22222222

19．阅1+读1下+列2解题+过1程+：2+3+1+3+4+⋯+1+2025+2026

，

1×2×3×4+1=(1×4)×(2×3)+1=4×6+1=25=5，

2×3×4×5+1=(2×5)×(3×4)+1=10×12+1=121=11，…

根3据×上4面×的5×解6题+思1路=，(完3成×下6)列×问(4题×：5)+1=18×20+1=361=19

（1）计算的值；

（2）请你用4含×n5（×n6为×正7+整1数）的关系式表示上述各式子的变形规律；

（3）利用上面的规律，计算的值．

2

20．某校科技社团设计了一款智能20计2算5×器2，02该6计×算20器27具×有2特02殊8+的1“−变2换02数6对”功能．

定义：对于输入的数对（a，b），其中b≥0．计算器会先将a进行开立方运算得到m，即，再

3

将b的算术平方根取相反数得到n，即，最后输出两个结果（m，n）和（n，m），�将=这两�个输

出结果称为数对（a，b）的“变换数对�”=．−�

例如：数对（8，49）的“变换数对”为（2，﹣7）和（﹣7，2）．

（1）下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是；

A．（3，﹣5）

第6页（共32页）

B．（2，6）

C．（0，7）

D．（﹣1，﹣9）

（2）若输入数对（64，9），则输出的“变换数对”结果为；

（3）社团成员小明输入某个数对（p，q）后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是（﹣2，5），

求p和q的值．

第7页（共32页）

2027年中考数学复习难题速递之无理数与实数（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

题号12345

答案BDCCB

一．选择题（共5小题）

1．如表记录了一些数的平方：

x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917

y256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在16.7～16.8的整数有3个；小丽得到的结论是：

