2027版中考数学难题速递：尺规作图

2027年中考数学复习难题速递之尺规作图（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AC于点

M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交

1

𝑀

BC于点D，若△ACD的面积为6，则△ABD2的面积是（）

A．10B．11C．12D．13

2．如图，在△ABC中，小沈按照以下步骤进行作图：

①在AB和BC上分别截取BM和BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，

1

𝑀

两弧交于点O，作射线BO交AC于点D；2

②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交

1

𝐶

AC，BC于点E和点F．2

根据以上作图，若∠ABC＝108°，∠C＝18°，AD＝4，BC＝10，则BF的长为（）

A．6B．C．D．8

2129

3．在ABCD中，以A为圆心5，AB长为半径画弧交5AD边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为

1

▱𝐵

半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，若BE＝16，AG＝12，过点A作AM2⊥BC交

BC于点M，则AM长为（）

第1页（共36页）

A．4.8B．C．10D．9.6

53

4．如图，在△ABC中，∠B＝72°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于

1

��

点M，N，作直线MN交AB于点D；以点C为圆心，适当长为半径2画弧，分别交CA，CB于点E，F，

再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线CP恰好经过点D，

1

��

则∠A的度数是（）2

A．30°B．32°C．36°D．42°

5．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线呢？如图是小明同学的作法，老师对小明

的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（）

A．两直线平行，同旁内角互补

B．同位角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行

D．两直线平行，同位角相等

6．如图，已知∠AOB＝150°．现按如下步骤作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，

OB于点C，D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点E，连接EO交于

1

𝐶��

F；③以E为圆心，OD长为半径画弧，交OE于2点G；④以G为圆心，DF长为半径画弧，交前弧于

第2页（共36页）

点H；⑤作射线EH交OA于点I．若测得OI＝6，则点E到OB的距离为（）

A．B．3C．D．

7．已知线6段a，b，c，求作线段x，使，下列2作图3中均作出一组平行3线3，其中正确的是（）

𝑎

�=�

A．B．

C．D．

8．如图，平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于F，G，分别以点

F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥

1

��

BC，AD＝3，2，则AB的长为（）

𝐵=23

A．1.5B．2C．D．

9．已知△ABC，求作△ABC的中线AD，两位同学给出5了如下所示的方案一2、5二，则可行的方案是（）

方案一方案二

作法：作法：

（1）分别以点B，C为（1）分别以点B，C为

圆心，大于的长为半圆心，AC，AB的长为半

1径作弧，两弧相交于点

��

径作弧，两2弧相交于点

P．

M，N．

（2）连接AP，交BC于

第3页（共36页）

（2）作直线MN，交BC点D．

于点D，连接AD．AD就是所要作的中线．

AD就是所要作的中线．

A．方案一可行、方案二不可行

B．方案一不可行、方案二可行

C．方案一、方案二都可行

D．方案一、方案二都不可行

10．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝10，AC＝9，分别以B，C为圆心，大于的长为半径在直线BC

1

��

上方画弧，两弧交于点M．再分别以B，C为圆心，大于的长（两次长度2不同）为半径在直线BC

1

��

下方画弧，两弧交于点N．点D为直线MN上一动点，则2△ABD的周长的最小值为（）

A．13B．14C．15D．19

二．填空题（共5小题）

11．如图，已知菱形ABCD的顶点B（0，0），，，且点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：

�(223)

①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；

1

𝐶

②作直线MN，交CD于点E，连接2BE．

若直线MN恰好经过点A，则点E的坐标为．

第4页（共36页）

12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、CD于点M、N，

再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO，交AB于点E，点E恰

1

𝑀

好是AB的中点，若AD＝6，B2C＝8，则CD的长是．

13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点D在边AB上，

且在格点上．

（Ⅰ）线段AC的长等于；

（Ⅱ）P，Q分别是AC，BC上的动点，当△PDQ的周长最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网

格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，D为圆心，以大于的长度为半

1

𝐶

径画弧，两弧相交于点M，N；连接MN，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF．2若AC＝5，CF

＝2，则四边形AEDF的周长是．

第5页（共36页）

15．如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，AD于

▱

点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G；③作射线

1

��

AG交BC的延长线于点M；④连接2DM．若∠B＝60°，CM＝BC，AD＝3，则DM的长

为．

三．解答题（共5小题）

16．综合与实践

学习了尺规作图后，小达进行了拓展性探究．成功找到了用尺规作出线段三等分点的方案．

【问题提出】

如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，他要做出线段AB的三等分点F，并给出几何证明．

【动手操作】

作线段AC的垂直平分线交AC于点E，交AB于点F，连结CF．

【问题解决】

任务：（1）请你按照要求完成作图（只保留作图痕迹）；

（2）请你帮助小达完成以上猜想的证明．

17．如图，在菱形ABCD中．

第6页（共36页）

（1）求作正方形DEBF，使得点E，F在对角线AC上，且点E在点F的左边；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AB＝10，AC＝16，求AE的长．

18．小明在学习了菱形和尺规作图后，发现了一种在平行四边形基础上构造菱形的方法，作为他的同伴，

请根据他的思路，完成以下作图和证明：

（1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．用尺规完成以下基本作图：过点D

在BD下方作∠BDE＝∠ABD，交AB于点E，连接EO并延长交CD于点F，连接BF．（只保留作图

痕迹）

（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形BEDF为菱形．

19．已知：在正方形ABCD中，E为边AB上的定点，F，G，H分别在边BC，CD，DA上．用无刻度的

直尺和圆规，完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

（1）用两种不同的方法，分别在图1、图2中作正方形EFGH；

（2）在图3中，作矩形EFGH，并使其满足EF≠FG．

20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝8．

（1）请在BD上找一点E，使得AE＝BE，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；

（2）在（1）的条件下，延长AE交BC于点F，如图2，求BF的长．

第7页（共36页）

第8页（共36页）

2027年中考数学复习难题速递之尺规作图（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CCDCBBDBCA

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AC于点

M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交

1

𝑀

BC于点D，若△ACD的面积为6，则△ABD2的面积是（）

A．10B．11C．12D．13

【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】作DE⊥AB交AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，则DC＝DE，根据30度角的性

质得到，进而得到，即可求出△ABD的面积．

111

��=������=6

【解答】解：2如图，作DE⊥2AB交2AB于点E，

由作图过程可知，AD平分∠BAC，

∴DC＝DE，

由条件可知，

1

��=2��

第9页（共36页）

∴，

1

×��×𝐶=6

∴2，

11

����=6

即22．

1

��×��=�△�𝐶=12

故选2：C．

【点评】本题考查了基本作图、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．

2．如图，在△ABC中，小沈按照以下步骤进行作图：

①在AB和BC上分别截取BM和BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，

1

𝑀

两弧交于点O，作射线BO交AC于点D；2

②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交

1

𝐶

AC，BC于点E和点F．2

根据以上作图，若∠ABC＝108°，∠C＝18°，AD＝4，BC＝10，则BF的长为（）

A．6B．C．D．8

2129

【考点】作图—复杂作图；5角平分线的性质；线段5垂直平分线的性质．

【专题】作图题；三角形；运算能力．

【答案】C

【分析】连接DF，由三角形内角和定理求出∠ABC＝108°，根据作法得BD平分∠ABC，PQ垂直平

分CD，得∠ABD＝∠CBD＝54°，CF＝DF，从而证明BD＝AD＝4，∠C＝∠CDF＝18°，由三角形

外角的性质求出∠DFB＝36°，进而求出∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝BC﹣CF＝10﹣x，利