的整数部分为11．以下判断正确的是（）28−

A2．8只8有小美的结论正确B．只有小丽的结论正确

C．两人的结论都正确D．两人的结论都不正确

【考点】估算无理数的大小．

【专题】实数；运算能力．

【答案】B

【分析】根据无理数的估算解答即可．

【解答】解：∵16.72＝278.89，16.82＝282.24，

∴算术平方根在16.7～16.8的整数有279，280，281，282，共4个，

∴小美的结论错误；

∵16.92＝285.61＜288＜172＝289，

∴＜＜，

∴−1＜7−288＜−16，.9

∴1128−的2整88数部11分.1为11，小丽的结论正确．

故选28：−B．288

【点评】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握该知识点是关键．

2．我们发现：，，，…，

6+3=36+6+3=36+6+6+3=36+6+6+⋯+6+6+3=

第8页（共32页）

，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一

3�+�+�+⋯+�+�+�=�

组“完美方根数对”．如上面（6，3）是一组“完美方根数对”．下面3个结论：

①（12，4）是“完美方根数对”；

②数对（28，m）不可能是“完美方根数对”；

③若x+y＜1000，且（x，y）是“完美方根数对”，则满足条件的（x，y）共有30组；

其中正确的结论有（）个．

A．0B．1C．2D．3

【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．

【专题】实数；运算能力．

【答案】D

【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数a，b满足a＝b2﹣b，再逐一验证三个结论即

可．

【解答】解：对于正整数a、b，如果满足，那么称（a，b）为一

�+�+�+⋯+�+�+�=�

组“完美方根数对”．

根据定义，若（a，b）是“完美方根数对”，则（a，b为正整数），两边平方得：a+b＝b2，

即a＝b2﹣b，�+�=�

①验证（12，4）：∵b＝4，b2﹣b＝16﹣4＝12＝a，

∴（12，4）是“完美方根数对”，①正确；

②验证（28，m）：若（28，m）是“完美方根数对”，

则m2﹣m＝28，即m2﹣m﹣28＝0，

该方程无正整数解，因此（28，m）不可能是“完美方根数对”，②正确；

③若x+y＜1000，（x，y）是“完美方根数对”：∵x＝y2﹣y，

∴x+y＝y2＜1000，

又x是正整数，

∴x＝y2﹣y＞0，y为正整数，得y≥2，

∵312＝961＜1000，322＝1024＞1000，

∴y可取2，3，…，31，共31﹣2+1＝30组，③正确；

综上，三个结论都正确，正确结论个数为3．

第9页（共32页）

故选：D．

【点评】本题考查算术平方根，正确进行计算是解题关键．

3．对于无理数T，若整数a，b满足a＜T＜b，且a是小于T的最大整数，b是大于T的最小整数，则称

（a，b）为无理数T的“相邻区间”．例如：＜＜，称（1，2）为的“相邻区间”．已知（m，

n）为某无理数的“相邻区间”，整数m，n满1足2＜2＜，且2是关于x，y的二元一次

�=�

方程mx﹣ny＝c的一组解，则整数c的值是（4）�+�15�=�

A．1或36B．2或35C．1或37D．2或36

【考点】估算无理数的大小；二元一次方程的解．

【答案】C

【分析】根据“相邻区间”的定义，还有二元一次方程整数解，整数c这些个条件，寻找符合的情况．

【解答】解：∴m，n均为整数，（m，n）为某无理数的“相邻区间”，

又∵4＜m＜16，是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组解，且要求c是整数，即c