用勾股定理建立方程求解即可．

【解答】解：连接DF，

第10页（共36页）

∵∠C＝18°，∠ABC＝108°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝54°，

由作法得PQ垂直平分CD，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝54°，

∴∠A＝∠ABD＝54°，

∴BD＝AD＝4，

∵CF＝DF，

∴∠C＝∠CDF＝18°，

∴∠DFB＝∠C+∠CDF＝36°，

∴∠BDF＝180°﹣∠DFB﹣∠CBD＝90°，

设CF＝DF＝x，则BF＝BC﹣CF＝10﹣x，

则BF2＝BD2+DF2即（10﹣x）2＝16+x2，

解得x，

21

=

∴BF＝105．

2129

故选：C．−5=5

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角

形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

3．在ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为

1

▱𝐵

半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，若BE＝16，AG＝12，过点A作AM2⊥BC交

BC于点M，则AM长为（）

第11页（共36页）

A．4.8B．C．10D．9.6

【考点】作图—基本作图；5线3段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算

能力；推理能力．

【答案】D

【分析】连接EG，设AG交BE于点O，由作图过程可知，AE＝AB，AG⊥BE，可得．证

1

��=𝐵=𝐵=8

明△AOE≌△GOB可得AE＝BG，进而可得四边形ABGE为菱形，则，2可得

1

，利用菱形的面积可求解题目．��=2𝐹=6��=

22

【�解�答+】�解�：=连1接0EG，设AG交BE于点O，

由作图过程可知，

AE＝AB，AG⊥BE，

∴，

1

∵四��边=形�A�B=CD2�为�平=行8四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠BGO，∠AEO＝∠GBO，

∴△AOE≌△GOB（AAS），

∴AE＝BG，

∴四边形ABGE为平行四边形．

∵AE＝AB，

∴四边形ABGE为菱形，

∴，

1

∴��=2𝐹=6，

22

��=��+��=10

∵菱形，

1

��𝐹�=⋅𝐹⋅��=𝐹⋅��

∴2，

1

×12×16=10⋅��

2第12页（共36页）

∴若BE＝16，AG＝12，过点A作AM⊥BC交BC于点M，则AM＝9.6．

故选：D．

【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌

握相关知识的灵活运用．

4．如图，在△ABC中，∠B＝72°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于

1

��

点M，N，作直线MN交AB于点D；以点C为圆心，适当长为半径2画弧，分别交CA，CB于点E，F，

再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线CP恰好经过点D，

1

��

则∠A的度数是（）2

A．30°B．32°C．36°D．42°

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】C

【分析】由作图可得MN是线段AC的垂直平分线，CD是∠ACB的平分线，根据它们的性质可得∠A

＝∠ACD＝∠BCD，再根据三角形内角和定理即可得解．

【解答】解：由作图可得，MN是线段AC的垂直平分线，CD是∠ACB的平分线，

∴AD＝CD，，

1

∴∠A＝∠AC∠D�，𝐶=∠�𝐶=2∠���

∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，

∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，且∠B＝72°，

∴∠A+∠ACB＝180°﹣∠B，

即3∠A＝180°﹣72°，

∴∠A＝36°．

故选：C．

第13页（共36页）

【点评】本题考查了线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，三角形内角和定理，解决本题的关键是

掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．

5．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线呢？如图是小明同学的作法，老师对小明

的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（）

A．两直线平行，同旁内角互补

B．同位角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行

D．两直线平行，同位角相等

【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．

【专题】作图题；推理能力．

【答案】B

【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．

【解答】解：利用平移的性质及平行线判定可知：

原理是：同位角相等，两直线平行．

故选：B．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考

查了平行线的判定．

6．如图，已知∠AOB＝150°．现按如下步骤作图：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，

OB于点C，D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点E，连接EO交于

1

𝐶��

F；③以E为圆心，OD长为半径画弧，交OE于2点G；④以G为圆心，DF长为半径画弧，交前弧于

点H；⑤作射线EH交OA于点I．若测得OI＝6，则点E到OB的距离为（）

第14页（共36页）

A．B．3C．D．

【考点6】作图—基本作图；角平分线的性质．2333

【专题】尺规作图；几何直观．

【答案】B

【分析】由尺规作图可知，OE平分∠AOB，∠OEI＝∠BOE，可得∠EOI＝∠BOE＝∠

OEI75°，∠EIO＝30°，过点O作OM⊥EI于点M，过点E作EN⊥OB于点N，在Rt△

1

=∠���=

OIM中2，可得OMOI＝3，则EN＝3，即可得出答案．

1

【解答】解：由尺=规2作图可知，OE平分∠AOB，∠OEI＝∠BOE，

∴∠EOI＝∠BOE＝∠OEI75°，

1

∴∠EIO＝180°﹣75°﹣7=5°2∠＝�3�0�°=，

过点O作OM⊥EI于点M，过点E作EN⊥OB于点N，

∴OM＝EN，

在Rt△OIM中，

∵∠EIO＝30°，

∴OMOI＝3，

1

∴EN＝=32，

即点E到OB的距离为3．

故选：B．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，熟练掌握角平分的作图方法以及作一个角等于已知角的方法是解答

本题的关键．

7．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（）

𝑎

�=�

A．B．

第15页（共36页）

C．D．

【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．

【答案】D

【分析】结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，进而满足结论bx＝ac即可

【解答】解：∵x，

𝑎

∴bx＝ac，=�

∴，

��

=

故选�项�D满足条件．

故选：D．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．

8．如图，平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于F，G，分别以点

F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥

1

��

BC，AD＝3，2，则AB的长为（）

𝐵=23

A．1.5B．2C．D．

【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段5垂直平分线的性质；2平行5四边形的性质．

【专题】作图题；几何直观；推理能力．

【答案】B

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，BC＝AD＝3，AD∥BC，∠ABC＝∠D，再根据平行

线的性质得到CE⊥AD，所以∠BCE＝∠CDE＝90°，接着在Rt△BCE中利用余弦的定义求出∠CBE

＝30°，则CEBE，然后利用基本作图得到BH平分∠ABC，所以∠ABC＝∠D＝60°，最后在

1

Rt△CDE中利用=含230=度角3的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到AB的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

第16页（共36页）

∴AB＝CD，BC＝AD＝3，AD∥BC，∠ABC＝∠D，

∵CE⊥BC，

∴CE⊥AD，

∴∠BCE＝∠CDE＝90°，

在Rt△BCE中，∵cos∠CBE，

��33

===

∴∠CBE＝30°，𝐵232

∴CEBE，

1

由作法=得2BH=平3分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠CBE＝60°，

∴∠D＝60°，

在Rt△CDE中，∵∠D＝60°，

∴DECE1，

33

∴CD=＝23DE＝=2，3×3=

∴AB＝2．

故选：B．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的

性质、线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．

9．已知△ABC，求作△ABC的中线AD，两位同学给出了如下所示的方案一、二，则可行的方案是（）

方案一方案二

作法：作法：

（1）分别以点B，C为（1）分别以点B，C为

圆心，大于的长为半圆心，AC，AB的长为半

1径作弧，两弧相交于点

��

径作弧，两2弧相交于点

P．

M，N．

（2）连接AP，交BC于

（2）作直线MN，交BC

点D．

于点D，连接AD．

AD就是所要作的中线．

AD就是所要作的中线．

第17页（共36页）

A．方案一可行、方案二不可行

B．方案一不可行、方案二可行

C．方案一、方案二都可行

D．方案一、方案二都不可行

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．

【答案】C

【分析】方案一通过作线段BC的垂直平分线确定中点；方案二通过构造平行四边形，利用对角线互相

平分确定中点．

【解答】解：方案一：由作法可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，

∵垂直平分线平分线段，

∴BD＝CD，即点D为BC的中点，

∴AD为△ABC的中线，方案一可行；

方案二：由作法可知，CP＝AB，BP＝AC，

∴四边形ABPC是平行四边形，

∵平行四边形的对角线互相平分，

∴对角线AP、BC的交点D为BC的中点，

∴AD为△ABC的中线，方案二可行，

故选：C．

【点评】本题考查作图—基本作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

10．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝10，AC＝9，分别以B，C为圆心，大于的长为半径在直线BC

1

��

上方画弧，两弧交于点M．再分别以B，C为圆心，大于的长（两次长度2不同）为半径在直线BC

1

��

下方画弧，两弧交于点N．点D为直线MN上一动点，则2△ABD的周长的最小值为（）

第18页（共36页）

A．13B．14C．15D．19

【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．

【专题】平移、旋转与对称；尺规作图；几何直观．

【答案】A

【分析】设直线MN交AC于点E，连接BE，由作图过程可得，直线MN垂直平分线段BC，可得BE

＝CE，点B与点C关于直线MN对称，则当点D与点E重合时，△ABD的周长取得最小值，为AB+AC

的长，进而可得答案．

【解答】解：设直线MN交AC于点E，连接BE，

由作图过程可得，直线MN垂直平分线段BC，

∴BE＝CE，点B与点C关于直线MN对称．

则当点D与点E重合时，△ABD的周长取得最小值，为AB+AC的长，

∴△ABD的周长的最小值为4+9＝13．

故选：A．

【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题．

二．填空题（共5小题）

11．如图，已知菱形ABCD的顶点B（0，0），，，且点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：