�=�

+�

＝m2﹣n为整数时，�=必须�是整数，

∴符合条件�的m，n有：�

①m＝3，n＝4，

②m＝8，n＝9，

∴c＝9﹣8＝1或c＝64﹣27＝37，

故选：C．

【点评】本题考查新定义，估算无理数大小，实数与数轴，二元一次方程解相关知识，结合动点，锻炼

分析、计算能力，分类讨论思想．

4．估计的值应在（）

A．6(和3724之+间48)÷B6．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间

【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．

【专题】实数；二次根式；运算能力．

【答案】C

【分析】根据二次根式的运算法则进行计算，并据此进行估值即可．

【解答】解：由题知，

原式

=34．+8

=6+22

第10页（共32页）

∵1＜2＜2.25，

∴＜＜，

∴21＜2＜13.5，

∴8＜22＜9．

故选：6C+．22

【点评】本题主要考查了估算无理数的大小及二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则及估算无

理数大小的方法是解题的关键．

5．有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（）

1

2

A．aB．bC．cD．d

【考点】实数与数轴；相反数．

【专题】实数；运算能力．

【答案】B

【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可．

【解答】解：因为的相反数是，

11

−

所以数轴上表示2的数可能是b．2

1

故选：B．−2

【点评】本题主要考查了实数与数轴及相反数，熟知相反数的定义及数轴上的点所表示数的特征是解题

的关键．

二．填空题（共5小题）

6．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数

1

���(�+�)×=����

为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．2把一个“半和数”n的任意

1

一个数位上的数字去掉，得到三个两(位3+数1，)这×2三=个2两位数之和记为F（n）．若n是最大的“半和数”，

则F（n）的值为282；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有

�(�)

符合条件的m的最大值与最小值的差为852．3+�+�−�

【考点】非负数的性质：算术平方根；整式的加减．

【专题】整式；运算能力．

第11页（共32页）

【答案】282，852．

【分析】先根据“半和数”的定义和n的最大值判断a的值，再根据代入求解判断；根

1

(�+�)×2=�

据“半和数”的定义和m的最大值与最小值，将a，b的可能值代入中判断即可．

�(�)

【解答】解：∵n是最大的“半和数”，3+�+�−�

∴a＝9，

则，即2b﹣c＝9，

1

∵n(9是+最�)大×的2“=半�和数”，各个数位上的数字均不为0且互不相等的整数，

当b＝8时，c＝7，符合题意，

∴a＝9，b＝8，c＝7，

∴去掉一个数位上的数字，得到的两位数为98，97，87，

F（n）＝98+97+87＝282；

根据F（n）的定义可知，F（m）＝10a+b+10a+c+10b+c＝20a+11b+2c，

则，

�(�)20�+11�+2�

=

∴33，

�(�)23�+14�−�

+�+�−�=

∵3，3

1

∴c(�＝+2b�﹣)×a，2=�

∴，

�(�)23�+14�−�

+�+�−�==8�+4�=4(2�+�)

由条3件可知m最大时，则a要3尽量大，

当a＝9时，

此时b＝8，2a+b＝26，26非平方数，不符合题意；

b＝7，2a+b＝25，25是平方数，

∴m最大时，a＝9，b＝7，则c＝2b﹣a＝5，

∴m＝975；

m最小时，a要尽可能地小，

当a＝1时，

b＝2，2a+b＝4是平方数，

∴m最小时，a＝1，b＝2，

第12页（共32页）

则c＝2b﹣a＝3，

∴m的最小值为123，

∴m的最大值与最小值的差为975﹣123＝852．

故答案为：282，852．

【点评】本题考查了整式的加减、非负数的性质﹣算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．

7．小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：

A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1；

B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数．

例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2．

（1）实数100先经过一个B变换得到7−的1数，再经过一次A变换得到的数是1；

（2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b．若a＝b，则所有满

足条件的x的值之和为13．

【考点】立方根；算术平方根．

【专题】实数；运算能力．

【答案】（1）1；

（2）13．

【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列式求解即可；

（2）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．

【解答】解：（1）∵＜＜，

333

∴＜＜，64100125

3

∴1400经10B0变换5结果为4．

∵，

∴得4到−的1数=是11．

故答案为：1；

（2）A变换：（算术平方根有意义，故x≥0），

B变换：b为整数�，−且1=�＜．

3

当a＝b时，即�等≤于�的�整+数1部分．

3

∴，即�−x＝1（b+1）�2．

①当�−b＝10=时�：

此时＜，即0≤x＜1．

3

0≤�1第13页（共32页）

代入方程：，解得x＝1．

∵x＝1不满足�−0≤1x=＜01，

∴这种情况无解．

②当b＝1时：

此时＜，即1≤x＜8．

3

代入方1程≤：�2，解得x＝4．

∵1≤4＜8，符�−合1条=件1，

∴x＝4是一个解．

③当b＝2时：

此时＜，即8≤x＜27．

3

代入方2程≤：�3，解得x＝9．

∵8≤9＜27，�符−合1条=件2，

∴x＝9是一个解．

④当b≥3时：

此时，即x≥27．

3

代入方�程≥：3，解得x≥16．

但当x≥27时�，−1=�≥3＞，而，

3

∴＞�−，1即≥a＞27b+−11，a4＝b不成�立≤，�这种情况无解．

3

⑤(当�b−＜10)时−：�1

此时＜，即x＜0，与x≥0矛盾，这种情况无解．

3

综上，�满足0条件的x为4和9，

所有满足条件的x的值之和为4+9＝13．

故答案为：13．

【点评】本题考查了立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．

8．小言做数学题时，发现；；；；按此规律，

11223344

1−=2−=23−=34−=4⋯

若（a，b为2正整2数），则5a+b＝550．10101717

��

【考�点−】62算6术=平�方6根26；规律型：数字的变化类．

【专题】二次根式；运算能力．

【答案】50．

第14页（共32页）

【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），再比较即可求得a+b的值．

��

�−2=�2

【解答】解：∵；�+1；�+1；，

11223344

1−=2−=23−=34−=4⋯

∴2（n2≥1的正整5数），510101717

��

22

�−�+1=��+1

∵，626＝252+1，

��

∴a＝�−b＝6265，=�626

∴a+b＝25+25＝50．

故答案为：50．

【点评】本题考查的是算术平方根，数字的变化类，根据题意找出规律是解题的关键．

9．根据你发现的规律填空：已知，14.42，若，则

3333

7.696．3≈1.4423000≈0.000456≈0.07696456≈

【考点】立方根．

【专题】实数；运算能力．

【答案】7.696．

【分析】依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可．

【解答】解：若，

3

则．0.000456=0.07696

3

故答4案56为=：77.6.69966．

【点评】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是

解题的关键．

10．观察数表：

第1行：，2，；

第2行：2，6，；

第3行：22，4，102；3

…1432

根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是．

【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．34

【专题】实数；运算能力．

【答案】．

34

第15页（共32页）

【分析】根据数表的数据的变化规律进行计算即可．

【解答】解：原数表可变为：

第1行：，，；

第2行：2，4，6；

第3行：8，10，12；

…141618

所以第6行从左向右第2个数是，

故答案为：．2×(5×3+2)=34

【点评】本题3考4查算术平方根，数字的变化类，掌握数表中数据的变化规律是正确解答的关键．

三．解答题（共10小题）

11．若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“求差法”比较两个数

或两个代数式的大小．

例如：比较与2的大小．

∵＜＜15−，2

∴＜91＜5．16

∴3154＜．

∴15−2＜−2．=15−40

请根1据5−上2述方2法解答下列问题：

（1）比较与﹣4的大小；

（2）有两块2−正方3形5的玻璃，第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比

2m多出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：1.72

＝2.89，1.752＝3.0625，2.22＝4.84，2.252＝5.0625）

【考点】实数大小比较．

【专题】实数；运算能力．

【答案】（1）＞；

（2）第一块玻璃2−的边35长比−24m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度．

【分析】（1）利用＜＜结合作差法比较与﹣4的大小即可；

（2）求解第一块的边5长为356，第二块的边长为2−，35设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a，第

二块玻璃的边长比2m少的长5�度为b，再进一步求解3即�可．

【解答】解：（1）∵＜＜，

253536第16页（共32页）

∴＜＜，

∴5356＞，

∴2−35＞−(−．4)=6−350

（2）−第3一5块面−积4为5m2，第二块面积为3m2，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多出的长度，与第二