�(223)

第19页（共36页）

①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；

1

𝐶

②作直线MN，交CD于点E，连接2BE．

若直线MN恰好经过点A，则点E的坐标为，．

(53)

【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；尺规作图；几何直观．

【答案】，．

【分析】连(5接A3C)，作AH⊥x轴于点H，作EF⊥x轴于点F，勾股定理求出OA的长，证明△ACD为等

边三角形，推出△CEF为含30度角的直角三角形，进行求解即可．

【解答】解：知菱形ABCD的顶点B（0，0），，，连接AC，作AH⊥x轴于点H，作EF⊥x

轴于点F，�(223)

∴，，

在直𝑂角=三2角形𝑂AO=H2中3，由勾股定理得：，

22

∵四边形ABCD是菱形，��=��+𝑂=4

∴OA＝OC＝CD＝DA＝4，OA∥CD，AD∥CO，

由作图可知，MN垂直平分CD，

∴AC＝AD，，

1

∴AC＝AD＝C𝐵D，=2𝐶=2

∴△ACD为等边三角形，

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∴∠D＝60°，

∴∠DCF＝∠D＝60°，

∵EF⊥x，

∴∠CEF＝30°，

∴，，

1

∴O𝐸F＝=O2C�+�C=F＝15，��=3𝐸=3

∴点E的坐标为，，

故答案为：，(5．3)

【点评】本题(5主要3考)查了作图﹣基本作图，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，勾

股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．

12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、CD于点M、N，

再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO，交AB于点E，点E恰

1

𝑀

好是AB的中点，若AD＝6，B2C＝8，则CD的长是14．

【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯

形．

【专题】作图题；几何直观；运算能力．

【答案】14．

【分析】如图，延长CE交DA的延长线于点J．证明AJBC＝8，再证明CD＝DJ即可．

【解答】解：如图，延长CE交DA的延长线于点J．

∵AD∥BC，

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∴∠J＝∠ECB，

∵E是AB的中点，

∴EA＝EB，

∵∠AEJ＝∠BEC，

∴△AEJ≌△BEC（AAS），

∴AJ＝BC＝8，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB＝∠DCE，

∴∠J＝∠DCJ，

∴DC＝DJ＝AD+AJ＝6+8＝14．

故答案为：14．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，梯形，解题

的关键是掌握相关知识解决问题．

13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点D在边AB上，

且在格点上．

（Ⅰ）线段AC的长等于3；

（Ⅱ）P，Q分别是AC，BC上2的动点，当△PDQ的周长最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网

格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）作D关于AC的对称

点I：根据正方形的对角线互相垂直且平分，以AC为正方形的对角线，D为正方形的顶点，可确认I

的位置；作D关于BC的对称点K：BC是2×3网格的对角线，同样找到以DE为对角线的2×3的网

格，可得DE⊥BC于H，再把B，C两点向右平移两个单位得到F，G，交DE于K；连接IK，IK与AC

相交于点P，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．

【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）如图，作3D2关于AC的对称点I：根据正方形的对角线互相垂直且平分，以AC为正方形的对角

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线，D为正方形的顶点，可确认I的位置；作D关于BC的对称点K：BC是2×3网格的对角线，同样

找到以DE为对角线的2×3的网格，可得DE⊥BC于H，再把B，C两点向右平移两个单位得到F，G，

交DE于K；连接IK，IK与AC相交于点P，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．

【分析】（Ⅰ）因为AC是网格中两点的连线，所以用勾股定理计算AC的长度；

（Ⅱ）要使△PDQ周长最小，根据轴对称求最短路径的原理，先作点D关于AC的对称点I，作点D

关于BC的对称点K，因为两点之间线段最短即可找到．

【解答】解：（Ⅰ），

22

故答案为：3；①��=3+3=32

（Ⅱ）作D关2于AC的对称点I：根据正方形的对角线互相垂直且平分，以AC为正方形的对角线，D

为正方形的顶点，可确认I的位置；作D关于BC的对称点K：BC是2×3网格的对角线，同样找到以

DE为对角线的2×3的网格，可得DE⊥BC于H，再把B，C两点向右平移两个单位得到F，G，交DE

于K；连接IK，IK与AC相交于点P，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．

∵由作图可知，AC，DI为正方形ADCI的对角线，

∴AC垂直平分DI，

∴PD＝PI；

由图可知∠DCB＝∠EDB，

∵∠DCB+∠B＝90°，

∴∠EDB+∠B＝90°，

∴∠DHB＝90°，

∴BC⊥DE，

∵把B，C两点向右平移两个单位得到F，G，

∴四边形CBGF为平行四边形，

∴BC∥FG，

第23页（共36页）

∴，

����2

===1

∴�D�H＝H�K�，2

∴BC垂直平分DK，

∴DQ＝QK，

∴△PDQ周长＝PD+PQ+DQ＝IP+PQ+QK，

根据两点之间线段最短可知，此时△PDQ的周长最小，最小值为IK的长度．

故答案为：作D关于AC的对称点I：根据正方形的对角线互相垂直且平分，以AC为正方形的对角线，

D为正方形的顶点，可确认I的位置；作D关于BC的对称点K：BC是2×3网格的对角线，同样找到

以DE为对角线的2×3的网格，可得DE⊥BC于H，再把B，C两点向右平移两个单位得到F，G，交

DE于K；连接IK，IK与AC相交于点P，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．

【点评】本题考查作图—复杂作图，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的

灵活运用．

14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，D为圆心，以大于的长度为半

1

𝐶

径画弧，两弧相交于点M，N；连接MN，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF．2若AC＝5，CF

＝2，则四边形AEDF的周长是12．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】尺规作图；几何直观．

【答案】12．

【分析】设AD与EF相交于点O，由作图过程可知，直线MN为线段AD的垂直平分线，可得AE＝DE，

AF＝DF，OA＝OD，则∠EAD＝∠ADE．由题意得∠EAD＝∠FAD，则∠ADE＝∠FAD，证明△AOF

≌△DOE，可得AF＝DE，则AE＝DE＝AF＝DF＝3，进而可得四边形AEDF的周长是AE+DE+AF+DF

＝12．

【解答】解：设AD与EF相交于点O，

第24页（共36页）

∵AC＝5，CF＝2，

∴AF＝AC﹣CF＝3．

由作图过程可知，直线MN为线段AD的垂直平分线，

∴AE＝DE，AF＝DF，OA＝OD，

∴∠EAD＝∠ADE．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD，

∴∠ADE＝∠FAD，

∵∠AOF＝∠DOE，

∴△AOF≌△DOE（ASA），

∴AF＝DE，

∴AE＝DE＝AF＝DF＝3．

∴四边形AEDF的周长是AE+DE+AF+DF＝12．

故答案为：12．

【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题．

15．如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，AD于

▱

点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G；③作射线

1

��

AG交BC的延长线于点M；④连接DM．2若∠B＝60°，CM＝BC，AD＝3，则DM的长为．

33

第25页（共36页）

【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；等边三角形的性质；平行四边形的性质．

【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．

【答案】．

【分析】3连接3AC，设AM与CD相交于点H，由作图过程可知，AM为∠BAD的平分线，结合平行四

边形的性质可得△ADH为等边三角形，则∠DAH＝60°，可得∠AMB＝∠DAH＝∠B＝60°，则△ABM

为等腰三角形，可得CM＝AD，AC⊥BM，AC．根据题意可得四边形ADMC为平行四边

形，则可得DM＝AC．=3��=33

【解答】解：连接AC=，3设3AM与CD相交于点H，

由作图过程可知，AM为∠BAD的平分线，

∴∠DAM＝∠BAM．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝3，∠ADC＝∠B＝60°，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAM＝∠AHD，

∴∠DAM＝∠AHD，

∴AD＝DH，

∴△ADH为等边三角形，

∴∠DAH＝60°．

∵AD∥BM，

∴∠AMB＝∠DAH＝60°，

∴∠AMB＝∠B，

∴△ABM为等腰三角形．

∵CM＝BC，

∴CM＝AD，AC⊥BM，

∴AC．

=3��=33

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∵AD∥BM，CM＝AD，

∴四边形ADMC为平行四边形，

∴DM＝AC．

故答案为：=3．3

【点评】本题3考3查作图—基本作图、角平分线的定义、等边三角形的性质、平行四边形的性质，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

三．解答题（共5小题）

16．综合与实践

学习了尺规作图后