块玻璃的边长比2m少的长度，则：

∵第一块面积为5m2，第二块面积为3m2，

∴第一块的边长为，第二块的边长为，

设第一块玻璃的边长5比�2m多出的长度为a，3�第二块玻璃的边长比2m少的长度为b，

∴，，

∴�=5−2�=2−3，

∵1�.7−5�2＝=3.0562−5，2−2.2(522−＝5.30)62=5，5+3−4

∴＜，＜．

∴52.25＜，3即1a.﹣75b＜0．

∴第5一+块3玻璃4的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度．

【点评】本题考查实数大小的比较，正确进行计算是解题关键．

12．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我

们不可能全部写出来，于是小明用2来表示的小数部分，因为的整数部分是12，用这个数减

去其整数部分，差就是小数部分．又2例−如1：因为2＜＜，即＜2＜，所以的整数部分为2，

小数部分为．请解答：4792737

（1）请求出7−的2整数部分和小数部分；

（2）某正数的1两5个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分，求

2a﹣b+c的算术平方根．27

【考点】估算无理数的大小；平方根．

【专题】实数；运算能力．

【答案】（1）整数部分为3，小数部分为；

（2）6．15−3

【分析】（1）估算无理数的大小，即可得出整数部分和小数部分；

（2）根据题意先后确定a，1b5，c的值，代入计算即可求解．

【解答】解：（1）∵9＜15＜16，

∴＜＜，

3154第17页（共32页）

∴的整数部分为3，小数部分为；

（2）15某正数的两个不等的平方根分别1是5−2a3﹣14和a+2，b﹣4的立方根为﹣3，c是的整数部分，

由题意得2a﹣14+a+2＝0，27

解得a＝4，

∵b﹣4的立方根为﹣3，

∴b﹣4＝（﹣3）3＝﹣27b＝﹣27+4＝﹣23，

解得b＝﹣27+4＝﹣23，

∵25＜27＜36，

∴＜＜，

∴5的2整7数6部分为5，

∵c2是7的整数部分，

∴c＝5，27

∴2a﹣b+c＝2×4﹣（﹣23）+5＝8+23+5＝36，

∴2a﹣b+c的算术平方根为6．

【点评】本题考查估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键．

13．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，

我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式．

【初步感知】

（1）观察图①，用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个图形，利用

图形可以推导出的乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2．

（2）在（1）中公式里，若a2+b2＝97，ab＝36（a＞0，b＞0），求a+b的值．

【类比探究】

（3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值．小度的想法是设a＝5﹣x，b＝x

﹣1，那么求出a2+b2的值即可．请你按小度的思路完成解答．

【拓展应用】

（4）如图②，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED

和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102m2，AC＝18m，

求种草区域的面积和．

第18页（共32页）

【考点】估算无理数的大小；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；

（2）13；

（3）10；

（4）60m2．

【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图①的面积即可；

（2）根据（a+b）2＝a2+2ab+b2代入计算即可；

（3）设a＝5﹣x，b＝x﹣1，由题意得a+b＝4，ab＝3，由（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab

代入计算即可；

（4）设AE＝xm，EC＝ym，由题意得x+y＝18，x2+y2＝204，根据（x+y）2＝x2+2xy+y2求出xy的值即

可．

【解答】解：（1）图①整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图①的四个部分

的面积和为a2+2ab+b2，

所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，

故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；

（2）∵a2+b2＝97，ab＝36，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝97+2×36＝169，

∵a＞0，b＞0，

∴a+b13；

（3）设=a1＝659﹣=x，b＝x﹣1，则a+b＝4，ab＝（5﹣x）（x﹣1）＝3，

∴（5﹣x）2+（x﹣1）2

＝a2+b2

＝（a+b）2﹣2ab

第19页（共32页）

＝42﹣2×3

＝10；

（4）设AE＝xm，EC＝ym，则x+y＝AC＝18m，

∵种花区域的面积和为102m2，

∴x2y2＝102，

11

2+2

即2x+y2＝204，

∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，

∴182＝204+2xy，

解得xy＝60，

∴种草区域的面积和为xyxy＝xy＝60（m2）．

11

+

【点评】本题考查完全平2方公2式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．

14．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．

已知，则，；

已知1=1，则100=10，10000=100；

已知9=3，则900=30，90000=300；

333

已知1=1，则1000=10，1000000=100．

333

（1）根8据=小2明的发80现00，=请2填0空：8000000=200

若，那么25；若，那么﹣120．

33

（2）�=现2有.5一个长方1形00，�其=长和宽分别用x�，=y−来1.表2示，且满1足000000�=．

3

①求该长方形的周长C；�+�−8=4

②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C'，请利用（1）中所得规律，求出的值．

【考点】立方根；算术平方根．�'

【专题】实数；运算能力．

【答案】（1）25；﹣120；

（2）①144；②120．

【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右

移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得

答案；

（2）①根据立方根的定义可得x+y﹣8＝43＝64，求出x+y的值即可得到答案；②根据（2）①所求可

第20页（共32页）

得C′的值，求出C的算术平方根，即可求出C′的算术平方根．

【解答】解：（1）由题意得，若，那么；

若，那么�=2；.5100�=25

33

故答�案=为−：1.25；﹣1201；000000�=−120

（2）①∵，

3

∴x+y﹣8＝43�＝+6�4，−8=4

∴x+y＝72，

∴2（x+y）＝144，

∴该长方形的周长C为144；

②由（2）①得C′＝14400，

∵，

∴�=144=12．

【点�评'=】本14题4考00查=立12方0根，正确进行计算是解题关键．

15．（1）已知正实数m的两个不同平方根是2a+6和9﹣5a，10a+3b﹣2